Начертите таблицу 2 × 2 и обозначьте a, b, c и d, прежде чем считать.
Читайте чувствительность и специфичность по столбцам, прогностические ценности по строкам.
Для другой распространённости представьте 10 000 человек и заполните таблицу по Se, Sp и распространённости.
Для отношения правдоподобия переведите вероятность в шансы, умножьте и переведите обратно.
Для исследования сначала найдите EER и CER; затем RR = EER/CER, ARR = CER − EER и NNT = 1/ARR с округлением вверх.
Описательная статистика
Среднее
x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана
срединное значение упорядоченных данных
z-оценка
z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение
68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Доверительные интервалы
σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n
Метод
Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
2Тренировочные задачи
1.Статистика доказательной практикиСредняя
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). В исследовании «случай—контроль» сравнивают 80 пациентов с заболеванием (случаи) и 620 людей без него (контроли). В таблице показано, сколько в каждой группе подвергались воздействию фактора риска. Найдите отношение шансов OR для воздействия. Округлите до двух знаков после запятой.
a = 45b = 149c = 35d = 471
OR =
2.Статистика доказательной практикиСложная
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). Проходят скрининг 10 000 человек тестом с чувствительностью 84% и специфичностью 90%. Распространённость заболевания 3%. Сколько ложноположительных результатов FP ожидается?
Величина распределена нормально со средним 100 и стандартным отклонением 5. Какая доля P значений меньше 97,5?
μ = 100σ = 5x = 97,5
P =
5.Доверительные интервалыСредняя
Выборка из 9 элементов имеет среднее 14,5 и стандартное отклонение s = 15. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 95 % доверительного интервала для среднего.
n = 9x̄ = 14,5s = 1595%t(8) = 2,306
нижняя граница =
6.Доверительные интервалыСложная
Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 8. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 0,5?
σ = 8E = 0,599%
n =
7.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Выборка из 36 студентов имеет средний балл 205,7 и выборочное стандартное отклонение 20. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 205,7s = 20n = 36
t =
8.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
В исследовании выздоравливают 60 из 100 пациентов, получавших лечение A, и 170 из 250 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 60n₁ = 100x₂ = 170n₂ = 250
z =
3Растворы
1.Статистика доказательной практики
Ответ: OR = 4,06
Отношения правдоподобия и показатели риска: LR+ = чувствительность/(1 − специфичность), LR− = (1 − чувствительность)/специфичность. В исследовании EER и CER — частоты событий с лечением и без него: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER и NNT = 1/ARR, с округлением вверх. В исследовании «случай—контроль» можно использовать только отношение шансов OR = ad/(bc). Показатель заболеваемости = новые случаи/человеко-время.
Шансы воздействия
случаи: 45/35 = 1,286
контроли: 149/471 = 0,3163
Отношение шансов
OR = (45·471)/(149·35) = 4,064 ≈ 4,06
Ответ
OR = 4,06
OR выше 1: воздействие чаще встречается среди случаев.
2.Статистика доказательной практики
Ответ: FP = 970
Прогностические ценности зависят от распространённости: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) и NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). С отношениями правдоподобия: шансы до теста = p/(1 − p), шансы после теста = шансы до теста × LR, вероятность = шансы/(1 + шансы). Для населения N истинно положительные = N·p·Se и ложноположительные = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), с округлением вверх.
С заболеванием и без него
10 000·0,03 = 300
10 000 − 300 = 9700
Ложноположительные
FP = 9700·0,1 = 970
Ответ
FP = 970
Из 1222 положительных результатов только 252 относятся к больным (PPV 20,6%).
3.Описательная статистика
Ответ: s = 13,41
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = −0,5
Таблица нормального распределения
Φ(−0,5) = 0,3085
P = 0,3085
Ответ
P = 0,3085
5.Доверительные интервалы
Ответ: нижняя граница = 2,97
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Критическое значение
df = n − 1 = 8, t = 2,306
Предельная ошибка
E = 2,306·15/√9 = 11,53
Интервал
14,5 ± 11,53 → [2,97, 26,03]
Ответ
нижняя граница = 2,97
6.Доверительные интервалы
Ответ: n = 1699
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Выразите n
n = (2,576·8/0,5)² = 1699
Округлите вверх
Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.
n = 1699
Ответ
n = 1699
7.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = 1,71
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 20/√36 = 20/6 = 3,333
Статистика критерия
t = (205,7 − 200)/3,333 = 1,71
Ответ
t = 1,71
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| < 2.03, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
8.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: z = −1,424
Проверка гипотезы: статистика критерия = (оценка − значение при H₀)/(стандартная ошибка при H₀). p-значение — это вероятность при условии истинности H₀ получить статистику, не менее экстремальную, чем наблюдаемая: площадь одного хвоста для односторонней H₁ и удвоенная площадь хвоста для двусторонней H₁. Отвергайте H₀, если p ≤ α.
Выборочные доли
p̂₁ = 60/100 = 0,6
p̂₂ = 170/250 = 0,68
p̂ = 230/350 = 0,6571
Стандартная ошибка при H₀
SE = √(0,6571·0,3429·(1/100 + 1/250)) = 0,05616
Статистика критерия
z = (0,6 − 0,68)/0,05616 = −1,424
Ответ
z = −1,424
|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).