Подготовка к экзамену FE Civil: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (30) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Эффективное напряжение в грунте

Полное напряжение: σ = Σγ_i·h_i
Поровое давление: u = γ_w·(z − z_w)
Эффективное напряжение: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолидационная осадка

Нормально уплотнённый грунт: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Конечное напряжение: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переуплотнённый грунт, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переуплотнённый грунт, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коэффициент переуплотнения: OCR = σ′_p/σ′₀
Время консолидации: t = T_v·H_dr²/c_v
Путь фильтрации: H_dr = H/2 (двусторонний дренаж), H (односторонний дренаж)
Факторы времени: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 3 m от A и сосредоточенным моментом M, направленным по часовой стрелке, на расстоянии 0,5 m от A. Найдите вертикальную реакцию R_B, считая положительным направление вверх.

L = 4 mP = 80 kN в 3 mM = 60 kN·m (по часовой стрелке) в 0,5 m

R_B = kN

2.Опорные реакции балокСложная

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_A.

L = 6 mP = 10 kN в 4,5 mw = 10 kN/m от 1 до 5 m

R_A = kN

3.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

G: 25 kN ↓H: 15 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент BG
13элемент DG

4.Ферма: метод вырезания узловСложная

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AB в стержне AB. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 6 mвысота = 4 mB на расстоянии 1 m от Aвертикальная нагрузка = 45 kNгоризонтальная нагрузка = 15 kN ←

F_AB = kN

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 3 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 4 mw = 2 kN/m от 0 до 4 mx = 3 m

M_x = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту и сосредоточенной силой P. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 4 mP = 60 kN в 2,5 mw = 4 kN/m от 0 до 4 m

M_max = kN·m

7.Прогиб балкиСредняя

Консоль нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине. Найдите прогиб δ свободного конца.

w = 6 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (сталь)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая деревянная балка прямоугольного сечения шириной 150 mm нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Её прогиб в середине пролёта не должен превышать пролёт/360. Найдите наименьшую высоту h_req сечения.

w = 2 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)b = 150 mm

h_req = mm

9.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (сталь)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (алюминий) шарнирно оперта с обоих концов. Она должна выдерживать 30 kN с коэффициентом запаса устойчивости 2. Найдите наименьший диаметр d.

P = 30 kNn = 2L = 3 mE = 70 GPa (алюминий)

d = mm

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Швеллер расположен открытой стороной вверх: стенка-основание шириной 220 mm с двумя вертикальными полками полной высотой 180 mm. Толщина основания и полок 18 mm. Найдите его момент инерции I_x относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b = 220 mmh = 180 mmt = 18 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 10 kN·m. Найдите величину напряжения изгиба σ_верх на верхнем крае.

b_f = 100 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 140 mmM = 10 kN·m

σ_верх = MPa

13.Эффективное напряжение в грунтеСредняя

Для показанного грунтового разреза найдите полное вертикальное напряжение σ в точке X.

z = 5 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 15 kN/m³песок: γ_sat = 19,5 kN/m³

σ = kPa

14.Эффективное напряжение в грунтеСложная

Для показанного грунтового разреза найдите поровое давление u в точке X.

z = 8 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 17 kN/m³песок: γ_sat = 18,5 kN/m³глина: γ_sat = 18,5 kN/m³

u = kPa

15.Консолидационная осадкаСредняя

Слой переуплотнённой глины толщиной 3,5 m имеет C_c = 0,3, C_r = 0,04 и e₀ = 0,75. В середине слоя эффективное вертикальное напряжение равно 50 kPa , а коэффициент переуплотнения OCR = 3. Новое здание добавляет 200 kPa вертикального напряжения в середине слоя. Найдите осадку первичной консолидации S в mm.

H = 3,5 mC_c = 0,3C_r = 0,04e₀ = 0,75σ′₀ = 50 kPaOCR = 3Δσ = 200 kPa

S = mm

16.Консолидационная осадкаСложная

Слой глины толщиной 5,5 m имеет коэффициент консолидации c_v = 0,5 m²/year. Слой лежит между двумя слоями песка, поэтому вода отводится вверх и вниз. Для средней степени консолидации 70% фактор времени T_v = 0,403. За сколько лет t слой достигнет 70% консолидации?

H = 5,5 mc_v = 0,5 m²/годU = 70%T_v = 0,403двусторонний дренаж

t = годы

17.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 2 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 1 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 1 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1,5 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 1 m ниже поверхности. Найдите глубину y_cp центра давления под поверхностью.

d = 1 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода течёт со средней скоростью 1,5 m/s по трубе длиной 1000 m с внутренним диаметром 100 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,022 и g = 9,81 m/s². Найдите потерю напора на трение h_f.

V = 1,5 m/sL = 1000 mD = 100 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Трение в трубах и потери напораСложная

Труба длиной 150 m с внутренним диаметром 250 mm (коэффициент трения Дарси f = 0,022) отходит от открытого резервуара и выпускает воду свободной струёй в атмосферу. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 4 колена (K = 0,3 каждое) и задвижка (K = 0,2). Примите g = 9,81 m/s². На какой высоте H над выходом трубы должна находиться поверхность воды в резервуаре, чтобы расход был 120 L/s?

Q = 120 L/sL = 150 mD = 250 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 0,2

H = m

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Трапецеидальный канал (кирпичная кладка) имеет ширину по дну 1 m и заложение откосов 1:1 (горизонталь:вертикаль). Вода течёт равномерно с глубиной 1,2 m. Коэффициент Маннинга n = 0,015, уклон дна S = 0,001. Найдите расход Q в m³/s.

b = 1 my = 1,2 mz = 1n = 0,015S = 0,001

Q = m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Прямоугольный канал (необработанный бетон) шириной 3 m должен пропускать 5,9 m³/s при равномерном течении с глубиной 0,9 m. Коэффициент Маннинга n = 0,014. Найдите требуемый уклон дна S (в m/m).

Q = 5,9 m³/sb = 3 my = 0,9 mn = 0,014

S = m/m

23.Насосы и мощность насосаСредняя

При испытании насос подаёт 60 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 30 m, а мощность на его валу 24,5 kW. Примите g = 9,81 m/s². Найдите КПД насоса η в процентах.

Q = 60 L/sH = 30 mP_shaft = 24,5 kWg = 9,81 m/s²

η = %

24.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 75 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 21 m выше. Труба длиной 300 m имеет внутренний диаметр 200 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,022; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 6 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². КПД насоса 70%. Найдите мощность на валу P_shaft в kW.

Q = 75 L/sΔz = 21 mL = 300 mD = 200 mmf = 0,022ΣK = 6η = 70%

P_shaft = kW

25.Временная стоимость денегСредняя

Ожидается, что объект недвижимости принесёт в следующем году чистую арендную плату €2 000. Ожидается, что арендная плата будет расти на 1 % в год бессрочно. Требуемая доходность — 5 % годовых. Найдите стоимость PV объекта сегодня.

C₁ = €2 000g = 1%r = 5%

PV = €

26.Временная стоимость денегСложная

Вы откладываете €250 в конце каждого месяца в течение 7 лет. Счёт даёт 4,2 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько вы накопите в конце? Найдите FV.

A = €2504,2% / 12N = 84

FV = €

27.NPV и IRRСредняя

Проект стоит €20 000 сегодня и приносит €4 000, €8 500, €8 000, €6 000, €6 500, €6 500 в конце годов с 1-го по 6-й. Стоимость капитала — 5 %. Считайте, что денежные потоки поступают равномерно в течение каждого года. Найдите дисконтированный срок окупаемости DPB в годах.

r = 5%CF₀ = −20 000CF₁ = 4 000CF₂ = 8 500CF₃ = 8 000CF₄ = 6 000CF₅ = 6 500CF₆ = 6 500

DPB = годы

28.NPV и IRRСложная

Проект стоит €200 000 сегодня. Его денежный поток в конце года 1 равен €20 000 и растёт на 3 % в год до последнего денежного потока в конце года 10. Стоимость капитала — 10 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €200 000CF₁ = €20 000g = 3%n = 10r = 10%

NPV = €

29.Нормальное распределениеСредняя

Пусть массы пакетов распределены нормально со средним 250 g и стандартным отклонением 5 g. Какая доля значений лежит между 245,25 и 252,5 g? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 250σ = 5x₁ = 245,25x₂ = 252,5

P =

30.Нормальное распределениеСложная

Рост мужчин X и женщин Y в группе независимы и нормально распределены: X имеет среднее 180 cm и стандартное отклонение 10 cm, Y имеет среднее 170 cm и стандартное отклонение 12 cm. Найдите вероятность P того, что X больше Y. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 75 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Моменты относительно A

Против часовой стрелки — положительно.

ΣM_A = 0: R_B·4 − 80·3 − 60 = 0

R_B = 300/4 = 75 kN

Равновесие по вертикали

R_A = 80 − 75 = 5 kN

Ответ

R_B = 75 kN

Отрицательная реакция направлена вниз.

2.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 22,5 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN, приложена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·4,5 + 10·4·3

R_B = 165/6 = 27,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 27,5 = 22,5 kN

Ответ

R_A = 22,5 kN

3.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 16,25 kN (T), BC: 32,5 kN (T), CD: 32,5 kN (T), DE: 23,75 kN (T), FG: 16,25 kN (C), GH: 23,75 kN (C), AF: 22,98 kN (C), HE: 33,59 kN (C), BF: 16,25 kN (T), CG: 0, DH: 8,75 kN (T), BG: 22,98 kN (C), DG: 12,37 kN (C)

Ответ

Нулевой элемент: CG

4.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AB = −48,96 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 45·1 − 15·4 → C_y = −2,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − −2,5 = 47,5 kN

ΣF_x = 0: A_x = 15 kN

Узел A

Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.

sin α = 4/4,123 = 0,9701

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −47,5/0,9701 = −48,96 kN

Ответ

F_AB = −48,96 kN (сжатие)

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 3 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN, приложена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 2·4·2

R_B = 16/4 = 4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 8 − 4 = 4 kN

Рассеките в x = 3 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 4·3 − 2·3·1,5 = 3 kN·m

Ответ

M_x = 3 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 63,75 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN, приложена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 60·2,5 + 4·4·2

R_B = 182/4 = 45,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 76 − 45,5 = 30,5 kN

Где V = 0?

V(2,5⁻) = R_A − w·2,5 = 20,5 kN

V(2,5⁺) = 20,5 − 60 = −39,5 kN

Поперечная сила меняет знак под силой, поэтому максимум находится под силой.

Наибольший момент

M_max = R_A·2,5 − w·2,5²/2 = 30,5·2,5 − 4·2,5²/2 = 63,75 kN·m

Ответ

M_max = 63,75 kN·m

Он достигается при x = 2,5 m от A.

7.Прогиб балки

Ответ: δ = 5 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 2000 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Прогиб

δ = wL⁴/(8EI) = 6·2000⁴/(8·2,4 × 10¹²) = 5 mm

Ответ

δ = 5 mm

8.Прогиб балки

Ответ: h_req = 183,8 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

Ограничение прогиба

δ_allow = L/360 = 4500/360 = 12,5 mm

Требуемый момент инерции

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·4500⁴/(384·11000·12,5) = 7,766 × 10⁷ mm⁴

Требуемая высота

bh³/12 = I_req → h = (12·7,766 × 10⁷/150)^1/3 = 183,8 mm

Ответ

h_req = 183,8 mm

На практике выберите ближайшую большую стандартную высоту.

9.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 126,6 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/1400² = 126556 N = 126,6 kN

Ответ

P_cr = 126,6 kN

10.Устойчивость колонн

Ответ: d = 63,17 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 2·30000 = 60000 N

KL = 1·3000 = 3000 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·60000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 63,17 mm

Ответ

d = 63,17 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 190, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 31,97 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбиваем на прямоугольники

Возьмите основание во всю ширину и две полки над ним (высотой h − t), чтобы ничего не учитывать дважды.

основа: A₁ = 220·18 = 3960 mm², y₁ = 9 mm

две полки: A₂ = 2·18·162 = 5832 mm², y₂ = 18 + 162/2 = 99 mm

Центр тяжести

ȳ = (3960·9 + 5832·99)/9792 = 62,6 mm

Теорема о параллельном переносе осей

основа: 220·18³/12 + 3960·(9 − 62,6)² = 1,149 × 10⁷ mm⁴

две полки: 2·18·162³/12 + 5832·(99 − 62,6)² = 2,048 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,149 × 10⁷ + 2,048 × 10⁷

I_x = 3,197 × 10⁷ mm⁴ = 31,97 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 31,97 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_верх = 56,32 MPa

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 100·20 = 2000 mm², y_f = 140 + 20/2 = 150 mm

стенка: A_w = 10·140 = 1400 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2000·150 + 1400·70)/3400 = 117,1 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 100·20³/12 + 2000·(150 − 117,1)² = 2,237 × 10⁶ mm⁴

стенка: 10·140³/12 + 1400·(70 − 117,1)² = 5,387 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,237 × 10⁶ + 5,387 × 10⁶ = 7,624 × 10⁶ mm⁴

Напряжение изгиба

Верхний край на расстоянии h − ȳ от оси.

y = 160 − 117,1 = 42,94 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·42,94/7,624 × 10⁶ = 56,32 MPa

Ответ

σ_верх = 56,32 MPa

13.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: σ = 93 kPa

Эффективное напряжение (Терцаги): скелет грунта воспринимает σ′ = σ − u. Полное напряжение σ — это вес всего, что над точкой, Σγ·h, с удельным весом сухого грунта выше уровня грунтовых вод и водонасыщенного — ниже. Ниже уровня грунтовых вод поровое давление гидростатическое: u = γ_w·(глубина ниже уровня грунтовых вод).

Полное напряжение

Сложите вес каждого слоя грунта над X. Выше уровня грунтовых вод берите удельный вес сухого грунта, ниже — водонасыщенного.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15·1 + 19,5·4 = 93 kPa

Ответ

σ = 93 kPa

14.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: u = 58,86 kPa

Поровое давление

Давление воды растёт с глубиной ниже уровня грунтовых вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·6 = 58,86 kPa

Ответ

u = 58,86 kPa

15.Консолидационная осадка

Ответ: S = 171,3 mm

Первичная консолидация слоя глины толщиной H по эффективному напряжению в середине слоя: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально уплотнённая глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переуплотнённая глина повторно сжимается по C_r до давления предварительного уплотнения σ′_p и следует C_c только выше него. Время: t = T_v·H_dr²/c_v, где путь фильтрации H_dr равен H/2, когда вода может уходить вверх и вниз, и H, когда дренирует только одна сторона.

Давление предварительного уплотнения

σ′_p = OCR·σ′₀ = 3·50 = 150 kPa

Сравните с давлением предварительного уплотнения

σ′_f = 50 + 200 = 250 kPa > 150 kPa

Осадка

Повторное сжатие до σ′_p, первичное сжатие за ним.

S = 0,04·3,5/(1 + 0,75)·log₁₀(150/50) + 0,3·3,5/(1 + 0,75)·log₁₀(250/150)

S = 38,17 + 133,1 = 171,3 mm

Ответ

S = 171,3 mm

16.Консолидационная осадка

Ответ: t = 6,095 годы

Путь фильтрации

H_dr = H/2 = 5,5/2 = 2,75 m

Время

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,403·2,75²/0,5 = 6,095 годы

Ответ

t = 6,095 годы

17.Гидростатическое давление

Ответ: F = 110,4 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1 + 2,5/2 = 2,25 m

A = H·b = 2,5·2 = 5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,25·5 = 110,4 kN

Ответ

F = 110,4 kN

18.Гидростатическое давление

Ответ: y_cp = 2,481 m

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1 + 2,5/2 = 2,25 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,25·3,75 = 82,77 kN

Центр давления

Давление растёт с глубиной, поэтому равнодействующая приложена ниже центра тяжести.

I_c = b·H³/12 = 1,5·2,5³/12 = 1,953 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2,25 + 1,953/(2,25·3,75) = 2,481 m

Ответ

y_cp = 2,481 m

19.Трение в трубах и потери напора

Ответ: h_f = 25,23 m

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Скоростной напор

V²/(2g) = 1,5²/(2·9,81) = 0,1147 m

Формула Дарси–Вейсбаха

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(1000/0,1)·1,5²/(2·9,81) = 25,23 m

Ответ

h_f = 25,23 m

20.Трение в трубах и потери напора

Ответ: H = 4,904 m

Скорость

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,022·150/0,25 = 13,2

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 0,2 = 1,9

Уравнение энергии

Выходящая струя сохраняет свой скоростной напор; это не потеря, но его нужно обеспечить.

H = (1 + 13,2 + 1,9)·0,3046 = 4,904 m

Ответ

H = 4,904 m

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 3,963 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (1 + 1·1,2)·1,2 = 2,64 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·1,2·√(1 + 1²) = 4,394 m

R = A/P = 0,6008 m

Скорость

V = (1/0,015)·0,6008^2/3·0,001^1/2 = 1,501 m/s

Расход

Q = A·V = 2,64·1,501 = 3,963 m³/s

Ответ

Q = 3,963 m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,002016 m/m

Геометрия

A = b·y = 3·0,9 = 2,7 m²

P = b + 2y = 3 + 2·0,9 = 4,8 m

R = A/P = 0,5625 m

Выразите S из формулы Маннинга

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,014·5,9/(2,7·0,6814) = 0,0449

S = 0,0449² = 0,002016

Ответ

S = 0,002016

Это понижение на 2,016 m на километр.

23.Насосы и мощность насоса

Ответ: η = 72,07 %

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,06·30 = 17,66 kW

КПД

η = P_h/P_shaft = 17,66/24,5 = 72,07%

Ответ

η = 72,07%

24.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_shaft = 33,98 kW

Скорость

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s

V²/(2g) = 0,2905 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (33 + 6)·0,2905 = 11,33 m

Напор насоса

H = Δz + h_L = 21 + 11,33 = 32,33 m

Мощность на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,075·32,33/0,7 = 33,98 kW

Ответ

P_shaft = 33,98 kW

25.Временная стоимость денег

Ответ: PV = 50000 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Растущая бессрочная рента

PV = C₁/(r − g) = 2 000/(0,05 − 0,01) = 2 000/0,04 = €50 000,00

Ответ

PV = €50 000,00

26.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 24364 €

Месячная ставка и число взносов

i = 0,042/12 = 0,0035

N = 12·7 = 84

Будущая стоимость взносов

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 250·(1,341 − 1)/0,0035 = €24 363,95

Ответ

FV = €24 363,95

Сами вы внесли €21 000; остальное — проценты.

27.NPV и IRR

Ответ: DPB = 3,318 годы

Срок окупаемости: время, за которое накопленные денежные потоки возмещают первоначальные инвестиции. Предполагается, что деньги поступают равномерно в течение каждого года, поэтому последний отрезок — это доля года. Простой срок окупаемости не учитывает временную стоимость денег; дисконтированный срок окупаемости использует вместо этого дисконтированные денежные потоки.

Дисконтированные и накопленные денежные потоки

год 1: 4 000/1,05 = 3 809,52 → Σ = 3 809,52

год 2: 8 500/1,103 = 7 709,75 → Σ = 11 519,27

год 3: 8 000/1,158 = 6 910,70 → Σ = 18 429,98

год 4: 6 000/1,216 = 4 936,21 → Σ = 23 366,19

Доля последнего года

DPB = 3 + 1 570,02/4 936,21 = 3,318

Ответ

DPB = 3,318 годы

Дисконтированный срок окупаемости всегда длиннее простого (2,938 лет).

28.NPV и IRR

Ответ: NPV = −62325 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость растущего аннуитета

((1,03)/(1,1))¹⁰ = 0,5181

PV = 20 000/(0,1 − 0,03)·(1 − 0,5181) = 137 674,87

NPV

NPV = 137 674,87 − 200 000 = −€62 325,13

Ответ

NPV = −€62 325,13

NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.

29.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,5204

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (245,25 − 250)/5 = −0,95

z₂ = (252,5 − 250)/5 = 0,5

Площадь между

P = Φ(0,5) − Φ(−0,95) = 0,6915 − 0,1711 = 0,5204

Ответ

P = 0,5204

30.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7389

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение разности

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Стандартизуйте

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Вероятность

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Ответ

P = 0,7389

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil