Подготовка к экзамену FE Civil: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (30) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Эффективное напряжение в грунте

Полное напряжение: σ = Σγ_i·h_i
Поровое давление: u = γ_w·(z − z_w)
Эффективное напряжение: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолидационная осадка

Нормально уплотнённый грунт: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Конечное напряжение: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переуплотнённый грунт, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переуплотнённый грунт, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коэффициент переуплотнения: OCR = σ′_p/σ′₀
Время консолидации: t = T_v·H_dr²/c_v
Путь фильтрации: H_dr = H/2 (двусторонний дренаж), H (односторонний дренаж)
Факторы времени: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_B.

L = 10 mP₁ = 40 kN в 4 mP₂ = 20 kN в 5 m

R_B = kN

2.Опорные реакции балокСложная

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. На расстоянии 2 m от A действует сила P, наклонённая под углом 50° к горизонтали, а на расстоянии 1 m от A — вертикальная сила Q. Найдите величину полной силы реакции R_A в шарнире A.

L = 4 mP = 30 kN в 2 m, θ = 50°Q = 60 kN в 1 m

R_A = kN

3.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

D: 20 kN ↓F: 30 kN ↓G: 20 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC

4.Ферма: метод вырезания узловСложная

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AC в стержне AC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 6 mвысота = 4 mB на расстоянии 1 m от Aвертикальная нагрузка = 20 kNгоризонтальная нагрузка = 25 kN ←

F_AC = kN

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена двумя сосредоточенными силами. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 4 mP₁ = 45 kN в 1,5 mP₂ = 40 kN в 2,5 m

M_max = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

20 kN @ 0 m25 kN @ 6 m10 kN @ 3 m4 kN/m, 1–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Прогиб балкиСредняя

Консоль нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине. Найдите прогиб δ свободного конца.

w = 20 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (сталь)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Прогиб балкиСложная

Балка защемлена в A и шарнирно оперта в B (консоль с дополнительной опорой). Она нагружена сосредоточенной силой P в середине пролёта. EI постоянна. Найдите реакцию R_B опоры B.

L = 6 mP = 25 kN в 3 m

R_B = kN

9.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) шарнирно оперта с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (алюминий)b × h = 40 × 100 mm

P_cr = kN

10.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. Она должна выдерживать 30 kN с коэффициентом запаса устойчивости 3. Найдите наименьший диаметр d.

P = 30 kNn = 3L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 240 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 10 kN·m. Найдите величину напряжения изгиба σ_верх на верхнем крае.

b_f = 100 mmt_f = 10 mmt_w = 20 mmh_w = 160 mmM = 10 kN·m

σ_верх = MPa

13.Эффективное напряжение в грунтеСредняя

Для показанного грунтового разреза найдите полное вертикальное напряжение σ в точке X.

z = 7 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 16 kN/m³песок: γ_sat = 19 kN/m³

σ = kPa

14.Эффективное напряжение в грунтеСложная

Для показанного грунтового разреза найдите полное вертикальное напряжение σ в точке X.

z = 7 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 15,5 kN/m³песок: γ_sat = 19,5 kN/m³глина: γ_sat = 19 kN/m³

σ = kPa

15.Консолидационная осадкаСредняя

Слой переуплотнённой глины толщиной 3 m имеет C_c = 0,35, C_r = 0,02 и e₀ = 1,2. В середине слоя эффективное вертикальное напряжение равно 90 kPa , а давление предварительного уплотнения равно 140 kPa. Новое здание добавляет 170 kPa вертикального напряжения в середине слоя. Найдите осадку первичной консолидации S в mm.

H = 3 mC_c = 0,35C_r = 0,02e₀ = 1,2σ′₀ = 90 kPaσ′_p = 140 kPaΔσ = 170 kPa

S = mm

16.Консолидационная осадкаСложная

Слой глины толщиной 2,5 m имеет коэффициент консолидации c_v = 3 m²/year. Слой лежит между двумя слоями песка, поэтому вода отводится вверх и вниз. Для средней степени консолидации 60% фактор времени T_v = 0,287. За сколько лет t слой достигнет 60% консолидации?

H = 2,5 mc_v = 3 m²/годU = 60%T_v = 0,287двусторонний дренаж

t = годы

17.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1,5 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 1,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 1,5 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 3 m находится в стенке резервуара с жидкостью (морская вода), его верхний край на 1 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 1 mH = 2 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода течёт со средней скоростью 2,8 m/s по трубе длиной 50 m с внутренним диаметром 75 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,022 и g = 9,81 m/s². Найдите потерю напора на трение h_f.

V = 2,8 m/sL = 50 mD = 75 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Трение в трубах и потери напораСложная

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 100 m с внутренним диаметром 250 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,025. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 2 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 0,2) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Какая разность уровней воды Δz между резервуарами даёт расход 100 L/s?

Q = 100 L/sL = 100 mD = 250 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 0,2K_exit = 1,0

Δz = m

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Прямоугольный канал (гравий) имеет ширину 2 m. Вода течёт равномерно с глубиной 2,2 m. Коэффициент Маннинга n = 0,025, уклон дна S = 0,0008. Найдите расход Q в m³/s.

b = 2 my = 2,2 mn = 0,025S = 0,0008

Q = m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Прямоугольный канал (кирпичная кладка) шириной 1,5 m должен пропускать 3,2 m³/s при равномерном течении с глубиной 1,6 m. Коэффициент Маннинга n = 0,015. Найдите требуемый уклон дна S (в m/m).

Q = 3,2 m³/sb = 1,5 my = 1,6 mn = 0,015

S = m/m

23.Насосы и мощность насосаСредняя

Насос подаёт 150 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 58 m. КПД насоса 60%, а КПД приводящего его электродвигателя 94%. Примите g = 9,81 m/s². Найдите электрическую мощность P_el, потребляемую двигателем, в kW.

Q = 150 L/sH = 58 mη_pump = 60%η_motor = 94%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

24.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 50 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 21 m выше. Труба длиной 600 m имеет внутренний диаметр 150 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,022; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 8 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². Верхний бак закрыт, и воздух над водой в нём находится под избыточным давлением 100 kPa. Найдите напор H, который должен создать насос.

Q = 50 L/sΔz = 21 mL = 600 mD = 150 mmf = 0,022ΣK = 8p_tank = 100 kPa

H = m

25.Временная стоимость денегСредняя

Вы инвестируете €5 000 под 7 % годовых с непрерывным начислением процентов. Найдите стоимость FV через 10 лет.

PV = €5 000r = 7%t = 10

FV = €

26.Временная стоимость денегСложная

Через 20 лет вам нужно €10 000. Вы откладываете одинаковую сумму в конце каждого месяца на счёт под 5,4 % годовых с ежемесячной капитализацией. Найдите ежемесячный взнос A.

FV = €10 0005,4% / 12N = 240

A = €

27.NPV и IRRСредняя

Инвестиция €75 000 даёт в конце лет с 1 по 4 такие денежные потоки: €21 000, €25 000, €23 000, €35 000. Стоимость капитала — 6 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

r = 6%CF₀ = −75 000CF₁ = 21 000CF₂ = 25 000CF₃ = 23 000CF₄ = 35 000

NPV = €

28.NPV и IRRСложная

Проект стоит €10 000 и приносит €7 500, €7 000, €5 500 в конце лет с 1 по 3. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −10 000CF₁ = 7 500CF₂ = 7 000CF₃ = 5 500

IRR = %

29.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,8812. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,8812

z =

30.Нормальное распределениеСложная

Пусть сроки службы батареек распределены нормально со средним 500 h и стандартным отклонением 40 h. Найдите значение x, ниже которого лежат 25 % значений (25-й процентиль).

μ = 500σ = 40P = 25%

x = h

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 26 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 40·4 + 20·5

R_B = 260/10 = 26 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 26 = 34 kN

Ответ

R_B = 26 kN

2.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 59,69 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Составляющие P

P_v = 30·sin 50° = 22,98 kN

P_h = 30·cos 50° = 19,28 kN

Реакции

ΣM_A = 0: R_B·4 = 22,98·2 + 60·1 → R_B = 26,49 kN

A_y = 22,98 + 60 − 26,49 = 56,49 kN

A_x = P_h = 19,28 kN

Равнодействующая реакция в A

R_A = √(19,28² + 56,49²) = 59,69 kN

Ответ

R_A = 59,69 kN

3.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент BF

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел B

AB и BC лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 28,13 kN (T), BC: 28,13 kN (T), CD: 24,37 kN (T), DE: 24,37 kN (T), FG: 33,75 kN (C), GH: 33,75 kN (C), AF: 46,88 kN (C), HE: 40,63 kN (C), BF: 0, CG: 20 kN (C), DH: 20 kN (T), FC: 9,375 kN (T), HC: 15,63 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: BF

4.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AC = −16,67 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 20·1 − 25·4 → C_y = −13,33 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − −13,33 = 33,33 kN

ΣF_x = 0: A_x = 25 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 4/6,403 = 0,6247, cos γ = 5/6,403 = 0,7809

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−13,33/0,6247 = 21,34 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(21,34)·0,7809 = −16,67 kN

Ответ

F_AC = −16,67 kN (сжатие)

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 64,69 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 45·1,5 + 40·2,5

R_B = 167,5/4 = 41,88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 41,88 = 43,13 kN

Момент под каждой силой

Оставляйте часть слева от каждой силы.

