Подготовка к экзамену FE Civil: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (30) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Эффективное напряжение в грунте

Полное напряжение: σ = Σγ_i·h_i
Поровое давление: u = γ_w·(z − z_w)
Эффективное напряжение: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолидационная осадка

Нормально уплотнённый грунт: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Конечное напряжение: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переуплотнённый грунт, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переуплотнённый грунт, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коэффициент переуплотнения: OCR = σ′_p/σ′₀
Время консолидации: t = T_v·H_dr²/c_v
Путь фильтрации: H_dr = H/2 (двусторонний дренаж), H (односторонний дренаж)
Факторы времени: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_B.

L = 8 mP₁ = 10 kN в 1 mP₂ = 35 kN в 6 m

R_B = kN

2.Опорные реакции балокСложная

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_A.

L = 5 mP = 40 kN в 4 mw = 2 kN/m от 2 до 4 m

R_A = kN

3.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

B: 35 kN ↓D: 10 kN ↓H: 20 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC

4.Ферма: метод вырезания узловСложная

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AB в стержне AB. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 5 mвысота = 2 mB на расстоянии 4 m от Aвертикальная нагрузка = 30 kNгоризонтальная нагрузка = 5 kN ←

F_AB = kN

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите поперечную силу V_x в сечении x = 3 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 4 mw = 2 kN/m от 0 до 4 mx = 3 m

V_x = kN

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой на части пролёта. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 10 mw = 10 kN/m от 3 до 10 m

M_max = kN·m

7.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Найдите наибольший прогиб δ_max в середине пролёта.

w = 10 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (алюминий)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w и сосредоточенной силой P в середине пролёта. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб в середине δ_max.

P = 19 kNw = 12 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (сталь)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и свободна вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (алюминий)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 6 mE = 200 GPa (сталь)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 140 mmt_f = 30 mmt_w = 18 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Пластина 120 mm × 150 mm имеет прямоугольный вырез шириной 40 mm и высотой 30 mm, расположенный на вертикальной оси симметрии, а его центр находится на высоте 97,5 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 120 mmh = 150 mmвырез: 40 × 30 mmцентр отверстия: y = 97,5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.Эффективное напряжение в грунтеСредняя

Для показанного грунтового разреза найдите вертикальное эффективное напряжение σ′ в точке X.

z = 5 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 17 kN/m³песок: γ_sat = 19,5 kN/m³

σ′ = kPa

14.Эффективное напряжение в грунтеСложная

Для показанного грунтового разреза найдите полное вертикальное напряжение σ в точке X.

z = 8,5 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 16,5 kN/m³песок: γ_sat = 20 kN/m³глина: γ_sat = 19 kN/m³

σ = kPa

15.Консолидационная осадкаСредняя

Слой переуплотнённой глины толщиной 4,5 m имеет C_c = 0,3, C_r = 0,05 и e₀ = 1,15. В середине слоя эффективное вертикальное напряжение равно 80 kPa , а давление предварительного уплотнения равно 140 kPa. Новое здание добавляет 190 kPa вертикального напряжения в середине слоя. Найдите осадку первичной консолидации S в mm.

H = 4,5 mC_c = 0,3C_r = 0,05e₀ = 1,15σ′₀ = 80 kPaσ′_p = 140 kPaΔσ = 190 kPa

S = mm

16.Консолидационная осадкаСложная

Слой глины толщиной 3,5 m имеет коэффициент консолидации c_v = 1 m²/year. Слой лежит на водонепроницаемой скале, а сверху песок, поэтому вода отводится только вверх. Для средней степени консолидации 80% фактор времени T_v = 0,567. За сколько лет t слой достигнет 80% консолидации?

H = 3,5 mc_v = 1 m²/годU = 80%T_v = 0,567односторонний дренаж

t = годы

17.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 2 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 1 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 1 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1,5 m находится в стенке резервуара с жидкостью (глицерин), его верхний край на 2 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 2 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода течёт с расходом 120 L/s по трубе длиной 150 m с внутренним диаметром 250 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,02 и g = 9,81 m/s². Найдите потерю напора на трение h_f.

Q = 120 L/sL = 150 mD = 250 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Трение в трубах и потери напораСложная

Труба длиной 200 m с внутренним диаметром 300 mm (коэффициент трения Дарси f = 0,015) отходит от открытого резервуара и выпускает воду свободной струёй в атмосферу. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 4 колена (K = 0,3 каждое) и задвижка (K = 0,2). Примите g = 9,81 m/s². На какой высоте H над выходом трубы должна находиться поверхность воды в резервуаре, чтобы расход был 75 L/s?

Q = 75 L/sL = 200 mD = 300 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 0,2

H = m

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Бетонный ливневый коллектор с внутренним диаметром 1200 mm заполнен ровно полностью (течёт как открытое русло, не под напором). Коэффициент Маннинга n = 0,013, уклон S = 0,0008. Найдите расход Q в m³/s.

D = 1200 mmn = 0,013S = 0,0008

Q = m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Трапецеидальный канал (гравий) с шириной по дну 6 m и заложением откосов 1:1 (горизонталь:вертикаль) должен пропускать 13 m³/s при равномерном течении с глубиной 1,1 m. Коэффициент Маннинга n = 0,025. Найдите требуемый уклон дна S (в m/m).

Q = 13 m³/sb = 6 my = 1,1 mz = 1n = 0,025

S = m/m

23.Насосы и мощность насосаСредняя

Насос подаёт 15 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 24 m. КПД насоса 60%, а КПД приводящего его электродвигателя 95%. Примите g = 9,81 m/s². Найдите электрическую мощность P_el, потребляемую двигателем, в kW.

Q = 15 L/sH = 24 mη_pump = 60%η_motor = 95%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

24.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 40 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 9 m выше. Труба длиной 300 m имеет внутренний диаметр 150 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,02; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 6 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². Верхний бак закрыт, и воздух над водой в нём находится под избыточным давлением 100 kPa. Найдите напор H, который должен создать насос.

Q = 40 L/sΔz = 9 mL = 300 mD = 150 mmf = 0,02ΣK = 6p_tank = 100 kPa

H = m

25.Временная стоимость денегСредняя

Через 10 лет вам нужно €40 000. Счёт даёт 6 % годовых с капитализацией ежеквартальной. Сколько нужно положить сегодня? Найдите приведённую стоимость PV.

FV = €40 0006% / 4n = 10

PV = €

26.Временная стоимость денегСложная

Вы откладываете €150 в конце каждого месяца в течение 22 лет. Счёт даёт 3,6 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько вы накопите в конце? Найдите FV.

A = €1503,6% / 12N = 264

FV = €

27.NPV и IRRСредняя

Инвестиция €20 000 даёт в конце лет с 1 по 3 такие денежные потоки: €7 000, €4 000, €7 000. Стоимость капитала — 8 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

r = 8%CF₀ = −20 000CF₁ = 7 000CF₂ = 4 000CF₃ = 7 000

NPV = €

28.NPV и IRRСложная

Проект стоит €25 000 и приносит €9 000, €17 500, €12 000 в конце лет с 1 по 3. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −25 000CF₁ = 9 000CF₂ = 17 500CF₃ = 12 000

IRR = %

29.Нормальное распределениеСредняя

Пусть сроки доставки распределены нормально со средним 32 min и стандартным отклонением 6 min. Какая доля значений лежит между 26,3 и 37,1 min? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 32σ = 6x₁ = 26,3x₂ = 37,1

P =

30.Нормальное распределениеСложная

Пусть результаты IQ-тестов распределены нормально со средним 100 баллов и стандартным отклонением 15 баллов. Найдите значение x, ниже которого лежат 5 % значений (5-й процентиль).

μ = 100σ = 15P = 5%

x = баллов

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 27,5 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 10·1 + 35·6

R_B = 220/8 = 27,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 27,5 = 17,5 kN

Ответ

R_B = 27,5 kN

2.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 9,6 kN

Расчётная схема

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 2·2 = 4 kN, приложена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 40·4 + 2·2·3

R_B = 172/5 = 34,4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 44 − 34,4 = 9,6 kN

Ответ

R_A = 9,6 kN

3.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел G

FG и GH лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 33,75 kN (T), BC: 33,75 kN (T), CD: 31,25 kN (T), DE: 31,25 kN (T), FG: 32,5 kN (C), GH: 32,5 kN (C), AF: 47,73 kN (C), HE: 44,19 kN (C), BF: 35 kN (T), CG: 0, DH: 10 kN (T), FC: 1,768 kN (C), HC: 1,768 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: CG

4.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AB = −17,89 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 30·4 − 5·2 → C_y = 22 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 22 = 8 kN

ΣF_x = 0: A_x = 5 kN

Узел A

Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.

sin α = 2/4,472 = 0,4472

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −8/0,4472 = −17,89 kN

Ответ

F_AB = −17,89 kN (сжатие)

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: V_x = −2 kN

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN, приложена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 2·4·2

R_B = 16/4 = 4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 8 − 4 = 4 kN

Рассеките в x = 3 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

V = R_A − (все нагрузки вниз левее сечения)

V_x = 4 − 2·3 = −2 kN

Ответ

V_x = −2 kN

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 103,5 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 10·7 = 70 kN, приложена в x̄ = 6,5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 10·7·6,5

R_B = 455/10 = 45,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 45,5 = 24,5 kN

Нулевая поперечная сила

Поперечная сила начинается с R_A, постоянна на любом незагруженном участке и убывает с наклоном w в пределах нагрузки.

R_A − w·(x₀ − 3) = 0

x₀ = 3 + 24,5/10 = 5,45 m

Наибольший момент

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 3)²/2 = 24,5·5,45 − 10·2,45²/2 = 103,5 kN·m

Ответ

M_max = 103,5 kN·m

7.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 39,68 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 4000 mm

EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Прогиб

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·4000⁴/(384·8,4 × 10¹¹) = 39,68 mm

Ответ

δ_max = 39,68 mm

8.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 62,61 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 19000 N, w = 12 N/mm, L = 6000 mm, EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δ_P = PL³/(48EI) = 19000·6000³/(48·4,6 × 10¹²) = 18,59 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·6000⁴/(384·4,6 × 10¹²) = 44,02 mm

Сложите

δ_max = 18,59 + 44,02 = 62,61 mm

Ответ

δ_max = 62,61 mm

9.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 3,473 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Расчётная длина

KL = 2·2500 = 5000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/5000² = 3473 N = 3,473 kN

Ответ

P_cr = 3,473 kN

10.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 44,76 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

KL/r = 4200/20 = 210

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/210² = 44,76 MPa

Ответ

σ_cr = 44,76 MPa

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 21,88 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 140·30 = 4200 mm², y_f = 160 + 30/2 = 175 mm

стенка: A_w = 18·160 = 2880 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·175 + 2880·80)/7080 = 136,4 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 140·30³/12 + 4200·(175 − 136,4)² = 6,587 × 10⁶ mm⁴

стенка: 18·160³/12 + 2880·(80 − 136,4)² = 1,529 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,587 × 10⁶ + 1,529 × 10⁷ = 2,188 × 10⁷ mm⁴ = 21,88 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 21,88 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 33,01 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (18000·75 − 1200·97,5)/(18000 − 1200) = 73,39 mm

Целая пластина относительно ȳ

120·150³/12 + 18000·1,607² = 33,8 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

40·30³/12 + 1200·24,11² = 0,7874 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 33,01 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 33,01 × 10⁶ mm⁴

13.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: σ′ = 77,69 kPa

Эффективное напряжение (Терцаги): скелет грунта воспринимает σ′ = σ − u. Полное напряжение σ — это вес всего, что над точкой, Σγ·h, с удельным весом сухого грунта выше уровня грунтовых вод и водонасыщенного — ниже. Ниже уровня грунтовых вод поровое давление гидростатическое: u = γ_w·(глубина ниже уровня грунтовых вод).

Полное напряжение

Сложите вес каждого слоя грунта над X. Выше уровня грунтовых вод берите удельный вес сухого грунта, ниже — водонасыщенного.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 17·4 + 19,5·1 = 87,5 kPa

Поровое давление

Давление воды растёт с глубиной ниже уровня грунтовых вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·1 = 9,81 kPa

Эффективное напряжение

σ′ = σ − u = 87,5 − 9,81 = 77,69 kPa

Ответ

σ′ = 77,69 kPa

14.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: σ = 156 kPa

Полное напряжение

σ = γ_d·3 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·3,5

σ = 16,5·3 + 20·2 + 19·3,5 = 156 kPa

Ответ

σ = 156 kPa

15.Консолидационная осадка

Ответ: S = 204,5 mm

Первичная консолидация слоя глины толщиной H по эффективному напряжению в середине слоя: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально уплотнённая глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переуплотнённая глина повторно сжимается по C_r до давления предварительного уплотнения σ′_p и следует C_c только выше него. Время: t = T_v·H_dr²/c_v, где путь фильтрации H_dr равен H/2, когда вода может уходить вверх и вниз, и H, когда дренирует только одна сторона.

Сравните с давлением предварительного уплотнения

σ′_f = 80 + 190 = 270 kPa > 140 kPa

Осадка

Повторное сжатие до σ′_p, первичное сжатие за ним.

S = 0,05·4,5/(1 + 1,15)·log₁₀(140/80) + 0,3·4,5/(1 + 1,15)·log₁₀(270/140)

S = 25,43 + 179,1 = 204,5 mm

Ответ

S = 204,5 mm

16.Консолидационная осадка

Ответ: t = 6,946 годы

Путь фильтрации

H_dr = H = 3,5 m

Время

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,567·3,5²/1 = 6,946 годы

Ответ

t = 6,946 годы

17.Гидростатическое давление

Ответ: F = 78,48 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·4 = 78,48 kN

Ответ

F = 78,48 kN

18.Гидростатическое давление

Ответ: F = 111,2 kN

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·1,5 = 3 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·3·3 = 111,2 kN

Ответ

F = 111,2 kN

19.Трение в трубах и потери напора

Ответ: h_f = 3,655 m

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Средняя скорость

A = π·0,25²/4 = 0,04909 m²

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

Скоростной напор

V²/(2g) = 2,445²/(2·9,81) = 0,3046 m

Формула Дарси–Вейсбаха

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(150/0,25)·2,445²/(2·9,81) = 3,655 m

Ответ

h_f = 3,655 m

20.Трение в трубах и потери напора

Ответ: H = 0,7402 m

Скорость

V = Q/A = 0,075/0,07069 = 1,061 m/s

V²/(2g) = 0,05738 m

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,015·200/0,3 = 10

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 0,2 = 1,9

Уравнение энергии

Выходящая струя сохраняет свой скоростной напор; это не потеря, но его нужно обеспечить.

H = (1 + 10 + 1,9)·0,05738 = 0,7402 m

Ответ

H = 0,7402 m

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 1,103 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = 1,131 m², R = D/4 = 0,3 m

Скорость

V = (1/0,013)·0,3^2/3·0,0008^1/2 = 0,975 m/s

Расход

Q = A·V = 1,131·0,975 = 1,103 m³/s

Ответ

Q = 1,103 m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,002127 m/m

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (6 + 1·1,1)·1,1 = 7,81 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·1,1·√(1 + 1²) = 9,111 m

R = A/P = 0,8572 m

Выразите S из формулы Маннинга

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,025·13/(7,81·0,9024) = 0,04612

S = 0,04612² = 0,002127

Ответ

S = 0,002127

Это понижение на 2,127 m на километр.

23.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_el = 6,196 kW

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·24 = 3,532 kW

Мощность на валу

P_shaft = 3,532/0,6 = 5,886 kW

Электрическая мощность

P_el = 5,886/0,95 = 6,196 kW

Ответ

P_el = 6,196 kW

24.Насосы и мощность насоса

Ответ: H = 31,21 m

Скорость

V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s

V²/(2g) = 0,2611 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (40 + 6)·0,2611 = 12,01 m

Пьезометрический напор

p/(ρ·g) = 100000/(1000·9,81) = 10,19 m

Напор насоса

Обе поверхности практически неподвижны, поэтому скоростного напора нет.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 9 + 10,19 + 12,01 = 31,21 m

Ответ

H = 31,21 m

25.Временная стоимость денег

Ответ: PV = 22050 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = 0,06/4 = 0,015

N = 4·10 = 40

Приведённая стоимость

PV = FV/(1 + i)^N = 40 000/1,814 = €22 050,49

Ответ

PV = €22 050,49

26.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 60260 €

Месячная ставка и число взносов

i = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = 12·22 = 264

Будущая стоимость взносов

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 150·(2,205 − 1)/0,003 = €60 259,58

Ответ

FV = €60 259,58

Сами вы внесли €39 600; остальное — проценты.

27.NPV и IRR

Ответ: NPV = −4532 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость каждого потока

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,08)¹ = 7 000/1,08 = 6 481,48

CF₂/(1 + 0,08)² = 4 000/1,166 = 3 429,36

CF₃/(1 + 0,08)³ = 7 000/1,26 = 5 556,83

Сложите

NPV = €−4 532,34

Ответ

NPV = €−4 532,34

NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.

28.NPV и IRR

Ответ: IRR = 23,83 %

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(20%) = 1 597,22

NPV(25%) = −456,00

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 20 + 5·1 597,22/(1 597,22 − (−456,00)) = 23,89%

точно: NPV(23,83%) = 0 → IRR = 23,83%

Ответ

IRR = 23,83%

29.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,6313

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (26,3 − 32)/6 = −0,95

z₂ = (37,1 − 32)/6 = 0,85

Площадь между

P = Φ(0,85) − Φ(−0,95) = 0,8023 − 0,1711 = 0,6313

Ответ

P = 0,6313

30.Нормальное распределение

Ответ: x = 75,33 баллов

z для процентиля

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Обратно к x

x = 100 + −1,645·15 = 75,33 баллов

Ответ

x = 75,33 баллов

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil