Начертите таблицу 2 × 2 и обозначьте a, b, c и d, прежде чем считать.
Читайте чувствительность и специфичность по столбцам, прогностические ценности по строкам.
Для другой распространённости представьте 10 000 человек и заполните таблицу по Se, Sp и распространённости.
Для отношения правдоподобия переведите вероятность в шансы, умножьте и переведите обратно.
Для исследования сначала найдите EER и CER; затем RR = EER/CER, ARR = CER − EER и NNT = 1/ARR с округлением вверх.
Описательная статистика
Среднее
x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана
срединное значение упорядоченных данных
z-оценка
z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение
68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Доверительные интервалы
σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n
Метод
Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
2Тренировочные задачи
1.Статистика доказательной практикиСредняя
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). В рандомизированном исследовании 820 пациентов получили новое лечение, а 750 получили контрольное лечение. В таблице показано, сколько в каждой группе имели исход (нежелательное событие, например инсульт). Найдите число пациентов, которых необходимо лечить, NNT, чтобы предотвратить одно событие. Округлите вверх до целого числа пациентов.
лечение: 138/820контроль: 180/750
NNT =
2.Статистика доказательной практикиСложная
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). Скрининговый тест имеет чувствительность 74% и специфичность 81%. Он применяется в популяции с распространённостью 1%. Найдите прогностическую ценность положительного результата PPV в процентах. Округлите до одного знака после запятой.
Баллы за экзамен распределены нормально со средним 70 и стандартным отклонением 5. Найдите z-оценку z для результата 65.
μ = 70σ = 5x = 65
z =
5.Доверительные интервалыСредняя
Выборка из 16 элементов имеет среднее 29,5 и стандартное отклонение s = 2. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 99 % доверительного интервала для среднего.
n = 16x̄ = 29,5s = 299%t(15) = 2,947
нижняя граница =
6.Доверительные интервалыСложная
Пилотное исследование показывает, что бракованными являются примерно 0,1 изделий. Сколько изделий n нужно проверить, чтобы 95 % доверительный интервал для доли имел предельную ошибку не более 0,03?
p ≈ 0,1E = 0,0395%
n =
7.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Выборка из 64 студентов имеет средний балл 46,13 и выборочное стандартное отклонение 10. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 46,13s = 10n = 64
t =
8.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Односторонний z-критерий для H₀: μ = 80 против H₁: μ < 80 проводится при α = 0.05 по выборке объёмом 36; стандартное отклонение известно и равно 9. В действительности среднее равно 76.25. Найдите вероятность ошибки второго рода β в процентах.
μ₀ = 80μ = 76,25σ = 9n = 36α = 0,05
β = %
3Растворы
1.Статистика доказательной практики
Ответ: NNT = 14
Отношения правдоподобия и показатели риска: LR+ = чувствительность/(1 − специфичность), LR− = (1 − чувствительность)/специфичность. В исследовании EER и CER — частоты событий с лечением и без него: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER и NNT = 1/ARR, с округлением вверх. В исследовании «случай—контроль» можно использовать только отношение шансов OR = ad/(bc). Показатель заболеваемости = новые случаи/человеко-время.
Частота событий
EER = 138/820 = 0,1683
CER = 180/750 = 0,24
Число пациентов, которых необходимо лечить (NNT)
ARR = 0,24 − 0,1683 = 0,07171
NNT = 1/0,07171 = 13,95 → 14
Ответ
NNT = 14
Лечение 14 пациентов предотвращает примерно одно событие.
2.Статистика доказательной практики
Ответ: PPV = 3,8 %
Прогностические ценности зависят от распространённости: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) и NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). С отношениями правдоподобия: шансы до теста = p/(1 − p), шансы после теста = шансы до теста × LR, вероятность = шансы/(1 + шансы). Для населения N истинно положительные = N·p·Se и ложноположительные = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), с округлением вверх.
Чем ниже распространённость, тем ниже PPV того же теста.
3.Описательная статистика
Ответ: s = 18,13
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = (65 − 70)/5 = −1
Ответ
z = −1
5.Доверительные интервалы
Ответ: нижняя граница = 28,03
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Критическое значение
df = n − 1 = 15, t = 2,947
Предельная ошибка
E = 2,947·2/√16 = 1,474
Интервал
29,5 ± 1,474 → [28,03, 30,97]
Ответ
нижняя граница = 28,03
6.Доверительные интервалы
Ответ: n = 385
Доверительный интервал для доли: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), где p̂ = x/n. Чтобы получить предельную ошибку E, нужно n ≥ z²·p(1 − p)/E² с округлением вверх; без предварительной оценки используйте p = 0,5, что даёт наибольшее n.
Выразите n
n = 1,96²·0,1·0,9/0,03² = 384,2
Округлите вверх
n = 385
Ответ
n = 385
7.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = −3,096
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 10/√64 = 10/8 = 1,25
Статистика критерия
t = (46,13 − 50)/1,25 = −3,096
Ответ
t = −3,096
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| > 1,998, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
8.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: β = 19,63 %
Мощность критерия: мощность = 1 − β — вероятность отвергнуть H₀, когда она ложна. Найдите границу x̄c по μ₀ и z_α, затем вычислите вероятность оказаться за x̄c при истинном среднем: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).