под P₁: M = R_A·1,5 = 43,13·1,5 = 64,69 kN·m

под P₂: M = R_B·1,5 = 41,88·1,5 = 62,81 kN·m

Наибольшее значение

M_max = 64,69 kN·m (под P₁)

Ответ

M_max = 64,69 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: F (x = 5 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 31,75 kN, R₂ = 39,25 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = −20, M_C = −10,25, M_D = −4,5, M_E = −12,75, M_F = −25 kN·m, M_G = 0

Ответ

Отметка F: M_F = −25 kN·m

7.Прогиб балки

Ответ: δ = 48,83 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 5000 mm

EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Прогиб

δ = wL⁴/(8EI) = 20·5000⁴/(8·3,2 × 10¹³) = 48,83 mm

Ответ

δ = 48,83 mm

8.Прогиб балки

Ответ: R_B = 7,813 kN

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции). Для статически неопределимой балки отбросьте лишнюю опору и потребуйте, чтобы прогиб в этом месте был равен нулю (условие совместности).

Отбрасываем опору

Без опоры балка становится консолью. Её свободный конец прогнулся бы под нагрузкой.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Условие совместности на опоре

Одна сила реакции опоры R_B поднимает свободный конец на R_BL³/(3EI). Опора удерживает B с нулевым прогибом, поэтому эти прогибы должны взаимно погаситься. EI сокращается.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·25/16 = 7,813 kN

Ответ

R_B = 7,813 kN

9.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 58,95 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

Расчётная длина

KL = 1·2500 = 2500 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·533333/2500² = 58954 N = 58,95 kN

Ответ

P_cr = 58,95 kN

10.Устойчивость колонн

Ответ: d = 41,07 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 3·30000 = 90000 N

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·90000·1750²/(π³·200000))^(1/4) = 41,07 mm

Ответ

d = 41,07 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 170,4, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 11,82 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 240·10 = 2400 mm², y_f = 160 + 10/2 = 165 mm

стенка: A_w = 12·160 = 1920 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·165 + 1920·80)/4320 = 127,2 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 240·10³/12 + 2400·(165 − 127,2)² = 3,445 × 10⁶ mm⁴

стенка: 12·160³/12 + 1920·(80 − 127,2)² = 8,377 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3,445 × 10⁶ + 8,377 × 10⁶ = 1,182 × 10⁷ mm⁴ = 11,82 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 11,82 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_верх = 56,53 MPa

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 100·10 = 1000 mm², y_f = 160 + 10/2 = 165 mm

стенка: A_w = 20·160 = 3200 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1000·165 + 3200·80)/4200 = 100,2 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 100·10³/12 + 1000·(165 − 100,2)² = 4,202 × 10⁶ mm⁴

стенка: 20·160³/12 + 3200·(80 − 100,2)² = 8,137 × 10⁶ mm⁴

I_x = 4,202 × 10⁶ + 8,137 × 10⁶ = 1,234 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Верхний край на расстоянии h − ȳ от оси.

y = 170 − 100,2 = 69,76 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·69,76/1,234 × 10⁷ = 56,53 MPa

Ответ

σ_верх = 56,53 MPa

13.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: σ = 124 kPa

Эффективное напряжение (Терцаги): скелет грунта воспринимает σ′ = σ − u. Полное напряжение σ — это вес всего, что над точкой, Σγ·h, с удельным весом сухого грунта выше уровня грунтовых вод и водонасыщенного — ниже. Ниже уровня грунтовых вод поровое давление гидростатическое: u = γ_w·(глубина ниже уровня грунтовых вод).

Полное напряжение

Сложите вес каждого слоя грунта над X. Выше уровня грунтовых вод берите удельный вес сухого грунта, ниже — водонасыщенного.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16·3 + 19·4 = 124 kPa

Ответ

σ = 124 kPa

14.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: σ = 123 kPa

Полное напряжение

σ = γ_d·3 + γ_sat,sand·1 + γ_sat,clay·3

σ = 15,5·3 + 19,5·1 + 19·3 = 123 kPa

Ответ

σ = 123 kPa

15.Консолидационная осадка

Ответ: S = 133,5 mm

Первичная консолидация слоя глины толщиной H по эффективному напряжению в середине слоя: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально уплотнённая глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переуплотнённая глина повторно сжимается по C_r до давления предварительного уплотнения σ′_p и следует C_c только выше него. Время: t = T_v·H_dr²/c_v, где путь фильтрации H_dr равен H/2, когда вода может уходить вверх и вниз, и H, когда дренирует только одна сторона.

Сравните с давлением предварительного уплотнения

σ′_f = 90 + 170 = 260 kPa > 140 kPa

Осадка

Повторное сжатие до σ′_p, первичное сжатие за ним.

S = 0,02·3/(1 + 1,2)·log₁₀(140/90) + 0,35·3/(1 + 1,2)·log₁₀(260/140)

S = 5,233 + 128,3 = 133,5 mm

Ответ

S = 133,5 mm

16.Консолидационная осадка

Ответ: t = 0,1495 годы

Путь фильтрации

H_dr = H/2 = 2,5/2 = 1,25 m

Время

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,287·1,25²/3 = 0,1495 годы

Ответ

t = 0,1495 годы

17.Гидростатическое давление

Ответ: F = 132,4 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1,5 + 3/2 = 3 m

A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3·4,5 = 132,4 kN

Ответ

F = 132,4 kN

18.Гидростатическое давление

Ответ: F = 120,7 kN

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·2·6 = 120,7 kN

Ответ

F = 120,7 kN

19.Трение в трубах и потери напора

Ответ: h_f = 5,861 m

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Скоростной напор

V²/(2g) = 2,8²/(2·9,81) = 0,3996 m

Формула Дарси–Вейсбаха

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(50/0,075)·2,8²/(2·9,81) = 5,861 m

Ответ

h_f = 5,861 m

20.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δz = 2,602 m

Скорость

V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s

V²/(2g) = 0,2115 m

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,025·100/0,25 = 10

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,3

Полная потеря напора

h_f = 10·0,2115 = 2,115 m

h_m = 2,3·0,2115 = 0,4865 m

Δz = h_f + h_m = 2,602 m

Ответ

Δz = 2,602 m

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 3,878 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = b·y = 2·2,2 = 4,4 m²

P = b + 2y = 2 + 2·2,2 = 6,4 m

R = A/P = 0,6875 m

Скорость

V = (1/0,025)·0,6875^2/3·0,0008^1/2 = 0,8813 m/s

Расход

Q = A·V = 4,4·0,8813 = 3,878 m³/s

Ответ

Q = 3,878 m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,00098 m/m

Геометрия

A = b·y = 1,5·1,6 = 2,4 m²

P = b + 2y = 1,5 + 2·1,6 = 4,7 m

R = A/P = 0,5106 m

Выразите S из формулы Маннинга

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,015·3,2/(2,4·0,6389) = 0,03131

S = 0,03131² = 0,00098

Ответ

S = 0,00098

Это понижение на 0,98 m на километр.

23.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_el = 151,3 kW

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·58 = 85,35 kW

Мощность на валу

P_shaft = 85,35/0,6 = 142,2 kW

Электрическая мощность

P_el = 142,2/0,94 = 151,3 kW

Ответ

P_el = 151,3 kW

24.Насосы и мощность насоса

Ответ: H = 70,36 m

Скорость

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (88 + 8)·0,408 = 39,17 m

Пьезометрический напор

p/(ρ·g) = 100000/(1000·9,81) = 10,19 m

Напор насоса

Обе поверхности практически неподвижны, поэтому скоростного напора нет.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 21 + 10,19 + 39,17 = 70,36 m

Ответ

H = 70,36 m

25.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 10069 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Показатель степени

r·t = 0,07·10 = 0,7

e^0,7 = 2,014

Будущая стоимость

FV = 5 000·2,014 = €10 068,76

Ответ

FV = €10 068,76

26.Временная стоимость денег

Ответ: A = 23,23 €

Месячная ставка и число взносов

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·20 = 240

Взнос

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 10 000·0,0045/(2,938 − 1) = €23,23

Ответ

A = €23,23

27.NPV и IRR

Ответ: NPV = 14096 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость каждого потока

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,06)¹ = 21 000/1,06 = 19 811,32

CF₂/(1 + 0,06)² = 25 000/1,124 = 22 249,91

CF₃/(1 + 0,06)³ = 23 000/1,191 = 19 311,24

CF₄/(1 + 0,06)⁴ = 35 000/1,262 = 27 723,28

Сложите

NPV = €14 095,75

Ответ

NPV = €14 095,75

NPV положительна, значит проект зарабатывает больше требуемой доходности.

28.NPV и IRR

Ответ: IRR = 47,64 %

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(45%) = 305,88

NPV(50%) = −259,26

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 45 + 5·305,88/(305,88 − (−259,26)) = 47,71%

точно: NPV(47,64%) = 0 → IRR = 47,64%

Ответ

IRR = 47,64%

29.Нормальное распределение

Ответ: z = 1,56

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = (1 + 0,8812)/2 = 0,9406

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,9406 внутри таблицы и считайте z.

z = 1,56

Ответ

z = 1,56

30.Нормальное распределение

Ответ: x = 473 h

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

Обратно к x

x = 500 + −0,6745·40 = 473,02 h

Ответ

x = 473,02 h

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil