Подготовка к экзамену FE Civil: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (30) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Эффективное напряжение в грунте

Полное напряжение: σ = Σγ_i·h_i
Поровое давление: u = γ_w·(z − z_w)
Эффективное напряжение: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолидационная осадка

Нормально уплотнённый грунт: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Конечное напряжение: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переуплотнённый грунт, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переуплотнённый грунт, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коэффициент переуплотнения: OCR = σ′_p/σ′₀
Время консолидации: t = T_v·H_dr²/c_v
Путь фильтрации: H_dr = H/2 (двусторонний дренаж), H (односторонний дренаж)
Факторы времени: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_B.

L = 8 mP₁ = 25 kN в 4 mP₂ = 15 kN в 7 m

R_B = kN

2.Опорные реакции балокСложная

Консольная балка защемлена в стене в точке A. Она нагружена линейно изменяющейся нагрузкой, равной нулю у стены и возрастающей до 20 kN/m на свободном конце B, а также сосредоточенной силой P на расстоянии 4 m от стены. Найдите величину реактивного момента M_A в заделке.

L = 6 mw₀ = 20 kN/mP = 75 kN в 4 m

M_A = kN·m

3.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AB в стержне AB. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 8 mвысота = 2 mB на расстоянии 6 m от Aвертикальная нагрузка = 35 kN

F_AB = kN

4.Ферма: метод вырезания узловСложная

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AC в стержне AC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 5 mвысота = 4 mB на расстоянии 1 m от Aвертикальная нагрузка = 10 kNгоризонтальная нагрузка = 15 kN →

F_AC = kN

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Балка опирается на неподвижный шарнир в A и подвижную опору в B и имеет консольный свес длиной 1 m за B до свободного конца C. Она нагружена сосредоточенной силой P₁ между опорами и сосредоточенной силой P₂ в C. Найдите изгибающий момент M_x под силой P₁. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 5 mP₁ = 80 kN в 2 mP₂ = 50 kN в 5 mопоры при x = 0 и x = 4 m

M_x = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 10 mP = 25 kN в 5 mw = 8 kN/m от 0 до 10 mx = 5 m

M_x = kN·m

7.Прогиб балкиСредняя

Консоль длиной L защемлена в A и нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии a = 1,5 m от A. Найдите прогиб δ_P под силой.

P = 30 kNa = 1,5 mL = 4 mE = 200 GPa (сталь)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.Прогиб балкиСложная

Балка защемлена в A и шарнирно оперта в B (консоль с дополнительной опорой). Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине. EI постоянна. Найдите реакцию R_B опоры B.

L = 5 mw = 12 kN/m

R_B = kN

9.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (алюминий)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и свободна вверху. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 4 mE = 200 GPa (сталь)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Пластина 200 mm × 300 mm имеет круглое отверстие диаметром 60 mm на вертикальной оси симметрии, центр которого находится на высоте 120 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 200 mmh = 300 mmd = 60 mmцентр отверстия: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Пластина 150 mm × 300 mm имеет прямоугольный вырез шириной 40 mm и высотой 40 mm, расположенный на вертикальной оси симметрии, а его центр находится на высоте 120 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 150 mmh = 300 mmвырез: 40 × 40 mmцентр отверстия: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.Эффективное напряжение в грунтеСредняя

Для показанного грунтового разреза найдите вертикальное эффективное напряжение σ′ в точке X.

z = 9 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 16 kN/m³песок: γ_sat = 20 kN/m³

σ′ = kPa

14.Эффективное напряжение в грунтеСложная

Для показанного грунтового разреза найдите полное вертикальное напряжение σ в точке X.

z = 7 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 16 kN/m³песок: γ_sat = 19,5 kN/m³глина: γ_sat = 18 kN/m³

σ = kPa

15.Консолидационная осадкаСредняя

Слой переуплотнённой глины толщиной 6,5 m имеет C_c = 0,4, C_r = 0,03 и e₀ = 0,8. В середине слоя эффективное вертикальное напряжение равно 95 kPa , а коэффициент переуплотнения OCR = 1,5. Новое здание добавляет 200 kPa вертикального напряжения в середине слоя. Найдите осадку первичной консолидации S в mm.

H = 6,5 mC_c = 0,4C_r = 0,03e₀ = 0,8σ′₀ = 95 kPaOCR = 1,5Δσ = 200 kPa

S = mm

16.Консолидационная осадкаСложная

В лабораторном компрессионном испытании образец глины толщиной 19 mm с дренированием сверху и снизу достигает 50% консолидации за 12 min. В природе та же глина образует слой толщиной 2 m. Слой лежит между двумя слоями песка, поэтому вода отводится вверх и вниз. За сколько суток t природный слой достигнет 50% консолидации?

h_lab = 19 mmt_lab = 12 minH = 2 mв природе: двусторонний дренаж

t = сут

17.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 1,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 1,5 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 2 m находится в стенке резервуара с жидкостью (морская вода), его верхний край на 2 m ниже поверхности. Найдите глубину y_cp центра давления под поверхностью.

d = 2 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода (ρ = 1000 kg/m³) течёт со скоростью 1,1 m/s по горизонтальной трубе длиной 50 m с внутренним диаметром 200 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,025 и g = 9,81 m/s². Найдите перепад давления Δp на трубе в kPa.

V = 1,1 m/sL = 50 mD = 200 mmf = 0,025ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.Трение в трубах и потери напораСложная

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 500 m с внутренним диаметром 250 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,015. Уровень воды в верхнем резервуаре на 23 m выше, чем в нижнем. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 2 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 10) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Найдите расход Q в L/s.

Δz = 23 mL = 500 mD = 250 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 10K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Трапецеидальный канал (кирпичная кладка) имеет ширину по дну 4,5 m и заложение откосов 1,5:1 (горизонталь:вертикаль). Вода течёт равномерно с глубиной 0,8 m. Коэффициент Маннинга n = 0,015, уклон дна S = 0,004. Найдите расход Q в m³/s.

b = 4,5 my = 0,8 mz = 1,5n = 0,015S = 0,004

Q = m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Трапецеидальный канал (гравий) с шириной по дну 4,5 m и заложением откосов 2:1 (горизонталь:вертикаль) должен пропускать 4,4 m³/s при равномерном течении с глубиной 0,8 m. Коэффициент Маннинга n = 0,025. Найдите требуемый уклон дна S (в m/m).

Q = 4,4 m³/sb = 4,5 my = 0,8 mz = 2n = 0,025

S = m/m

23.Насосы и мощность насосаСредняя

При испытании насос подаёт 30 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 36 m, а мощность на его валу 12,5 kW. Примите g = 9,81 m/s². Найдите КПД насоса η в процентах.

Q = 30 L/sH = 36 mP_shaft = 12,5 kWg = 9,81 m/s²

η = %

24.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 100 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 5 m выше. Труба длиной 300 m имеет внутренний диаметр 250 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,018; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 5 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². Верхний бак закрыт, и воздух над водой в нём находится под избыточным давлением 200 kPa. Найдите напор H, который должен создать насос.

Q = 100 L/sΔz = 5 mL = 300 mD = 250 mmf = 0,018ΣK = 5p_tank = 200 kPa

H = m

25.Временная стоимость денегСредняя

Кредитная карта начисляет номинальную процентную ставку 19,5 % годовых с ежемесячной капитализацией. Найдите эффективную годовую ставку EAR в процентах.

r = 19,5%m = 12

EAR = %

26.Временная стоимость денегСложная

Вы откладываете €300 в конце каждого месяца в течение 9 лет. Счёт даёт 3,6 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько вы накопите в конце? Найдите FV.

A = €3003,6% / 12N = 108

FV = €

27.NPV и IRRСредняя

Станок стоит €30 000 сегодня. Он приносит €4 000 в конце каждого года в течение 8 лет, а затем может быть продан за €6 000. Стоимость капитала — 12 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €30 000CF = €4 000S = €6 000n = 8r = 12%

NPV = €

28.NPV и IRRСложная

Проект стоит €20 000 и приносит €15 000, €12 500 в конце лет с 1 по 2. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −20 000CF₁ = 15 000CF₂ = 12 500

IRR = %

29.Нормальное распределениеСредняя

X нормальна со средним 250 g и стандартным отклонением 4 g; Y независима и нормальна со средним 500 g и стандартным отклонением 9 g. Найдите вероятность P того, что X + Y больше 757,9 g. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 757,9 g

P =

30.Нормальное распределениеСложная

Пусть сроки доставки распределены нормально со средним 32 min и стандартным отклонением 6 min. Найдите значение x, ниже которого лежат 75 % значений (75-й процентиль).

μ = 32σ = 6P = 75%

x = min

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 25,63 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 25·4 + 15·7

R_B = 205/8 = 25,63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 25,63 = 14,38 kN

Ответ

R_B = 25,63 kN

2.Опорные реакции балок

Ответ: M_A = 540 kN·m

Равновесие консоли: заделка может давить вверх и препятствовать повороту, поэтому она даёт вертикальную реакцию R_A и реактивный момент M_A. ΣF_y = 0 даёт R_A, а моменты относительно стены дают M_A = Σ(нагрузка × расстояние от стены). Распределённая нагрузка действует как её равнодействующая, приложенная в центре тяжести эпюры нагрузки.

Равнодействующая треугольной нагрузки

W = ½·20·6 = 60 kN

x̄ = 2L/3 = 4 m

Момент относительно стены

M_A = W·x̄ + P·a = 60·4 + 75·4 = 540 kN·m

Ответ

M_A = 540 kN·m

3.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AB = −27,67 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 35·6 → C_y = 26,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 26,25 = 8,75 kN

Узел A

Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.

sin α = 2/6,325 = 0,3162

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −8,75/0,3162 = −27,67 kN

Ответ

F_AB = −27,67 kN (сжатие)

4.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AC = 14 kN

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 10·1 + 15·4 → C_y = 14 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 14 = −4 kN

ΣF_x = 0: A_x = −15 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 4/5,657 = 0,7071, cos γ = 4/5,657 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −14/0,7071 = −19,8 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−19,8)·0,7071 = 14 kN

Ответ

F_AC = 14 kN (растяжение)

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 55 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки. Сила на консольном свесе тоже создаёт момент относительно A.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 80·2 + 50·5

R_B = 410/4 = 102,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 130 − 102,5 = 27,5 kN

Сечение под P₁, оставляем левую часть

M_x = R_A·2 = 27,5·2 = 55 kN·m

Ответ

M_x = 55 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 162,5 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN, приложена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 25·5 + 8·10·5

R_B = 525/10 = 52,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 105 − 52,5 = 52,5 kN

Рассеките в x = 5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 52,5·5 − 8·5·2,5 = 162,5 kN·m

Ответ

M_x = 162,5 kN·m

7.Прогиб балки

Ответ: δ_P = 1,406 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 30000 N, a = 1500 mm, L = 4000 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Прогиб под силой

δ_P = Pa³/(3EI) = 30000·1500³/(3·2,4 × 10¹³) = 1,406 mm

Ответ

δ_P = 1,406 mm

8.Прогиб балки

Ответ: R_B = 22,5 kN

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции). Для статически неопределимой балки отбросьте лишнюю опору и потребуйте, чтобы прогиб в этом месте был равен нулю (условие совместности).

Отбрасываем опору

Без опоры балка становится консолью. Её свободный конец прогнулся бы под нагрузкой.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Условие совместности на опоре

Одна сила реакции опоры R_B поднимает свободный конец на R_BL³/(3EI). Опора удерживает B с нулевым прогибом, поэтому эти прогибы должны взаимно погаситься. EI сокращается.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·12·5/8 = 22,5 kN

Ответ

R_B = 22,5 kN

9.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 4,395 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/2500² = 4395 N = 4,395 kN

Ответ

P_cr = 4,395 kN

10.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 3,084 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 2·4000 = 8000 mm

KL/r = 8000/10 = 800

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/800² = 3,084 MPa

Ответ

σ_cr = 3,084 MPa

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 446,7 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (60000·150 − 2827·120)/(60000 − 2827) = 151,5 mm

Целая пластина относительно ȳ

200·300³/12 + 60000·−1,484² = 450,1 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

π·60⁴/64 + 2827·−31,48² = 3,439 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 446,7 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 446,7 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 335,8 × 10⁶ mm⁴

Центр тяжести

ȳ = (45000·150 − 1600·120)/(45000 − 1600) = 151,1 mm

Целая пластина относительно ȳ

150·300³/12 + 45000·−1,106² = 337,6 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

40·40³/12 + 1600·−31,11² = 1,761 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 335,8 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 335,8 × 10⁶ mm⁴

13.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: σ′ = 109,1 kPa

Эффективное напряжение (Терцаги): скелет грунта воспринимает σ′ = σ − u. Полное напряжение σ — это вес всего, что над точкой, Σγ·h, с удельным весом сухого грунта выше уровня грунтовых вод и водонасыщенного — ниже. Ниже уровня грунтовых вод поровое давление гидростатическое: u = γ_w·(глубина ниже уровня грунтовых вод).

Полное напряжение

Сложите вес каждого слоя грунта над X. Выше уровня грунтовых вод берите удельный вес сухого грунта, ниже — водонасыщенного.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16·3 + 20·6 = 168 kPa

Поровое давление

Давление воды растёт с глубиной ниже уровня грунтовых вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·6 = 58,86 kPa

Эффективное напряжение

σ′ = σ − u = 168 − 58,86 = 109,1 kPa

Ответ

σ′ = 109,1 kPa

14.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: σ = 128,5 kPa

Полное напряжение

σ = γ_d·1 + γ_sat,sand·3 + γ_sat,clay·3

σ = 16·1 + 19,5·3 + 18·3 = 128,5 kPa

Ответ

σ = 128,5 kPa

15.Консолидационная осадка

Ответ: S = 475,5 mm

Первичная консолидация слоя глины толщиной H по эффективному напряжению в середине слоя: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально уплотнённая глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переуплотнённая глина повторно сжимается по C_r до давления предварительного уплотнения σ′_p и следует C_c только выше него. Время: t = T_v·H_dr²/c_v, где путь фильтрации H_dr равен H/2, когда вода может уходить вверх и вниз, и H, когда дренирует только одна сторона.

Давление предварительного уплотнения

σ′_p = OCR·σ′₀ = 1,5·95 = 142,5 kPa

Сравните с давлением предварительного уплотнения

σ′_f = 95 + 200 = 295 kPa > 142,5 kPa

Осадка

Повторное сжатие до σ′_p, первичное сжатие за ним.

S = 0,03·6,5/(1 + 0,8)·log₁₀(142,5/95) + 0,4·6,5/(1 + 0,8)·log₁₀(295/142,5)

S = 19,08 + 456,5 = 475,5 mm

Ответ

S = 475,5 mm

16.Консолидационная осадка

Ответ: t = 92,34 сут

Пути фильтрации

H_dr,lab = 19/2 = 9,5 mm = 0,0095 m

H_dr,field = 2/2 = 1 m

Пересчитайте время

t = T_v·H_dr²/c_v с одинаковыми T_v и c_v в лаборатории и в природе.

t_field = 12·(1/0,0095)² = 132964 min

t_field = 132964/1440 = 92,34 сут

Ответ

t = 92,34 сут

17.Гидростатическое давление

Ответ: F = 49,05 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2/2 = 2,5 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·2 = 49,05 kN

Ответ

F = 49,05 kN

18.Гидростатическое давление

Ответ: y_cp = 3,41 m

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 2 + 2,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 2,5·2 = 5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·3,25·5 = 163,4 kN

Центр давления

Давление растёт с глубиной, поэтому равнодействующая приложена ниже центра тяжести.

I_c = b·H³/12 = 2·2,5³/12 = 2,604 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3,25 + 2,604/(3,25·5) = 3,41 m

Ответ

y_cp = 3,41 m

19.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δp = 3,781 kPa

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Потеря напора

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(50/0,2)·1,1²/(2·9,81) = 0,3854 m

Перепад давления

Труба горизонтальна, а скорость не меняется, поэтому уравнение энергии сводится к Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·0,3854 = 3781 Pa = 3,781 kPa

Ответ

Δp = 3,781 kPa

20.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Q = 160,7 L/s

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,015·500/0,25 = 30

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 + 1,0 = 12,1

Уравнение энергии

Обе поверхности открыты в атмосферу и практически неподвижны, поэтому весь перепад Δz теряется в трубе.

23 = (30 + 12,1)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·23/42,1) = 3,274 m/s

Расход

Q = V·π·D²/4 = 3,274·0,04909 = 0,1607 m³/s = 160,7 L/s

Ответ

Q = 160,7 L/s

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 13,94 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (4,5 + 1,5·0,8)·0,8 = 4,56 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4,5 + 2·0,8·√(1 + 1,5²) = 7,384 m

R = A/P = 0,6175 m

Скорость

V = (1/0,015)·0,6175^2/3·0,004^1/2 = 3,058 m/s

Расход

Q = A·V = 4,56·3,058 = 13,94 m³/s

Ответ

Q = 13,94 m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,0009949 m/m

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (4,5 + 2·0,8)·0,8 = 4,88 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4,5 + 2·0,8·√(1 + 2²) = 8,078 m

R = A/P = 0,6041 m

Выразите S из формулы Маннинга

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,025·4,4/(4,88·0,7146) = 0,03154

S = 0,03154² = 0,0009949

Ответ

S = 0,0009949

Это понижение на 0,9949 m на километр.

23.Насосы и мощность насоса

Ответ: η = 84,76 %

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·36 = 10,59 kW

КПД

η = P_h/P_shaft = 10,59/12,5 = 84,76%

Ответ

η = 84,76%

24.Насосы и мощность насоса

Ответ: H = 31,01 m

Скорость

V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s

V²/(2g) = 0,2115 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (21,6 + 5)·0,2115 = 5,627 m

Пьезометрический напор

p/(ρ·g) = 200000/(1000·9,81) = 20,39 m

Напор насоса

Обе поверхности практически неподвижны, поэтому скоростного напора нет.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 5 + 20,39 + 5,627 = 31,01 m

Ответ

H = 31,01 m

25.Временная стоимость денег

Ответ: EAR = 21,34 %

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка за период

r/m = 0,195/12 = 0,01625

Наращение за один год

EAR = (1 + 0,01625)¹² − 1 = 1,213 − 1 = 21,34%

Ответ

EAR = 21,34%

Если проценты начисляются чаще одного раза в год, EAR всегда выше номинальной ставки.

26.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 38198 €

Месячная ставка и число взносов

i = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = 12·9 = 108

Будущая стоимость взносов

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 300·(1,382 − 1)/0,003 = €38 197,68

Ответ

FV = €38 197,68

Сами вы внесли €32 400; остальное — проценты.

27.NPV и IRR

Ответ: NPV = −7706 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость ежегодных денежных потоков

4 000·4,968 = 19 870,56

Приведённая стоимость ликвидационной стоимости

6 000/2,476 = 2 423,30

NPV

NPV = −30 000 + 19 870,56 + 2 423,30 = −€7 706,14

Ответ

NPV = −€7 706,14

28.NPV и IRR

Ответ: IRR = 25 %

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(20%) = 1 180,56

NPV(25%) = 0,00

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 20 + 5·1 180,56/(1 180,56 − (0,00)) = 25%

точно: NPV(25%) = 0 → IRR = 25%

Ответ

IRR = 25%

29.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,2119

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Стандартизуйте

z = (757,9 − 750)/9,849 = 0,8

Верхний хвост

P = 1 − Φ(0,8) = 1 − 0,7881 = 0,2119

Ответ

P = 0,2119

30.Нормальное распределение

Ответ: x = 36,05 min

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

Обратно к x

x = 32 + 0,6745·6 = 36,05 min

Ответ

x = 36,05 min

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. Экзамен FE exam проводит NCEES; эта организация не связана с ExamProblems и не поддерживает его.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil

Подготовка к экзамену FE Civil: шпаргалка-пакет

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Метод

Ферма: метод вырезания узлов

Метод

Поперечная сила и изгибающий момент

Метод

Прогиб балки

Устойчивость колонн

Центр тяжести и момент инерции

Эффективное напряжение в грунте

Консолидационная осадка

Гидростатическое давление

Трение в трубах и потери напора

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Насосы и мощность насоса

Временная стоимость денег

Метод

NPV и IRR

Метод

Нормальное распределение

Метод

2Тренировочные задачи

3Растворы

Расчётная схема

Равновесие

Ответ

Равнодействующая треугольной нагрузки

Момент относительно стены

Ответ

Опорные реакции

Узел A

Ответ

Опорные реакции

Узел C

Ответ

Опорные реакции

Сечение под P1, оставляем левую часть

Ответ

Опорные реакции

Рассеките в x = 5 m и оставьте левую часть

Ответ

Согласованные единицы

Прогиб под силой

Ответ

Отбрасываем опору

Условие совместности на опоре

Ответ

Наименьший момент инерции

Расчётная длина

Критическая сила

Ответ

Наименьший момент инерции

Радиус инерции и гибкость

Критическое напряжение

Ответ

Центр тяжести

Целая пластина относительно ȳ

Отверстие относительно ȳ

Вычтите

Ответ

Центр тяжести

Целая пластина относительно ȳ

Отверстие относительно ȳ

Вычтите

Ответ

Полное напряжение

Поровое давление

Эффективное напряжение

Ответ

Полное напряжение

Ответ

Давление предварительного уплотнения

Сравните с давлением предварительного уплотнения

Осадка

Ответ

Пути фильтрации

Пересчитайте время

Ответ

Сечение под P₁, оставляем левую часть