Подготовка к экзамену FE Civil: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (30) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Эффективное напряжение в грунте

Полное напряжение: σ = Σγ_i·h_i
Поровое давление: u = γ_w·(z − z_w)
Эффективное напряжение: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолидационная осадка

Нормально уплотнённый грунт: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Конечное напряжение: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переуплотнённый грунт, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переуплотнённый грунт, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коэффициент переуплотнения: OCR = σ′_p/σ′₀
Время консолидации: t = T_v·H_dr²/c_v
Путь фильтрации: H_dr = H/2 (двусторонний дренаж), H (односторонний дренаж)
Факторы времени: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_A.

L = 4 mP₁ = 30 kN в 1 mP₂ = 30 kN в 1,5 m

R_A = kN

2.Опорные реакции балокСложная

Составная балка защемлена в стене в точке A, имеет промежуточный шарнир в C (на расстоянии 3,5 m от A) и опирается на подвижную опору в D (на расстоянии 6 m от A). Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 5,5 m от A и сосредоточенной силой Q на расстоянии 0,5 m от A. Найдите величину реактивного момента M_A в заделке.

AC = 3,5 mAD = 6 mP = 15 kN в 5,5 mQ = 40 kN в 0,5 m

M_A = kN·m

3.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

B: 35 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент BG
13элемент DG

4.Ферма: метод вырезания узловСложная

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AB в стержне AB. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 5 mвысота = 4 mB на расстоянии 2 m от Aвертикальная нагрузка = 45 kNгоризонтальная нагрузка = 30 kN →

F_AB = kN

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 3,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 8 mw = 2 kN/m от 0 до 8 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту и сосредоточенной силой P. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 8 mP = 15 kN в 5 mw = 2 kN/m от 0 до 8 m

M_max = kN·m

7.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии a = 2 m от опоры A. Найдите прогиб δ_P под силой.

P = 6 kNa = 2 mL = 3 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая деревянная балка прямоугольного сечения шириной 150 mm нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Её прогиб в середине пролёта не должен превышать пролёт/300. Найдите наименьшую высоту h_req сечения.

w = 2 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)b = 150 mm

h_req = mm

9.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и свободна вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (алюминий)d = 60 mm

P_cr = kN

10.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена с обоих концов. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 5 mE = 70 GPa (алюминий)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Пластина 100 mm × 200 mm имеет круглое отверстие диаметром 50 mm на вертикальной оси симметрии, центр которого находится на высоте 60 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 100 mmh = 200 mmd = 50 mmцентр отверстия: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Пластина 200 mm × 240 mm имеет прямоугольный вырез шириной 60 mm и высотой 40 mm, расположенный на вертикальной оси симметрии, а его центр находится на высоте 84 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 200 mmh = 240 mmвырез: 60 × 40 mmцентр отверстия: y = 84 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.Эффективное напряжение в грунтеСредняя

Для показанного грунтового разреза найдите вертикальное эффективное напряжение σ′ в точке X.

z = 7 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 17 kN/m³песок: γ_sat = 19,5 kN/m³

σ′ = kPa

14.Эффективное напряжение в грунтеСложная

Для показанного грунтового разреза найдите вертикальное эффективное напряжение σ′ в точке X.

z = 6 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 16 kN/m³песок: γ_sat = 20,5 kN/m³глина: γ_sat = 17,5 kN/m³

σ′ = kPa

15.Консолидационная осадкаСредняя

Слой переуплотнённой глины толщиной 2,5 m имеет C_c = 0,35, C_r = 0,04 и e₀ = 0,8. В середине слоя эффективное вертикальное напряжение равно 40 kPa , а коэффициент переуплотнения OCR = 2,5. Новое здание добавляет 50 kPa вертикального напряжения в середине слоя. Найдите осадку первичной консолидации S в mm.

H = 2,5 mC_c = 0,35C_r = 0,04e₀ = 0,8σ′₀ = 40 kPaOCR = 2,5Δσ = 50 kPa

S = mm

16.Консолидационная осадкаСложная

Слой глины толщиной 8 m имеет коэффициент консолидации c_v = 1 m²/year. Слой лежит между двумя слоями песка, поэтому вода отводится вверх и вниз. Для средней степени консолидации 50% фактор времени T_v = 0,197. За сколько лет t слой достигнет 50% консолидации?

H = 8 mc_v = 1 m²/годU = 50%T_v = 0,197двусторонний дренаж

t = годы

17.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 2,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 2,5 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 2 m находится в стенке резервуара с жидкостью (глицерин), его верхний край на 3 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 3 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода течёт со средней скоростью 2,4 m/s по трубе длиной 400 m с внутренним диаметром 75 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,018 и g = 9,81 m/s². Найдите потерю напора на трение h_f.

V = 2,4 m/sL = 400 mD = 75 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Трение в трубах и потери напораСложная

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 200 m с внутренним диаметром 300 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,022. Уровень воды в верхнем резервуаре на 9 m выше, чем в нижнем. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 2 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 0,2) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Найдите расход Q в L/s.

Δz = 9 mL = 200 mD = 300 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 0,2K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Трапецеидальный канал (грунт, покрытый травой) имеет ширину по дну 2,5 m и заложение откосов 3:1 (горизонталь:вертикаль). Вода течёт равномерно с глубиной 1,2 m. Коэффициент Маннинга n = 0,03, уклон дна S = 0,005. Найдите расход Q в m³/s.

b = 2,5 my = 1,2 mz = 3n = 0,03S = 0,005

Q = m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Трапецеидальный канал (затёртый бетон) с шириной по дну 3,5 m и заложением откосов 1,5:1 (горизонталь:вертикаль) должен пропускать 3,7 m³/s при равномерном течении с глубиной 0,5 m. Коэффициент Маннинга n = 0,012. Найдите требуемый уклон дна S (в m/m).

Q = 3,7 m³/sb = 3,5 my = 0,5 mz = 1,5n = 0,012

S = m/m

23.Насосы и мощность насосаСредняя

При испытании насос подаёт 30 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 40 m, а мощность на его валу 18,1 kW. Примите g = 9,81 m/s². Найдите КПД насоса η в процентах.

Q = 30 L/sH = 40 mP_shaft = 18,1 kWg = 9,81 m/s²

η = %

24.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 20 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 13 m выше. Труба длиной 300 m имеет внутренний диаметр 100 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,015; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 8 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². КПД насоса 75%. Найдите мощность на валу P_shaft в kW.

Q = 20 L/sΔz = 13 mL = 300 mD = 100 mmf = 0,015ΣK = 8η = 75%

P_shaft = kW

25.Временная стоимость денегСредняя

Аннуитет выплачивает €3 000 в конце каждого года в течение 14 лет. Процентная ставка — 10 % годовых. Найдите приведённую стоимость PV аннуитета.

A = €3 000i = 10%n = 14

PV = €

26.Временная стоимость денегСложная

Вы откладываете €50 в конце каждого месяца в течение 13 лет. Счёт даёт 5,4 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько вы накопите в конце? Найдите FV.

A = €505,4% / 12N = 156

FV = €

27.NPV и IRRСредняя

Инвестиция €30 000 даёт в конце лет с 1 по 3 такие денежные потоки: €12 000, €6 000, €7 000. Стоимость капитала — 8 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

r = 8%CF₀ = −30 000CF₁ = 12 000CF₂ = 6 000CF₃ = 7 000

NPV = €

28.NPV и IRRСложная

Проект стоит €20 000 и приносит €7 000, €9 500, €15 000 в конце лет с 1 по 3. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −20 000CF₁ = 7 000CF₂ = 9 500CF₃ = 15 000

IRR = %

29.Нормальное распределениеСредняя

Пусть результаты IQ-тестов распределены нормально со средним 100 баллов и стандартным отклонением 15 баллов. Какая доля значений лежит между 78,25 и 103 баллов? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 100σ = 15x₁ = 78,25x₂ = 103

P =

30.Нормальное распределениеСложная

Распределение «сроки службы батареек» нормальное: среднее 500 h, стандартное отклонение 40 h. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 5% были справа от неё. Найдите границу x.

μ = 500 hσ = 40 h5%

x = h

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 41,25 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 30·1 + 30·1,5

R_B = 75/4 = 18,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 18,75 = 41,25 kN

Ответ

R_A = 41,25 kN

2.Опорные реакции балок

Ответ: M_A = 30,5 kN·m

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию. Промежуточный шарнир не может передавать изгибающий момент, что даёт одно дополнительное уравнение: момент относительно шарнира сил, действующих с любой его стороны, равен нулю.

Часть CD

В шарнире момента нет, поэтому моменты относительно C для одной только части CD должны уравновешиваться.

ΣM_C = 0: R_D·2,5 = 15·2

R_D = 12 kN

V_C = 15 − 12 = 3 kN

Часть AC

Сила в шарнире V_C действует на AC вниз (равна по величине и противоположна её действию на CD).

R_A = 40 + 3 = 43 kN

M_A = 40·0,5 + 3·3,5 = 30,5 kN·m

Ответ

M_A = 30,5 kN·m

3.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 26,25 kN (T), BC: 17,5 kN (T), CD: 17,5 kN (T), DE: 8,75 kN (T), FG: 26,25 kN (C), GH: 8,75 kN (C), AF: 37,12 kN (C), HE: 12,37 kN (C), BF: 26,25 kN (T), CG: 0, DH: 8,75 kN (T), BG: 12,37 kN (T), DG: 12,37 kN (C)

Ответ

Нулевой элемент: CG

4.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AB = −3,354 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 45·2 + 30·4 → C_y = 42 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 42 = 3 kN

ΣF_x = 0: A_x = −30 kN

Узел A

Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.

sin α = 4/4,472 = 0,8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −3/0,8944 = −3,354 kN

Ответ

F_AB = −3,354 kN (сжатие)

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 15,75 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN, приложена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 2·8·4

R_B = 64/8 = 8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 16 − 8 = 8 kN

Рассеките в x = 3,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 8·3,5 − 2·3,5·1,75 = 15,75 kN·m

Ответ

M_x = 15,75 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 43,13 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN, приложена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 15·5 + 2·8·4

R_B = 139/8 = 17,38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 31 − 17,38 = 13,63 kN

Где V = 0?

V(5⁻) = R_A − w·5 = 3,625 kN

V(5⁺) = 3,625 − 15 = −11,38 kN

Поперечная сила меняет знак под силой, поэтому максимум находится под силой.

Наибольший момент

M_max = R_A·5 − w·5²/2 = 13,63·5 − 2·5²/2 = 43,13 kN·m

Ответ

M_max = 43,13 kN·m

Он достигается при x = 5 m от A.

7.Прогиб балки

Ответ: δ_P = 20,2 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 6000 N, a = 2000 mm, b = 1000 mm, L = 3000 mm

EI = 1,32 × 10¹¹ N·mm²

Прогиб под силой

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 6000·2000²·1000²/(3·1,32 × 10¹¹·3000) = 20,2 mm

Ответ

δ_P = 20,2 mm

8.Прогиб балки

Ответ: h_req = 153,8 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 4000 mm, E = 11000 N/mm²

Ограничение прогиба

δ_allow = L/300 = 4000/300 = 13,33 mm

Требуемый момент инерции

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·4000⁴/(384·11000·13,33) = 4,545 × 10⁷ mm⁴

Требуемая высота

bh³/12 = I_req → h = (12·4,545 × 10⁷/150)^1/3 = 153,8 mm

Ответ

h_req = 153,8 mm

На практике выберите ближайшую большую стандартную высоту.

9.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 3,052 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Расчётная длина

KL = 2·6000 = 12000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/12000² = 3052 N = 3,052 kN

Ответ

P_cr = 3,052 kN

10.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 6,218 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/7,5 = 333,3

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/333,3² = 6,218 MPa

Ответ

σ_cr = 6,218 MPa

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 62,88 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (20000·100 − 1963·60)/(20000 − 1963) = 104,4 mm

Целая пластина относительно ȳ

100·200³/12 + 20000·−4,354² = 67,05 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

π·50⁴/64 + 1963·−44,35² = 4,17 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 62,88 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 62,88 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 226,8 × 10⁶ mm⁴

Центр тяжести

ȳ = (48000·120 − 2400·84)/(48000 − 2400) = 121,9 mm

Целая пластина относительно ȳ

200·240³/12 + 48000·−1,895² = 230,6 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

60·40³/12 + 2400·−37,89² = 3,766 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 226,8 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 226,8 × 10⁶ mm⁴

13.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: σ′ = 97,07 kPa

Эффективное напряжение (Терцаги): скелет грунта воспринимает σ′ = σ − u. Полное напряжение σ — это вес всего, что над точкой, Σγ·h, с удельным весом сухого грунта выше уровня грунтовых вод и водонасыщенного — ниже. Ниже уровня грунтовых вод поровое давление гидростатическое: u = γ_w·(глубина ниже уровня грунтовых вод).

Полное напряжение

Сложите вес каждого слоя грунта над X. Выше уровня грунтовых вод берите удельный вес сухого грунта, ниже — водонасыщенного.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 17·4 + 19,5·3 = 126,5 kPa

Поровое давление

Давление воды растёт с глубиной ниже уровня грунтовых вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·3 = 29,43 kPa

Эффективное напряжение

σ′ = σ − u = 126,5 − 29,43 = 97,07 kPa

Ответ

σ′ = 97,07 kPa

14.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: σ′ = 74,07 kPa

Полное напряжение

σ = γ_d·3 + γ_sat,sand·1 + γ_sat,clay·2

σ = 16·3 + 20,5·1 + 17,5·2 = 103,5 kPa

Поровое давление

Давление воды растёт с глубиной ниже уровня грунтовых вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·3 = 29,43 kPa

Эффективное напряжение

σ′ = σ − u = 103,5 − 29,43 = 74,07 kPa

Ответ

σ′ = 74,07 kPa

15.Консолидационная осадка

Ответ: S = 19,57 mm

Первичная консолидация слоя глины толщиной H по эффективному напряжению в середине слоя: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально уплотнённая глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переуплотнённая глина повторно сжимается по C_r до давления предварительного уплотнения σ′_p и следует C_c только выше него. Время: t = T_v·H_dr²/c_v, где путь фильтрации H_dr равен H/2, когда вода может уходить вверх и вниз, и H, когда дренирует только одна сторона.

Давление предварительного уплотнения

σ′_p = OCR·σ′₀ = 2,5·40 = 100 kPa

Сравните с давлением предварительного уплотнения

σ′_f = 40 + 50 = 90 kPa ≤ 100 kPa

Осадка

Глина остаётся на линии повторного сжатия.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,04·2,5/(1 + 0,8)·log₁₀(90/40) = 19,57 mm

Ответ

S = 19,57 mm

16.Консолидационная осадка

Ответ: t = 3,152 годы

Путь фильтрации

H_dr = H/2 = 8/2 = 4 m

Время

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,197·4²/1 = 3,152 годы

Ответ

t = 3,152 годы

17.Гидростатическое давление

Ответ: F = 47,82 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 2,5 + 1,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,25·1,5 = 47,82 kN

Ответ

F = 47,82 kN

18.Гидростатическое давление

Ответ: F = 262,7 kN

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 3 + 2,5/2 = 4,25 m

A = H·b = 2,5·2 = 5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·4,25·5 = 262,7 kN

Ответ

F = 262,7 kN

19.Трение в трубах и потери напора

Ответ: h_f = 28,18 m

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Скоростной напор

V²/(2g) = 2,4²/(2·9,81) = 0,2936 m

Формула Дарси–Вейсбаха

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(400/0,075)·2,4²/(2·9,81) = 28,18 m

Ответ

h_f = 28,18 m

20.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Q = 228 L/s

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,022·200/0,3 = 14,67

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,3

Уравнение энергии

Обе поверхности открыты в атмосферу и практически неподвижны, поэтому весь перепад Δz теряется в трубе.

9 = (14,67 + 2,3)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·9/16,97) = 3,226 m/s

Расход

Q = V·π·D²/4 = 3,226·0,07069 = 0,228 m³/s = 228 L/s

Ответ

Q = 228 L/s

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 13,93 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (2,5 + 3·1,2)·1,2 = 7,32 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·1,2·√(1 + 3²) = 10,09 m

R = A/P = 0,7255 m

Скорость

V = (1/0,03)·0,7255^2/3·0,005^1/2 = 1,903 m/s

Расход

Q = A·V = 7,32·1,903 = 13,93 m³/s

Ответ

Q = 13,93 m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,001478 m/m

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (3,5 + 1,5·0,5)·0,5 = 2,125 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3,5 + 2·0,5·√(1 + 1,5²) = 5,303 m

R = A/P = 0,4007 m

Выразите S из формулы Маннинга

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,012·3,7/(2,125·0,5435) = 0,03844

S = 0,03844² = 0,001478

Ответ

S = 0,001478

Это понижение на 1,478 m на километр.

23.Насосы и мощность насоса

Ответ: η = 65,04 %

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·40 = 11,77 kW

КПД

η = P_h/P_shaft = 11,77/18,1 = 65,04%

Ответ

η = 65,04%

24.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_shaft = 7,983 kW

Скорость

V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (45 + 8)·0,3305 = 17,52 m

Напор насоса

H = Δz + h_L = 13 + 17,52 = 30,52 m

Мощность на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,02·30,52/0,75 = 7,983 kW

Ответ

P_shaft = 7,983 kW

25.Временная стоимость денег

Ответ: PV = 22100 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Коэффициент аннуитета

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,2633)/0,1 = 7,367

Приведённая стоимость

PV = 3 000·7,367 = €22 100,06

Ответ

PV = €22 100,06

26.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 11273 €

Месячная ставка и число взносов

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·13 = 156

Будущая стоимость взносов

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 50·(2,015 − 1)/0,0045 = €11 273,44

Ответ

FV = €11 273,44

Сами вы внесли €7 800; остальное — проценты.

27.NPV и IRR

Ответ: NPV = −8188 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость каждого потока

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,08)¹ = 12 000/1,08 = 11 111,11

CF₂/(1 + 0,08)² = 6 000/1,166 = 5 144,03

CF₃/(1 + 0,08)³ = 7 000/1,26 = 5 556,83

Сложите

NPV = €−8 188,03

Ответ

NPV = €−8 188,03

NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.

28.NPV и IRR

Ответ: IRR = 23,09 %

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(20%) = 1 111,11

NPV(25%) = −640,00

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 20 + 5·1 111,11/(1 111,11 − (−640,00)) = 23,17%

точно: NPV(23,09%) = 0 → IRR = 23,09%

Ответ

IRR = 23,09%

29.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,5057

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (78,25 − 100)/15 = −1,45

z₂ = (103 − 100)/15 = 0,2

Площадь между

P = Φ(0,2) − Φ(−1,45) = 0,5793 − 0,07353 = 0,5057

Ответ

P = 0,5057

30.Нормальное распределение

Ответ: x = 566 h

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,95

z из таблицы

z ≈ 1,64

Возврат к исходным единицам

x = 500 + 1,64·40 = 566 h

Ответ

x = 566 h

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil