Подготовка к экзамену FE Civil: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (30) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Эффективное напряжение в грунте

Полное напряжение: σ = Σγ_i·h_i
Поровое давление: u = γ_w·(z − z_w)
Эффективное напряжение: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолидационная осадка

Нормально уплотнённый грунт: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Конечное напряжение: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переуплотнённый грунт, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переуплотнённый грунт, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коэффициент переуплотнения: OCR = σ′_p/σ′₀
Время консолидации: t = T_v·H_dr²/c_v
Путь фильтрации: H_dr = H/2 (двусторонний дренаж), H (односторонний дренаж)
Факторы времени: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 5 m от A и сосредоточенным моментом M, направленным против часовой стрелки, на расстоянии 3 m от A. Найдите вертикальную реакцию R_B, считая положительным направление вверх.

L = 8 mP = 60 kN в 5 mM = 50 kN·m (против часовой стрелки) в 3 m

R_B = kN

2.Опорные реакции балокСложная

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_A.

L = 5 mP = 55 kN в 1,5 mw = 8 kN/m от 0 до 3 m

R_A = kN

3.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AB в стержне AB. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 4 mвысота = 3 mB на расстоянии 3 m от Aвертикальная нагрузка = 30 kN

F_AB = kN

4.Ферма: метод вырезания узловСложная

пролёт = 4 mвысота = 3 mB на расстоянии 3 m от Aвертикальная нагрузка = 50 kNгоризонтальная нагрузка = 20 kN →

F_AB = kN

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 10 mw = 4 kN/m от 0 до 10 mx = 5 m

M_x = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 2 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 6 mP = 25 kN в 2 mw = 6 kN/m от 0 до 6 mx = 2 m

M_x = kN·m

7.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Найдите наибольший прогиб δ_max в середине пролёта.

w = 12 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (алюминий)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w и сосредоточенной силой P в середине пролёта. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб в середине δ_max.

P = 8 kNw = 12 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (алюминий)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и свободна вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 30 × 40 mm

P_cr = kN

10.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (алюминий) шарнирно оперта с обоих концов. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 2,5 mE = 70 GPa (алюминий)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Круглая труба имеет наружный диаметр D = 220 mm и внутренний диаметр d = 204 mm. Найдите его радиус инерции r относительно горизонтальной центральной оси.

D = 220 mmd = 204 mm

r = mm

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Симметричный двутавр имеет полки шириной 120 mm и толщиной 22 mm, полную высоту 400 mm и стенку толщиной 12 mm. Оно воспринимает изгибающий момент 100 kN·m относительно оси x. Найдите величину нормального напряжения при изгибе σ_j в месте сопряжения стенки с верхней полкой.

B = 120 mmH = 400 mmt_f = 22 mmt_w = 12 mmM = 100 kN·m

σ_j = MPa

13.Эффективное напряжение в грунтеСредняя

Для показанного грунтового разреза найдите поровое давление u в точке X.

z = 4 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 17 kN/m³песок: γ_sat = 18,5 kN/m³

u = kPa

14.Эффективное напряжение в грунтеСложная

Для показанного грунтового разреза найдите поровое давление u в точке X.

z = 6,5 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 17 kN/m³песок: γ_sat = 19,5 kN/m³глина: γ_sat = 19 kN/m³

u = kPa

15.Консолидационная осадкаСредняя

Слой переуплотнённой глины толщиной 2,5 m имеет C_c = 0,5, C_r = 0,03 и e₀ = 1,15. В середине слоя эффективное вертикальное напряжение равно 55 kPa , а коэффициент переуплотнения OCR = 2. Новое здание добавляет 200 kPa вертикального напряжения в середине слоя. Найдите осадку первичной консолидации S в mm.

H = 2,5 mC_c = 0,5C_r = 0,03e₀ = 1,15σ′₀ = 55 kPaOCR = 2Δσ = 200 kPa

S = mm

16.Консолидационная осадкаСложная

В лабораторном компрессионном испытании образец глины толщиной 25 mm с дренированием сверху и снизу достигает 50% консолидации за 15 min. В природе та же глина образует слой толщиной 9 m. Слой лежит на водонепроницаемой скале, а сверху песок, поэтому вода отводится только вверх. За сколько суток t природный слой достигнет 50% консолидации?

h_lab = 25 mmt_lab = 15 minH = 9 mв природе: односторонний дренаж

t = сут

17.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 2 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 4 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 4 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1,5 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 0,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 0,5 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода течёт со средней скоростью 1,2 m/s по трубе длиной 800 m с внутренним диаметром 200 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,028 и g = 9,81 m/s². Найдите потерю напора на трение h_f.

V = 1,2 m/sL = 800 mD = 200 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Трение в трубах и потери напораСложная

Труба длиной 200 m с внутренним диаметром 300 mm (коэффициент трения Дарси f = 0,02) отходит от открытого резервуара и выпускает воду свободной струёй в атмосферу. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 4 колена (K = 0,3 каждое) и задвижка (K = 2). Примите g = 9,81 m/s². На какой высоте H над выходом трубы должна находиться поверхность воды в резервуаре, чтобы расход был 75 L/s?

Q = 75 L/sL = 200 mD = 300 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 2

H = m

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Трапецеидальный канал (необработанный бетон) имеет ширину по дну 5,5 m и заложение откосов 2:1 (горизонталь:вертикаль). Вода течёт равномерно с глубиной 1,4 m. Коэффициент Маннинга n = 0,014, уклон дна S = 0,004. Найдите расход Q в m³/s.

b = 5,5 my = 1,4 mz = 2n = 0,014S = 0,004

Q = m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Трапецеидальный канал (грунт, покрытый травой) с шириной по дну 3,5 m и заложением откосов 3:1 (горизонталь:вертикаль) должен пропускать 27 m³/s при равномерном течении с глубиной 1,7 m. Коэффициент Маннинга n = 0,03. Найдите требуемый уклон дна S (в m/m).

Q = 27 m³/sb = 3,5 my = 1,7 mz = 3n = 0,03

S = m/m

23.Насосы и мощность насосаСредняя

Насос подаёт 20 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 64 m. КПД насоса 78%, а КПД приводящего его электродвигателя 88%. Примите g = 9,81 m/s². Найдите электрическую мощность P_el, потребляемую двигателем, в kW.

Q = 20 L/sH = 64 mη_pump = 78%η_motor = 88%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

24.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 75 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 7 m выше. Труба длиной 150 m имеет внутренний диаметр 250 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,018; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 6 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². Найдите напор H, который должен создать насос.

Q = 75 L/sΔz = 7 mL = 150 mD = 250 mmf = 0,018ΣK = 6

H = m

25.Временная стоимость денегСредняя

Вы инвестируете €1 000 под 2 % годовых с непрерывным начислением процентов. Найдите стоимость FV через 12 лет.

PV = €1 000r = 2%t = 12

FV = €

26.Временная стоимость денегСложная

Через 7 лет вам нужно €25 000. Вы откладываете одинаковую сумму в конце каждого месяца на счёт под 4,2 % годовых с ежемесячной капитализацией. Найдите ежемесячный взнос A.

FV = €25 0004,2% / 12N = 84

A = €

27.NPV и IRRСредняя

Инвестиция €30 000 даёт в конце лет с 1 по 4 такие денежные потоки: €15 000, €14 000, €13 000, €8 000. Стоимость капитала — 5 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

r = 5%CF₀ = −30 000CF₁ = 15 000CF₂ = 14 000CF₃ = 13 000CF₄ = 8 000

NPV = €

28.NPV и IRRСложная

Проект стоит €50 000 и приносит €22 500, €36 500, €32 500 в конце лет с 1 по 3. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −50 000CF₁ = 22 500CF₂ = 36 500CF₃ = 32 500

IRR = %

29.Нормальное распределениеСредняя

Массы объектов (мешки с цементом) независимы и нормально распределены со средним 25 kg и стандартным отклонением 0,5 kg. Найдите вероятность P того, что общая масса 10 из них превышает 251,6 kg. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 10> 251,6 kg

P =

30.Нормальное распределениеСложная

Пусть баллы за экзамен распределены нормально со средним 65 баллов и стандартным отклонением 10 баллов. Найдите значение x, ниже которого лежат 80 % значений (80-й процентиль).

μ = 65σ = 10P = 80%

x = баллов

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 31,25 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Моменты относительно A

Против часовой стрелки — положительно.

ΣM_A = 0: R_B·8 − 60·5 + 50 = 0

R_B = 250/8 = 31,25 kN

Равновесие по вертикали

R_A = 60 − 31,25 = 28,75 kN

Ответ

R_B = 31,25 kN

Отрицательная реакция направлена вниз.

2.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 55,3 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 8·3 = 24 kN, приложена в x̄ = 1,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 55·1,5 + 8·3·1,5

R_B = 118,5/5 = 23,7 kN

ΣF_y = 0: R_A = 79 − 23,7 = 55,3 kN

Ответ

R_A = 55,3 kN

3.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AB = −10,61 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 30·3 → C_y = 22,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 22,5 = 7,5 kN

Узел A

Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.

sin α = 3/4,243 = 0,7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −7,5/0,7071 = −10,61 kN

Ответ

F_AB = −10,61 kN (сжатие)

4.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AB = 3,536 kN

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 50·3 + 20·3 → C_y = 52,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 52,5 = −2,5 kN

ΣF_x = 0: A_x = −20 kN

Узел A

Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.

sin α = 3/4,243 = 0,7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −−2,5/0,7071 = 3,536 kN

Ответ

F_AB = 3,536 kN (растяжение)

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 50 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN, приложена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 4·10·5

R_B = 200/10 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

Рассеките в x = 5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 20·5 − 4·5·2,5 = 50 kN·m

Ответ

M_x = 50 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 57,33 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, приложена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 25·2 + 6·6·3

R_B = 158/6 = 26,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 61 − 26,33 = 34,67 kN

Рассеките в x = 2 m и оставьте левую часть

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 34,67·2 − 6·2·1 = 57,33 kN·m

Ответ

M_x = 57,33 kN·m

7.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 4,762 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 4000 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Прогиб

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·4000⁴/(384·8,4 × 10¹²) = 4,762 mm

Ответ

δ_max = 4,762 mm

8.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 47,02 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 8000 N, w = 12 N/mm, L = 5000 mm, EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δ_P = PL³/(48EI) = 8000·5000³/(48·2,52 × 10¹²) = 8,267 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·5000⁴/(384·2,52 × 10¹²) = 38,75 mm

Сложите

δ_max = 8,267 + 38,75 = 47,02 mm

Ответ

δ_max = 47,02 mm

9.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 7,106 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

Расчётная длина

KL = 2·2500 = 5000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·90000/5000² = 7106 N = 7,106 kN

Ответ

P_cr = 7,106 kN

10.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 11,05 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·2500 = 2500 mm

KL/r = 2500/10 = 250

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/250² = 11,05 MPa

Ответ

σ_cr = 11,05 MPa

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: r = 75,01 mm

Момент инерции сечения: для прямоугольника относительно его собственной центральной оси I = bh³/12, а относительно основания bh³/3 (теорема о параллельном переносе осей I = I_c + A·d²). Отверстие учитывают, вычитая его I, если обе части отнесены к одной и той же оси. Момент сопротивления сечения S = I/c, где c — расстояние до крайнего волокна. Радиус инерции r = √(I/A) — это расстояние, на котором вся площадь дала бы тот же I; он используется при расчёте колонн на устойчивость.

Площадь и момент инерции нетто

A = π(D² − d²)/4 = 5328 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 2,998 × 10⁷ mm⁴

Радиус инерции

r = √(I/A) = √(2,998 × 10⁷/5328) = 75,01 mm

Ответ

r = 75,01 mm

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_j = 76,09 MPa

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Наружный прямоугольник минус два боковых выреза

Оба выреза вместе имеют ширину (B − t_w) и высоту h_w = H − 2t_f и отнесены к оси x.

h_w = 400 − 2·22 = 356 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (120·400³ − 108·356³)/12

I_x = 2,339 × 10⁸ mm⁴

Напряжение изгиба

y = 200 − 22 = 178 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁸·178/2,339 × 10⁸ = 76,09 MPa

Ответ

σ_j = 76,09 MPa

13.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: u = 29,43 kPa

Эффективное напряжение (Терцаги): скелет грунта воспринимает σ′ = σ − u. Полное напряжение σ — это вес всего, что над точкой, Σγ·h, с удельным весом сухого грунта выше уровня грунтовых вод и водонасыщенного — ниже. Ниже уровня грунтовых вод поровое давление гидростатическое: u = γ_w·(глубина ниже уровня грунтовых вод).

Поровое давление

Давление воды растёт с глубиной ниже уровня грунтовых вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·3 = 29,43 kPa

Ответ

u = 29,43 kPa

14.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: u = 53,96 kPa

Поровое давление

Давление воды растёт с глубиной ниже уровня грунтовых вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·5,5 = 53,96 kPa

Ответ

u = 53,96 kPa

15.Консолидационная осадка

Ответ: S = 222,8 mm

Первичная консолидация слоя глины толщиной H по эффективному напряжению в середине слоя: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально уплотнённая глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переуплотнённая глина повторно сжимается по C_r до давления предварительного уплотнения σ′_p и следует C_c только выше него. Время: t = T_v·H_dr²/c_v, где путь фильтрации H_dr равен H/2, когда вода может уходить вверх и вниз, и H, когда дренирует только одна сторона.

Давление предварительного уплотнения

σ′_p = OCR·σ′₀ = 2·55 = 110 kPa

Сравните с давлением предварительного уплотнения

σ′_f = 55 + 200 = 255 kPa > 110 kPa

Осадка

Повторное сжатие до σ′_p, первичное сжатие за ним.

S = 0,03·2,5/(1 + 1,15)·log₁₀(110/55) + 0,5·2,5/(1 + 1,15)·log₁₀(255/110)

S = 10,5 + 212,3 = 222,8 mm

Ответ

S = 222,8 mm

16.Консолидационная осадка

Ответ: t = 5400 сут

Пути фильтрации

H_dr,lab = 25/2 = 12,5 mm = 0,0125 m

H_dr,field = 9 m

Пересчитайте время

t = T_v·H_dr²/c_v с одинаковыми T_v и c_v в лаборатории и в природе.

t_field = 15·(9/0,0125)² = 7,776 × 10⁶ min

t_field = 7,776 × 10⁶/1440 = 5400 сут

Ответ

t = 5400 сут

17.Гидростатическое давление

Ответ: F = 257,5 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 4 + 2,5/2 = 5,25 m

A = H·b = 2,5·2 = 5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·5,25·5 = 257,5 kN

Ответ

F = 257,5 kN

18.Гидростатическое давление

Ответ: F = 64,38 kN

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 0,5 + 2,5/2 = 1,75 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,75·3,75 = 64,38 kN

Ответ

F = 64,38 kN

19.Трение в трубах и потери напора

Ответ: h_f = 8,22 m

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Скоростной напор

V²/(2g) = 1,2²/(2·9,81) = 0,07339 m

Формула Дарси–Вейсбаха

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(800/0,2)·1,2²/(2·9,81) = 8,22 m

Ответ

h_f = 8,22 m

20.Трение в трубах и потери напора

Ответ: H = 1,035 m

Скорость

V = Q/A = 0,075/0,07069 = 1,061 m/s

V²/(2g) = 0,05738 m

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,02·200/0,3 = 13,33

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 = 3,7

Уравнение энергии

Выходящая струя сохраняет свой скоростной напор; это не потеря, но его нужно обеспечить.

H = (1 + 13,33 + 3,7)·0,05738 = 1,035 m

Ответ

H = 1,035 m

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 52,07 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (5,5 + 2·1,4)·1,4 = 11,62 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5,5 + 2·1,4·√(1 + 2²) = 11,76 m

R = A/P = 0,988 m

Скорость

V = (1/0,014)·0,988^2/3·0,004^1/2 = 4,481 m/s

Расход

Q = A·V = 11,62·4,481 = 52,07 m³/s

Ответ

Q = 52,07 m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,002967 m/m

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (3,5 + 3·1,7)·1,7 = 14,62 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3,5 + 2·1,7·√(1 + 3²) = 14,25 m

R = A/P = 1,026 m

Выразите S из формулы Маннинга

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,03·27/(14,62·1,017) = 0,05447

S = 0,05447² = 0,002967

Ответ

S = 0,002967

Это понижение на 2,967 m на километр.

23.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_el = 18,29 kW

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·64 = 12,56 kW

Мощность на валу

P_shaft = 12,56/0,78 = 16,1 kW

Электрическая мощность

P_el = 16,1/0,88 = 18,29 kW

Ответ

P_el = 18,29 kW

24.Насосы и мощность насоса

Ответ: H = 8,999 m

Скорость

V = Q/A = 0,075/0,04909 = 1,528 m/s

V²/(2g) = 0,119 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (10,8 + 6)·0,119 = 1,999 m

Напор насоса

Обе поверхности открыты и практически неподвижны, поэтому члены с давлением и скоростью выпадают.

H = Δz + h_L = 7 + 1,999 = 8,999 m

Ответ

H = 8,999 m

25.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 1271 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Показатель степени

r·t = 0,02·12 = 0,24

e^0,24 = 1,271

Будущая стоимость

FV = 1 000·1,271 = €1 271,25

Ответ

FV = €1 271,25

26.Временная стоимость денег

Ответ: A = 256,5 €

Месячная ставка и число взносов

i = 0,042/12 = 0,0035

N = 12·7 = 84

Взнос

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 25 000·0,0035/(1,341 − 1) = €256,53

Ответ

A = €256,53

27.NPV и IRR

Ответ: NPV = 14796 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость каждого потока

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,05)¹ = 15 000/1,05 = 14 285,71

CF₂/(1 + 0,05)² = 14 000/1,103 = 12 698,41

CF₃/(1 + 0,05)³ = 13 000/1,158 = 11 229,89

CF₄/(1 + 0,05)⁴ = 8 000/1,216 = 6 581,62

Сложите

NPV = €14 795,64

Ответ

NPV = €14 795,64

NPV положительна, значит проект зарабатывает больше требуемой доходности.

28.NPV и IRR

Ответ: IRR = 34,86 %

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(30%) = 3 698,22

NPV(35%) = −96,53

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 30 + 5·3 698,22/(3 698,22 − (−96,53)) = 34,87%

точно: NPV(34,86%) = 0 → IRR = 34,86%

Ответ

IRR = 34,86%

29.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,1562

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ_T = 250 kg, σ_T = 0,5·√10 = 1,581 kg

Стандартизуйте

z = (251,6 − 250)/1,581 = 1,01

Вероятность

P = 1 − Φ(1,01) = 0,1562

Ответ

P = 0,1562

30.Нормальное распределение

Ответ: x = 73,42 баллов

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

Обратно к x

x = 65 + 0,8416·10 = 73,42 баллов

Ответ

x = 73,42 баллов

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. Экзамен FE exam проводит NCEES; эта организация не связана с ExamProblems и не поддерживает его.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil