Начертите таблицу 2 × 2 и обозначьте a, b, c и d, прежде чем считать.
Читайте чувствительность и специфичность по столбцам, прогностические ценности по строкам.
Для другой распространённости представьте 10 000 человек и заполните таблицу по Se, Sp и распространённости.
Для отношения правдоподобия переведите вероятность в шансы, умножьте и переведите обратно.
Для исследования сначала найдите EER и CER; затем RR = EER/CER, ARR = CER − EER и NNT = 1/ARR с округлением вверх.
Описательная статистика
Среднее
x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана
срединное значение упорядоченных данных
z-оценка
z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение
68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Доверительные интервалы
σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n
Метод
Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
2Тренировочные задачи
1.Статистика доказательной практикиСредняя
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). В когортном исследовании подвергавшиеся воздействию люди дали 2200 человеко-лет и 139 новых случаев, а не подвергавшиеся — 6500 человеко-лет и 137 новых случаев. Найдите отношение показателей заболеваемости IRR (подвергавшиеся против не подвергавшихся). Округлите до двух знаков после запятой.
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). Проходят скрининг 10 000 человек тестом с чувствительностью 73% и специфичностью 81%. Распространённость заболевания 18%. Сколько людей с заболеванием тест пропускает (ложноотрицательные, FN)?
Баллы за экзамен распределены нормально со средним 500 и стандартным отклонением 60. Найдите z-оценку z для результата 440.
μ = 500σ = 60x = 440
z =
5.Доверительные интервалыСредняя
Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 60 телефонов, среднее 95,5 h, известное стандартное отклонение 3 h. Модель 2: 50 телефонов, среднее 97,5 h, известное стандартное отклонение 3 h. Найдите нижнюю границу 99 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.
Диаметры 21 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 10,6 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — верхняя граница σ. При df = 20 2,5 % распределения χ² лежит ниже 9,591 и 2,5 % — выше 34,17.
n = 21s = 10,6 µmχ² = 9,591, 34,17
σ = µm
7.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Выборка из 36 студентов имеет средний балл 117,4 и выборочное стандартное отклонение 5. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 117,4s = 5n = 36
t =
8.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Выборка из 49 измерений имеет среднее 76,1. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 8. Найдите верхнюю границу U 95 % доверительного интервала для среднего.
x̄ = 76,1σ = 8n = 4995%
U =
3Растворы
1.Статистика доказательной практики
Ответ: IRR = 3
Отношения правдоподобия и показатели риска: LR+ = чувствительность/(1 − специфичность), LR− = (1 − чувствительность)/специфичность. В исследовании EER и CER — частоты событий с лечением и без него: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER и NNT = 1/ARR, с округлением вверх. В исследовании «случай—контроль» можно использовать только отношение шансов OR = ad/(bc). Показатель заболеваемости = новые случаи/человеко-время.
Показатели заболеваемости
подвергались воздействию: 139/2200 = 63,18 на 1000 человеко-лет
не подвергались воздействию: 137/6500 = 21,08 на 1000 человеко-лет
Отношение показателей
IRR = 63,18/21,08 = 2,998 ≈ 3
Ответ
IRR = 3
2.Статистика доказательной практики
Ответ: FN = 486
Прогностические ценности зависят от распространённости: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) и NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). С отношениями правдоподобия: шансы до теста = p/(1 − p), шансы после теста = шансы до теста × LR, вероятность = шансы/(1 + шансы). Для населения N истинно положительные = N·p·Se и ложноположительные = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), с округлением вверх.
С заболеванием и без него
10 000·0,18 = 1800
10 000 − 1800 = 8200
Ложноотрицательные
FN = 1800·0,27 = 486
Ответ
FN = 486
3.Описательная статистика
Ответ: s = 14,08
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = (440 − 500)/60 = −1
Ответ
z = −1
5.Доверительные интервалы
Ответ: нижняя граница = −3,48 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Точечная оценка
x̄₁ − x̄₂ = 95,5 − 97,5 = −2
Стандартная ошибка
SE = √(3²/60 + 3²/50) = 0,5745
Предельная ошибка
E = 2,576·0,5745 = 1,48
Интервал
−2 ± 1,48 → [−3,48, −0,5202]
Ответ
нижняя граница = −3,48 h
Интервал не содержит 0, поэтому средние значимо различаются.
6.Доверительные интервалы
Ответ: σ = 15,31 µm
Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.
Сумма квадратов
(n − 1)s² = 20·10,6² = 2247
Границы для σ²
2247/34,17 = 65,77
2247/9,591 = 234,3
Граница для σ
σ = √234,3 = 15,31 µm
Ответ
σ = 15,31 µm
95 % интервал для σ: [8,11, 15,31] µm.
7.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = −3,12
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 5/√36 = 5/6 = 0,8333
Статистика критерия
t = (117,4 − 120)/0,8333 = −3,12
Ответ
t = −3,12
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| > 2,03, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
8.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: U = 78,34
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).