Подготовка к экзамену FE Civil: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (30) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Эффективное напряжение в грунте

Полное напряжение: σ = Σγ_i·h_i
Поровое давление: u = γ_w·(z − z_w)
Эффективное напряжение: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолидационная осадка

Нормально уплотнённый грунт: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Конечное напряжение: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переуплотнённый грунт, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переуплотнённый грунт, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коэффициент переуплотнения: OCR = σ′_p/σ′₀
Время консолидации: t = T_v·H_dr²/c_v
Путь фильтрации: H_dr = H/2 (двусторонний дренаж), H (односторонний дренаж)
Факторы времени: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 9 m от A и сосредоточенным моментом M, направленным по часовой стрелке, на расстоянии 4 m от A. Найдите вертикальную реакцию R_A, считая положительным направление вверх.

L = 10 mP = 45 kN в 9 mM = 20 kN·m (по часовой стрелке) в 4 m

R_A = kN

2.Опорные реакции балокСложная

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. На расстоянии 1 m от A действует сила P, наклонённая под углом 45° к горизонтали, а на расстоянии 3 m от A — вертикальная сила Q. Найдите величину полной силы реакции R_A в шарнире A.

L = 8 mP = 60 kN в 1 m, θ = 45°Q = 45 kN в 3 m

R_A = kN

3.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AB в стержне AB. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 4 mвысота = 2 mB на расстоянии 3 m от Aвертикальная нагрузка = 45 kN

F_AB = kN

4.Ферма: метод вырезания узловСложная

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

B: 40 kN ↓D: 35 kN ↓H: 15 kN ↓H: 15 kN ←

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент BG
13элемент DG

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

45 kN @ 3 m6 kN/m, 0–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 7 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 8 mP = 25 kN в 1 mw = 3 kN/m от 0 до 8 mx = 7 m

M_x = kN·m

7.Прогиб балкиСредняя

Консоль длиной L защемлена в A и нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии a = 0,5 m от A. Найдите прогиб δ_B свободного конца B.

P = 30 kNa = 0,5 mL = 2 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

8.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w и сосредоточенной силой P в середине пролёта. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб в середине δ_max.

P = 22 kNw = 2 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (сталь)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (алюминий)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и свободна вверху. Она должна выдерживать 150 kN с коэффициентом запаса устойчивости 3. Найдите наименьший диаметр d.

P = 150 kNn = 3L = 3 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 300 mmt_f = 25 mmt_w = 8 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 20 kN·m. Найдите величину напряжения изгиба σ_верх на верхнем крае.

b_f = 100 mmt_f = 10 mmt_w = 14 mmh_w = 260 mmM = 20 kN·m

σ_верх = MPa

13.Эффективное напряжение в грунтеСредняя

Для показанного грунтового разреза найдите поровое давление u в точке X.

z = 6 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 16,5 kN/m³песок: γ_sat = 19,5 kN/m³

u = kPa

14.Эффективное напряжение в грунтеСложная

Для показанного грунтового разреза найдите вертикальное эффективное напряжение σ′ в точке X.

z = 6,5 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 15,5 kN/m³песок: γ_sat = 19,5 kN/m³глина: γ_sat = 18,5 kN/m³

σ′ = kPa

15.Консолидационная осадкаСредняя

Слой переуплотнённой глины толщиной 4 m имеет C_c = 0,45, C_r = 0,02 и e₀ = 0,95. В середине слоя эффективное вертикальное напряжение равно 85 kPa , а коэффициент переуплотнения OCR = 2,5. Новое здание добавляет 20 kPa вертикального напряжения в середине слоя. Найдите осадку первичной консолидации S в mm.

H = 4 mC_c = 0,45C_r = 0,02e₀ = 0,95σ′₀ = 85 kPaOCR = 2,5Δσ = 20 kPa

S = mm

16.Консолидационная осадкаСложная

Слой глины толщиной 4,5 m имеет коэффициент консолидации c_v = 1 m²/year. Слой лежит на водонепроницаемой скале, а сверху песок, поэтому вода отводится только вверх. Для средней степени консолидации 80% фактор времени T_v = 0,567. За сколько лет t слой достигнет 80% консолидации?

H = 4,5 mc_v = 1 m²/годU = 80%T_v = 0,567односторонний дренаж

t = годы

17.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 2 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 3 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 3 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 3 m находится в стенке резервуара с жидкостью (глицерин), его верхний край на 2,5 m ниже поверхности. Найдите глубину y_cp центра давления под поверхностью.

d = 2,5 mH = 2 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода течёт со средней скоростью 1,6 m/s по трубе длиной 800 m с внутренним диаметром 100 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,025 и g = 9,81 m/s². Найдите потерю напора на трение h_f.

V = 1,6 m/sL = 800 mD = 100 mmf = 0,025g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Трение в трубах и потери напораСложная

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 150 m с внутренним диаметром 100 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,015. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 2 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 10) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Какая разность уровней воды Δz между резервуарами даёт расход 20 L/s?

Q = 20 L/sL = 150 mD = 100 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 10K_exit = 1,0

Δz = m

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Трапецеидальный канал (необработанный бетон) имеет ширину по дну 2,5 m и заложение откосов 1,5:1 (горизонталь:вертикаль). Вода течёт равномерно с глубиной 1,4 m. Коэффициент Маннинга n = 0,014, уклон дна S = 0,005. Найдите расход Q в m³/s.

b = 2,5 my = 1,4 mz = 1,5n = 0,014S = 0,005

Q = m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Бетонный коллектор с внутренним диаметром 600 mm (коэффициент Маннинга n = 0,013) при полном заполнении должен обеспечивать самоочищающую скорость 1,2 m/s. Найдите минимальный уклон S (в m/m).

D = 600 mmn = 0,013V = 1,2 m/s

S = m/m

23.Насосы и мощность насосаСредняя

При испытании насос подаёт 10 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 66 m, а мощность на его валу 8,1 kW. Примите g = 9,81 m/s². Найдите КПД насоса η в процентах.

Q = 10 L/sH = 66 mP_shaft = 8,1 kWg = 9,81 m/s²

η = %

24.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 12 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 11 m выше. Труба длиной 150 m имеет внутренний диаметр 100 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,018; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 8 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². КПД насоса 80%. Найдите мощность на валу P_shaft в kW.

Q = 12 L/sΔz = 11 mL = 150 mD = 100 mmf = 0,018ΣK = 8η = 80%

P_shaft = kW

25.Временная стоимость денегСредняя

Вы инвестируете €20 000 под номинальную ставку 4,8 % годовых с капитализацией ежемесячной. Найдите стоимость FV инвестиции через 10 лет.

PV = €20 0004,8% / 12n = 10

FV = €

26.Временная стоимость денегСложная

Кредит €12 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 5 лет. Ставка — 5,4 % годовых с ежемесячной капитализацией. Найдите ежемесячный платёж A.

P = €12 0005,4% / 12N = 60

A = €

27.NPV и IRRСредняя

Проект стоит €100 000 сегодня. Он приносит €9 000 в конце первого года, а затем денежный поток растёт на 1 % в год бессрочно. Стоимость капитала — 8 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €100 000CF₁ = €9 000g = 1%r = 8%

NPV = €

28.NPV и IRRСложная

Проект стоит €20 000 и приносит €7 500, €12 000, €9 500 в конце лет с 1 по 3. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −20 000CF₁ = 7 500CF₂ = 12 000CF₃ = 9 500

IRR = %

29.Нормальное распределениеСредняя

Массы объектов (пассажиры с багажом) независимы и нормально распределены со средним 85 kg и стандартным отклонением 12 kg. Найдите вероятность P того, что общая масса 10 из них меньше 793,1 kg. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 10< 793.1 kg

P =

30.Нормальное распределениеСложная

Диаметры отверстий D нормально распределены со средним 25,03 mm и стандартным отклонением 0,01 mm. Диаметры валов d независимы и нормально распределены со средним 25 mm и стандартным отклонением 0,01 mm. Случайно выбранный вал подходит, если D − d > 0. Найдите вероятность P того, что он подходит. Округлите z до двух знаков после запятой.

отверстие: μ = 25,03 mm, σ = 0,01 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm

P =

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 2,5 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Моменты относительно A

Против часовой стрелки — положительно.

ΣM_A = 0: R_B·10 − 45·9 − 20 = 0

R_B = 425/10 = 42,5 kN

Равновесие по вертикали

R_A = 45 − 42,5 = 2,5 kN

Ответ

R_A = 2,5 kN

Отрицательная реакция направлена вниз.

2.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 77,83 kN

Составляющие P

P_v = 60·sin 45° = 42,43 kN

P_h = 60·cos 45° = 42,43 kN

Реакции

ΣM_A = 0: R_B·8 = 42,43·1 + 45·3 → R_B = 22,18 kN

A_y = 42,43 + 45 − 22,18 = 65,25 kN

A_x = P_h = 42,43 kN

Равнодействующая реакция в A

R_A = √(42,43² + 65,25²) = 77,83 kN

Ответ

R_A = 77,83 kN

3.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AB = −20,28 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 45·3 → C_y = 33,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 33,75 = 11,25 kN

Узел A

Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.

sin α = 2/3,606 = 0,5547

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −11,25/0,5547 = −20,28 kN

Ответ

F_AB = −20,28 kN (сжатие)

4.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 20,62 kN (T), BC: 26,25 kN (T), CD: 26,25 kN (T), DE: 31,87 kN (T), FG: 35,63 kN (C), GH: 46,88 kN (C), AF: 59,38 kN (C), HE: 53,12 kN (C), BF: 47,5 kN (T), CG: 0, DH: 27,5 kN (T), BG: 9,375 kN (C), DG: 9,375 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: CG

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: D (x = 3 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 40 kN, R₂ = 35 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 37, M_C = 68, M_D = 93 kN·m, M_E = 67, M_F = 35, M_G = 0

Ответ

Отметка D: M_D = 93 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 13,63 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN, приложена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 25·1 + 3·8·4

R_B = 121/8 = 15,13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 49 − 15,13 = 33,88 kN

Рассеките в x = 7 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 33,88·7 − 25·(7 − 1) − 3·7·3,5 = 13,63 kN·m

Ответ

M_x = 13,63 kN·m

7.Прогиб балки

Ответ: δ_B = 3,906 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 30000 N, a = 500 mm, L = 2000 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Прогиб свободного конца

Прогиб под силой плюс угол поворота под силой, умноженный на оставшуюся длину.

δ_P = Pa³/(3EI) = 0,7102 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,002131 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 3,906 mm

Ответ

δ_B = 3,906 mm

8.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 2,012 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 22000 N, w = 2 N/mm, L = 3000 mm, EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δ_P = PL³/(48EI) = 22000·3000³/(48·7,2 × 10¹²) = 1,719 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·3000⁴/(384·7,2 × 10¹²) = 0,293 mm

Сложите

δ_max = 1,719 + 0,293 = 2,012 mm

Ответ

δ_max = 2,012 mm

9.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 17,58 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/1250² = 17581 N = 17,58 kN

Ответ

P_cr = 17,58 kN

10.Устойчивость колонн

Ответ: d = 113,7 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 3·150000 = 450000 N

KL = 2·3000 = 6000 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·450000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 113,7 mm

Ответ

d = 113,7 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 211,1, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 28,88 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 300·25 = 7500 mm², y_f = 220 + 25/2 = 232,5 mm

стенка: A_w = 8·220 = 1760 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7500·232,5 + 1760·110)/9260 = 209,2 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 300·25³/12 + 7500·(232,5 − 209,2)² = 4,456 × 10⁶ mm⁴

стенка: 8·220³/12 + 1760·(110 − 209,2)² = 2,442 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,456 × 10⁶ + 2,442 × 10⁷ = 2,888 × 10⁷ mm⁴ = 28,88 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 28,88 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_верх = 63,72 MPa

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 100·10 = 1000 mm², y_f = 260 + 10/2 = 265 mm

стенка: A_w = 14·260 = 3640 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1000·265 + 3640·130)/4640 = 159,1 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 100·10³/12 + 1000·(265 − 159,1)² = 1,122 × 10⁷ mm⁴

стенка: 14·260³/12 + 3640·(130 − 159,1)² = 2,359 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,122 × 10⁷ + 2,359 × 10⁷ = 3,481 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Верхний край на расстоянии h − ȳ от оси.

y = 270 − 159,1 = 110,9 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·110,9/3,481 × 10⁷ = 63,72 MPa

Ответ

σ_верх = 63,72 MPa

13.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: u = 19,62 kPa

Эффективное напряжение (Терцаги): скелет грунта воспринимает σ′ = σ − u. Полное напряжение σ — это вес всего, что над точкой, Σγ·h, с удельным весом сухого грунта выше уровня грунтовых вод и водонасыщенного — ниже. Ниже уровня грунтовых вод поровое давление гидростатическое: u = γ_w·(глубина ниже уровня грунтовых вод).

Поровое давление

Давление воды растёт с глубиной ниже уровня грунтовых вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·2 = 19,62 kPa

Ответ

u = 19,62 kPa

14.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: σ′ = 77,91 kPa

Полное напряжение

Сложите вес каждого слоя грунта над X. Выше уровня грунтовых вод берите удельный вес сухого грунта, ниже — водонасыщенного.

σ = γ_d·3 + γ_sat,sand·1 + γ_sat,clay·2,5

σ = 15,5·3 + 19,5·1 + 18,5·2,5 = 112,3 kPa

Поровое давление

Давление воды растёт с глубиной ниже уровня грунтовых вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·3,5 = 34,34 kPa

Эффективное напряжение

σ′ = σ − u = 112,3 − 34,34 = 77,91 kPa

Ответ

σ′ = 77,91 kPa

15.Консолидационная осадка

Ответ: S = 3,765 mm

Первичная консолидация слоя глины толщиной H по эффективному напряжению в середине слоя: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально уплотнённая глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переуплотнённая глина повторно сжимается по C_r до давления предварительного уплотнения σ′_p и следует C_c только выше него. Время: t = T_v·H_dr²/c_v, где путь фильтрации H_dr равен H/2, когда вода может уходить вверх и вниз, и H, когда дренирует только одна сторона.

Давление предварительного уплотнения

σ′_p = OCR·σ′₀ = 2,5·85 = 212,5 kPa

Сравните с давлением предварительного уплотнения

σ′_f = 85 + 20 = 105 kPa ≤ 212,5 kPa

Осадка

Глина остаётся на линии повторного сжатия.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,02·4/(1 + 0,95)·log₁₀(105/85) = 3,765 mm

Ответ

S = 3,765 mm

16.Консолидационная осадка

Ответ: t = 11,48 годы

Путь фильтрации

H_dr = H = 4,5 m

Время

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,567·4,5²/1 = 11,48 годы

Ответ

t = 11,48 годы

17.Гидростатическое давление

Ответ: F = 264,9 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4,5 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,5·6 = 264,9 kN

Ответ

F = 264,9 kN

18.Гидростатическое давление

Ответ: y_cp = 3,595 m

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 2,5 + 2/2 = 3,5 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·3,5·6 = 259,6 kN

Центр давления

Давление растёт с глубиной, поэтому равнодействующая приложена ниже центра тяжести.

I_c = b·H³/12 = 3·2³/12 = 2 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3,5 + 2/(3,5·6) = 3,595 m

Ответ

y_cp = 3,595 m

19.Трение в трубах и потери напора

Ответ: h_f = 26,1 m

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Скоростной напор

V²/(2g) = 1,6²/(2·9,81) = 0,1305 m

Формула Дарси–Вейсбаха

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(800/0,1)·1,6²/(2·9,81) = 26,1 m

Ответ

h_f = 26,1 m

20.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δz = 11,44 m

Скорость

V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,015·150/0,1 = 22,5

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 + 1,0 = 12,1

Полная потеря напора

h_f = 22,5·0,3305 = 7,436 m

h_m = 12,1·0,3305 = 3,999 m

Δz = h_f + h_m = 11,44 m

Ответ

Δz = 11,44 m

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 29,26 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (2,5 + 1,5·1,4)·1,4 = 6,44 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·1,4·√(1 + 1,5²) = 7,548 m

R = A/P = 0,8532 m

Скорость

V = (1/0,014)·0,8532^2/3·0,005^1/2 = 4,544 m/s

Расход

Q = A·V = 6,44·4,544 = 29,26 m³/s

Ответ

Q = 29,26 m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,003053 m/m

Гидравлический радиус

R = D/4 = 0,6/4 = 0,15 m

Выразите S из формулы Маннинга

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·1,2/0,2823)² = 0,003053

Ответ

S = 0,003053

Это понижение на 3,053 m на километр.

23.Насосы и мощность насоса

Ответ: η = 79,93 %

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·66 = 6,475 kW

КПД

η = P_h/P_shaft = 6,475/8,1 = 79,93%

Ответ

η = 79,93%

24.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_shaft = 2,231 kW

Скорость

V = Q/A = 0,012/0,007854 = 1,528 m/s

V²/(2g) = 0,119 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (27 + 8)·0,119 = 4,164 m

Напор насоса

H = Δz + h_L = 11 + 4,164 = 15,16 m

Мощность на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,012·15,16/0,8 = 2,231 kW

Ответ

P_shaft = 2,231 kW

25.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 32291 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = r/m = 0,048/12 = 0,004

N = m·n = 12·10 = 120

Будущая стоимость

FV = 20 000·(1 + 0,004)¹²⁰ = 20 000·1,615 = €32 290,56

Ответ

FV = €32 290,56

26.Временная стоимость денег

Ответ: A = 228,7 €

Месячная ставка и число платежей

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·5 = 60

Платёж

Приведённая стоимость N равных платежей A равна A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Приравняйте её к кредиту и найдите A.

(1 + i)^−N = 0,7638

A = 12 000·0,0045/(1 − 0,7638) = €228,66

Ответ

A = €228,66

27.NPV и IRR

Ответ: NPV = 28571 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Стоимость денежных потоков

PV = 9 000/(0,08 − 0,01) = 128 571,43

NPV

NPV = 128 571,43 − 100 000 = €28 571,43

Ответ

NPV = €28 571,43

NPV положительна, значит проект зарабатывает больше требуемой доходности.

28.NPV и IRR

Ответ: IRR = 20,25 %

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(20%) = 81,02

NPV(25%) = −1 456,00

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 20 + 5·81,02/(81,02 − (−1 456,00)) = 20,26%

точно: NPV(20,25%) = 0 → IRR = 20,25%

Ответ

IRR = 20,25%

29.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,06681

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ_T = 850 kg, σ_T = 12·√10 = 37,95 kg

Стандартизуйте

z = (793,1 − 850)/37,95 = −1,5

Вероятность

P = Φ(−1,5) = 0,06681

Ответ

P = 0,06681

30.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,983

Распределение разности

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,01414 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,03)/0,01414 = −2,12

Вероятность

P = 1 − Φ(−2,12) = 0,983

Ответ

P = 0,983

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. Экзамен FE exam проводит NCEES; эта организация не связана с ExamProblems и не поддерживает его.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil