Подготовка к экзамену FE Civil: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (30) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Эффективное напряжение в грунте

Полное напряжение: σ = Σγ_i·h_i
Поровое давление: u = γ_w·(z − z_w)
Эффективное напряжение: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолидационная осадка

Нормально уплотнённый грунт: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Конечное напряжение: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переуплотнённый грунт, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переуплотнённый грунт, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коэффициент переуплотнения: OCR = σ′_p/σ′₀
Время консолидации: t = T_v·H_dr²/c_v
Путь фильтрации: H_dr = H/2 (двусторонний дренаж), H (односторонний дренаж)
Факторы времени: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка (неподвижный шарнир в A, подвижная опора в B) нагружена линейно изменяющейся нагрузкой, возрастающей от нуля в A до 8 kN/m в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_A.

L = 8 mw₀ = 8 kN/m

R_A = kN

2.Опорные реакции балокСложная

Балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную опору в B на расстоянии 4 m от A и консольный свес за B до свободного конца C. Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 1,5 m от A и равномерно распределённой нагрузкой w от 3 m до свободного конца в точке 5 m. Найдите вертикальную реакцию R_A, считая положительным направление вверх.

AB = 4 mAC = 5 mP = 10 kN в 1,5 mw = 3 kN/m от 3 до 5 m

R_A = kN

3.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

C: 10 kN ↓D: 10 kN ↓F: 25 kN ↓G: 25 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC

4.Ферма: метод вырезания узловСложная

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AB в стержне AB. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 6 mвысота = 4 mB на расстоянии 4 m от Aвертикальная нагрузка = 40 kNгоризонтальная нагрузка = 10 kN ←

F_AB = kN

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена двумя сосредоточенными силами. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 6 mP₁ = 10 kN в 2,5 mP₂ = 80 kN в 4 m

M_max = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 9,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 10 mP = 45 kN в 8 mw = 12 kN/m от 0 до 10 mx = 9,5 m

M_x = kN·m

7.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Найдите угол поворота θ_A сечения балки на опоре A в радианах.

w = 5 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (алюминий)I = 160 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

8.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w. Её прогиб не должен превышать пролёт/360. Найдите наименьший момент инерции I_req, удовлетворяющий этому условию.

w = 2 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (сталь)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) шарнирно оперта с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (алюминий)d = 25 mm

P_cr = kN

10.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 240 mmt_f = 15 mmt_w = 16 mmh_w = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Сварной двутавр имеет верхнюю полку 130 × 24 mm, стенку высотой 250 mm и толщиной 16 mm и нижнюю полку 240 × 14 mm (ширина × толщина). Найдите его момент инерции I_x относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

верхняя полка: 130 × 24 mmстенка: 16 × 250 mmнижняя полка: 240 × 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.Эффективное напряжение в грунтеСредняя

Для показанного грунтового разреза найдите полное вертикальное напряжение σ в точке X.

z = 11 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 15 kN/m³песок: γ_sat = 20,5 kN/m³

σ = kPa

14.Эффективное напряжение в грунтеСложная

Для показанного грунтового разреза найдите вертикальное эффективное напряжение σ′ в точке X.

z = 5 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 15,5 kN/m³песок: γ_sat = 18,5 kN/m³глина: γ_sat = 18,5 kN/m³

σ′ = kPa

15.Консолидационная осадкаСредняя

Слой переуплотнённой глины толщиной 7 m имеет C_c = 0,35, C_r = 0,02 и e₀ = 1,15. В середине слоя эффективное вертикальное напряжение равно 40 kPa , а давление предварительного уплотнения равно 90 kPa. Новое здание добавляет 80 kPa вертикального напряжения в середине слоя. Найдите осадку первичной консолидации S в mm.

H = 7 mC_c = 0,35C_r = 0,02e₀ = 1,15σ′₀ = 40 kPaσ′_p = 90 kPaΔσ = 80 kPa

S = mm

16.Консолидационная осадкаСложная

Слой глины толщиной 5 m имеет коэффициент консолидации c_v = 3 m²/year. Слой лежит на водонепроницаемой скале, а сверху песок, поэтому вода отводится только вверх. Для средней степени консолидации 70% фактор времени T_v = 0,403. За сколько лет t слой достигнет 70% консолидации?

H = 5 mc_v = 3 m²/годU = 70%T_v = 0,403односторонний дренаж

t = годы

17.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 3 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 4 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 4 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 2 m находится в стенке резервуара с жидкостью (морская вода), его верхний край на 1,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 1,5 mH = 1 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода течёт со средней скоростью 2,6 m/s по трубе длиной 100 m с внутренним диаметром 75 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,022 и g = 9,81 m/s². Найдите потерю напора на трение h_f.

V = 2,6 m/sL = 100 mD = 75 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Трение в трубах и потери напораСложная

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 300 m с внутренним диаметром 250 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,022. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 3 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 5) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Какая разность уровней воды Δz между резервуарами даёт расход 80 L/s?

Q = 80 L/sL = 300 mD = 250 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 5K_exit = 1,0

Δz = m

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Трапецеидальный канал (затёртый бетон) имеет ширину по дну 5,5 m и заложение откосов 1:1 (горизонталь:вертикаль). Вода течёт равномерно с глубиной 1,4 m. Коэффициент Маннинга n = 0,012, уклон дна S = 0,003. Найдите расход Q в m³/s.

b = 5,5 my = 1,4 mz = 1n = 0,012S = 0,003

Q = m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Трапецеидальный канал (грунт, покрытый травой) с шириной по дну 2,5 m и заложением откосов 1:1 (горизонталь:вертикаль) должен пропускать 12 m³/s при равномерном течении с глубиной 1,5 m. Коэффициент Маннинга n = 0,03. Найдите требуемый уклон дна S (в m/m).

Q = 12 m³/sb = 2,5 my = 1,5 mz = 1n = 0,03

S = m/m

23.Насосы и мощность насосаСредняя

Насос с КПД 85% подаёт 100 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 70 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите необходимую мощность на валу P_shaft в kW.

Q = 100 L/sH = 70 mη = 85%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

24.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 120 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 30 m выше. Труба длиной 300 m имеет внутренний диаметр 250 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,025; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 8 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². КПД насоса 75%. Найдите мощность на валу P_shaft в kW.

Q = 120 L/sΔz = 30 mL = 300 mD = 250 mmf = 0,025ΣK = 8η = 75%

P_shaft = kW

25.Временная стоимость денегСредняя

Кредитная карта начисляет номинальную процентную ставку 19,5 % годовых с ежедневно капитализацией. Найдите эффективную годовую ставку EAR в процентах.

r = 19,5%m = 365

EAR = %

26.Временная стоимость денегСложная

Вы откладываете €500 в конце каждого месяца в течение 11 лет. Счёт даёт 7,2 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько вы накопите в конце? Найдите FV.

A = €5007,2% / 12N = 132

FV = €

27.NPV и IRRСредняя

Инвестиция €30 000 даёт в конце лет с 1 по 4 такие денежные потоки: €8 000, €10 000, €14 000, €13 000. Стоимость капитала — 8 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

r = 8%CF₀ = −30 000CF₁ = 8 000CF₂ = 10 000CF₃ = 14 000CF₄ = 13 000

NPV = €

28.NPV и IRRСложная

Проект стоит €10 000 и приносит €4 000, €6 500, €7 000 в конце лет с 1 по 3. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −10 000CF₁ = 4 000CF₂ = 6 500CF₃ = 7 000

IRR = %

29.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь под стандартной нормальной кривой справа от z была равна 0,0228. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,0228

z =

30.Нормальное распределениеСложная

Рост мужчин X и женщин Y в группе независимы и нормально распределены: X имеет среднее 180 cm и стандартное отклонение 10 cm, Y имеет среднее 170 cm и стандартное отклонение 12 cm. Найдите вероятность P того, что X больше Y. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 10,67 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Равнодействующая треугольной нагрузки

W = ½·8·8 = 32 kN

x̄ = 2L/3 = 5,333 m

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 32·5,333

R_B = 21,33 kN

R_A = 32 − 21,33 = 10,67 kN

Ответ

R_A = 10,67 kN

2.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 6,25 kN

Равнодействующая распределённой нагрузки

W = 3·2 = 6 kN, x̄ = (3 + 5)/2 = 4 m

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·1,5 + 6·4

R_B = 39/4 = 9,75 kN

R_A = 16 − 9,75 = 6,25 kN

Ответ

R_A = 6,25 kN

3.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент BF

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел B

AB и BC лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 38,75 kN (T), BC: 38,75 kN (T), CD: 31,25 kN (T), DE: 31,25 kN (T), FG: 52,5 kN (C), GH: 52,5 kN (C), AF: 54,8 kN (C), HE: 44,19 kN (C), BF: 0, CG: 25 kN (C), DH: 10 kN (T), FC: 19,45 kN (T), HC: 30,05 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: BF

4.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AB = −28,28 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 40·4 − 10·4 → C_y = 20 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 20 = 20 kN

ΣF_x = 0: A_x = 10 kN

Узел A

Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.

sin α = 4/5,657 = 0,7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −20/0,7071 = −28,28 kN

Ответ

F_AB = −28,28 kN (сжатие)

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 115 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·2,5 + 80·4

R_B = 345/6 = 57,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 57,5 = 32,5 kN

Момент под каждой силой

Оставляйте часть слева от каждой силы.

под P₁: M = R_A·2,5 = 32,5·2,5 = 81,25 kN·m

под P₂: M = R_B·2 = 57,5·2 = 115 kN·m

Наибольшее значение

M_max = 115 kN·m (под P₂)

Ответ

M_max = 115 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 46,5 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN, приложена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 45·8 + 12·10·5

R_B = 960/10 = 96 kN

ΣF_y = 0: R_A = 165 − 96 = 69 kN

Рассеките в x = 9,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 69·9,5 − 45·(9,5 − 8) − 12·9,5·4,75 = 46,5 kN·m

Ответ

M_x = 46,5 kN·m

7.Прогиб балки

Ответ: θ_A = 0,002325 rad

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции). Угол поворота θ = dv/dx — это первый интеграл от M/(EI); в согласованных единицах он получается в радианах.

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 5000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Угол поворота на конце

θ_A = wL³/(24EI) = 5·5000³/(24·1,12 × 10¹³) = 0,002325 rad

Ответ

θ_A = 0,002325 rad

Это 0,1332°.

8.Прогиб балки

Ответ: I_req = 3 × 10⁶ mm⁴

Ограничение прогиба

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Требуемый момент инерции

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·4000⁴/(384·200000·11,11) = 3 × 10⁶ mm⁴

I_req = 3 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_req = 3 × 10⁶ mm⁴

9.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 13,25 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Расчётная длина

KL = 1·1000 = 1000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/1000² = 13247 N = 13,25 kN

Ответ

P_cr = 13,25 kN

10.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 126,3 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 1·2500 = 2500 mm

KL/r = 2500/20 = 125

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/125² = 126,3 MPa

Ответ

σ_cr = 126,3 MPa

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 12,02 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 240·15 = 3600 mm², y_f = 140 + 15/2 = 147,5 mm

стенка: A_w = 16·140 = 2240 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·147,5 + 2240·70)/5840 = 117,8 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 240·15³/12 + 3600·(147,5 − 117,8)² = 3,249 × 10⁶ mm⁴

стенка: 16·140³/12 + 2240·(70 − 117,8)² = 8,771 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3,249 × 10⁶ + 8,771 × 10⁶ = 1,202 × 10⁷ mm⁴ = 12,02 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 12,02 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 138,1 × 10⁶ mm⁴

Разбиваем на три прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

верхняя полка: A = 3120 mm², y = 276 mm

стенка: A = 4000 mm², y = 139 mm

нижняя полка: A = 3360 mm², y = 7 mm

Центр тяжести

ȳ = (3120·276 + 4000·139 + 3360·7)/10480 = 137,5 mm

Теорема о параллельном переносе осей

верхняя полка: 130·24³/12 + 3120·138,5² = 6,003 × 10⁷ mm⁴

стенка: 16·250³/12 + 4000·1,534² = 2,084 × 10⁷ mm⁴

нижняя полка: 240·14³/12 + 3360·130,5² = 5,725 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,003 × 10⁷ + 2,084 × 10⁷ + 5,725 × 10⁷

I_x = 1,381 × 10⁸ mm⁴ = 138,1 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 138,1 × 10⁶ mm⁴

13.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: σ = 203,5 kPa

Эффективное напряжение (Терцаги): скелет грунта воспринимает σ′ = σ − u. Полное напряжение σ — это вес всего, что над точкой, Σγ·h, с удельным весом сухого грунта выше уровня грунтовых вод и водонасыщенного — ниже. Ниже уровня грунтовых вод поровое давление гидростатическое: u = γ_w·(глубина ниже уровня грунтовых вод).

Полное напряжение

Сложите вес каждого слоя грунта над X. Выше уровня грунтовых вод берите удельный вес сухого грунта, ниже — водонасыщенного.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15·4 + 20,5·7 = 203,5 kPa

Ответ

σ = 203,5 kPa

14.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: σ′ = 50,26 kPa

Полное напряжение

σ = γ_d·1 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·2

σ = 15,5·1 + 18,5·2 + 18,5·2 = 89,5 kPa

Поровое давление

Давление воды растёт с глубиной ниже уровня грунтовых вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·4 = 39,24 kPa

Эффективное напряжение

σ′ = σ − u = 89,5 − 39,24 = 50,26 kPa

Ответ

σ′ = 50,26 kPa

15.Консолидационная осадка

Ответ: S = 165,3 mm

Первичная консолидация слоя глины толщиной H по эффективному напряжению в середине слоя: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально уплотнённая глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переуплотнённая глина повторно сжимается по C_r до давления предварительного уплотнения σ′_p и следует C_c только выше него. Время: t = T_v·H_dr²/c_v, где путь фильтрации H_dr равен H/2, когда вода может уходить вверх и вниз, и H, когда дренирует только одна сторона.

Сравните с давлением предварительного уплотнения

σ′_f = 40 + 80 = 120 kPa > 90 kPa

Осадка

Повторное сжатие до σ′_p, первичное сжатие за ним.

S = 0,02·7/(1 + 1,15)·log₁₀(90/40) + 0,35·7/(1 + 1,15)·log₁₀(120/90)

S = 22,93 + 142,4 = 165,3 mm

Ответ

S = 165,3 mm

16.Консолидационная осадка

Ответ: t = 3,358 годы

Путь фильтрации

H_dr = H = 5 m

Время

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,403·5²/3 = 3,358 годы

Ответ

t = 3,358 годы

17.Гидростатическое давление

Ответ: F = 209,7 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 4 + 1,5/2 = 4,75 m

A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,75·4,5 = 209,7 kN

Ответ

F = 209,7 kN

18.Гидростатическое давление

Ответ: F = 40,22 kN

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1,5 + 1/2 = 2 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·2·2 = 40,22 kN

Ответ

F = 40,22 kN

19.Трение в трубах и потери напора

Ответ: h_f = 10,11 m

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Скоростной напор

V²/(2g) = 2,6²/(2·9,81) = 0,3445 m

Формула Дарси–Вейсбаха

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(100/0,075)·2,6²/(2·9,81) = 10,11 m

Ответ

h_f = 10,11 m

20.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δz = 4,576 m

Скорость

V = Q/A = 0,08/0,04909 = 1,63 m/s

V²/(2g) = 0,1354 m

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,022·300/0,25 = 26,4

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 + 1,0 = 7,4

Полная потеря напора

h_f = 26,4·0,1354 = 3,574 m

h_m = 7,4·0,1354 = 1,002 m

Δz = h_f + h_m = 4,576 m

Ответ

Δz = 4,576 m

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 44,71 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (5,5 + 1·1,4)·1,4 = 9,66 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5,5 + 2·1,4·√(1 + 1²) = 9,46 m

R = A/P = 1,021 m

Скорость

V = (1/0,012)·1,021^2/3·0,003^1/2 = 4,629 m/s

Расход

Q = A·V = 9,66·4,629 = 44,71 m³/s

Ответ

Q = 44,71 m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,004206 m/m

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (2,5 + 1·1,5)·1,5 = 6 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·1,5·√(1 + 1²) = 6,743 m

R = A/P = 0,8899 m

Выразите S из формулы Маннинга

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,03·12/(6·0,9252) = 0,06485

S = 0,06485² = 0,004206

Ответ

S = 0,004206

Это понижение на 4,206 m на километр.

23.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_shaft = 80,79 kW

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,1·70 = 68,67 kW

Мощность на валу

P_shaft = P_h/η = 68,67/0,85 = 80,79 kW

Ответ

P_shaft = 80,79 kW

24.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_shaft = 65,26 kW

Скорость

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 8)·0,3046 = 11,57 m

Напор насоса

H = Δz + h_L = 30 + 11,57 = 41,57 m

Мощность на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,12·41,57/0,75 = 65,26 kW

Ответ

P_shaft = 65,26 kW

25.Временная стоимость денег

Ответ: EAR = 21,52 %

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка за период

r/m = 0,195/365 = 0,0005342

Наращение за один год

EAR = (1 + 0,0005342)³⁶⁵ − 1 = 1,215 − 1 = 21,52%

Ответ

EAR = 21,52%

Если проценты начисляются чаще одного раза в год, EAR всегда выше номинальной ставки.

26.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 100216 €

Месячная ставка и число взносов

i = 0,07200000000000001/12 = 0,006

N = 12·11 = 132

Будущая стоимость взносов

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 500·(2,203 − 1)/0,006 = €100 215,75

Ответ

FV = €100 215,75

Сами вы внесли €66 000; остальное — проценты.

27.NPV и IRR

Ответ: NPV = 6650 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость каждого потока

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,08)¹ = 8 000/1,08 = 7 407,41

CF₂/(1 + 0,08)² = 10 000/1,166 = 8 573,39

CF₃/(1 + 0,08)³ = 14 000/1,26 = 11 113,65

CF₄/(1 + 0,08)⁴ = 13 000/1,36 = 9 555,39

Сложите

NPV = €6 649,84

Ответ

NPV = €6 649,84

NPV положительна, значит проект зарабатывает больше требуемой доходности.

28.NPV и IRR

Ответ: IRR = 30,7 %

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(30%) = 109,24

NPV(35%) = −625,41

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 30 + 5·109,24/(109,24 − (−625,41)) = 30,74%

точно: NPV(30,7%) = 0 → IRR = 30,7%

Ответ

IRR = 30,7%

29.Нормальное распределение

Ответ: z = 2

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = 1 − 0,0228 = 0,9772

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,9772 внутри таблицы и считайте z.

z = 2,00

Ответ

z = 2,00

30.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7389

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение разности

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Стандартизуйте

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Вероятность

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Ответ

P = 0,7389

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. Экзамен FE exam проводит NCEES; эта организация не связана с ExamProblems и не поддерживает его.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil