Подготовка к экзамену FE Civil: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (30) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Эффективное напряжение в грунте

Полное напряжение: σ = Σγ_i·h_i
Поровое давление: u = γ_w·(z − z_w)
Эффективное напряжение: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолидационная осадка

Нормально уплотнённый грунт: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Конечное напряжение: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переуплотнённый грунт, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переуплотнённый грунт, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коэффициент переуплотнения: OCR = σ′_p/σ′₀
Время консолидации: t = T_v·H_dr²/c_v
Путь фильтрации: H_dr = H/2 (двусторонний дренаж), H (односторонний дренаж)
Факторы времени: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_B.

L = 6 mP₁ = 60 kN в 2 mP₂ = 45 kN в 3,5 m

R_B = kN

2.Опорные реакции балокСложная

Консольная балка защемлена в стене в точке A. Она нагружена линейно изменяющейся нагрузкой интенсивностью 10 kN/m у стены, убывающей до нуля на свободном конце B, а также сосредоточенной силой P на расстоянии 8 m от стены. Найдите величину реактивного момента M_A в заделке.

L = 8 mw₀ = 10 kN/mP = 55 kN в 8 m

M_A = kN·m

3.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

F: 15 kN ↓G: 15 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент BG
13элемент DG

4.Ферма: метод вырезания узловСложная

Методом вырезания узлов найдите усилие F_BC в стержне BC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 8 mвысота = 3 mB на расстоянии 3 m от Aвертикальная нагрузка = 45 kNгоризонтальная нагрузка = 25 kN ←

F_BC = kN

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

40 kN @ 4 m6 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

15 kN @ 0 m25 kN @ 6 m15 kN @ 2 m15 kN/m, 1–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Прогиб балкиСредняя

Консоль нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине. Найдите прогиб δ свободного конца.

w = 10 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая деревянная балка прямоугольного сечения шириной 100 mm нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Её прогиб в середине пролёта не должен превышать пролёт/250. Найдите наименьшую высоту h_req сечения.

w = 3 kN/mL = 3,5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)b = 100 mm

h_req = mm

9.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (алюминий)b × h = 40 × 100 mm

P_cr = kN

10.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 3 mE = 200 GPa (сталь)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Пластина 200 mm × 150 mm имеет круглое отверстие диаметром 30 mm на вертикальной оси симметрии, центр которого находится на высоте 60 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 200 mmh = 150 mmd = 30 mmцентр отверстия: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 25 kN·m. Найдите величину напряжения изгиба σ_верх на верхнем крае.

b_f = 160 mmt_f = 10 mmt_w = 20 mmh_w = 100 mmM = 25 kN·m

σ_верх = MPa

13.Эффективное напряжение в грунтеСредняя

Для показанного грунтового разреза найдите полное вертикальное напряжение σ в точке X.

z = 8 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 16 kN/m³песок: γ_sat = 19 kN/m³

σ = kPa

14.Эффективное напряжение в грунтеСложная

Для показанного грунтового разреза найдите поровое давление u в точке X.

z = 8,5 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 16 kN/m³песок: γ_sat = 19 kN/m³глина: γ_sat = 19 kN/m³

u = kPa

15.Консолидационная осадкаСредняя

Слой переуплотнённой глины толщиной 2 m имеет C_c = 0,5, C_r = 0,04 и e₀ = 0,65. В середине слоя эффективное вертикальное напряжение равно 120 kPa , а давление предварительного уплотнения равно 230 kPa. Новое здание добавляет 95 kPa вертикального напряжения в середине слоя. Найдите осадку первичной консолидации S в mm.

H = 2 mC_c = 0,5C_r = 0,04e₀ = 0,65σ′₀ = 120 kPaσ′_p = 230 kPaΔσ = 95 kPa

S = mm

16.Консолидационная осадкаСложная

Слой глины толщиной 5,5 m имеет коэффициент консолидации c_v = 0,8 m²/year. Слой лежит на водонепроницаемой скале, а сверху песок, поэтому вода отводится только вверх. Для средней степени консолидации 90% фактор времени T_v = 0,848. За сколько лет t слой достигнет 90% консолидации?

H = 5,5 mc_v = 0,8 m²/годU = 90%T_v = 0,848односторонний дренаж

t = годы

17.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1,5 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 1,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 1,5 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 1 m ниже поверхности. Найдите глубину y_cp центра давления под поверхностью.

d = 1 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода течёт с расходом 12 L/s по трубе длиной 50 m с внутренним диаметром 150 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,015 и g = 9,81 m/s². Найдите потерю напора на трение h_f.

Q = 12 L/sL = 50 mD = 150 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Трение в трубах и потери напораСложная

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 200 m с внутренним диаметром 200 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,02. Уровень воды в верхнем резервуаре на 29 m выше, чем в нижнем. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 3 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 2) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Найдите расход Q в L/s.

Δz = 29 mL = 200 mD = 200 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 2K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Прямоугольный канал (необработанный бетон) имеет ширину 1 m. Вода течёт равномерно с глубиной 0,9 m. Коэффициент Маннинга n = 0,014, уклон дна S = 0,003. Найдите расход Q в m³/s.

b = 1 my = 0,9 mn = 0,014S = 0,003

Q = m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Трапецеидальный канал (необработанный бетон) с шириной по дну 5 m и заложением откосов 1:1 (горизонталь:вертикаль) должен пропускать 14 m³/s при равномерном течении с глубиной 0,7 m. Коэффициент Маннинга n = 0,014. Найдите требуемый уклон дна S (в m/m).

Q = 14 m³/sb = 5 my = 0,7 mz = 1n = 0,014

S = m/m

23.Насосы и мощность насосаСредняя

Насос подаёт 80 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 14 m. КПД насоса 80%, а КПД приводящего его электродвигателя 92%. Примите g = 9,81 m/s². Найдите электрическую мощность P_el, потребляемую двигателем, в kW.

Q = 80 L/sH = 14 mη_pump = 80%η_motor = 92%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

24.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 25 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 5 m выше. Труба длиной 150 m имеет внутренний диаметр 150 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,015; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 5 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². Верхний бак закрыт, и воздух над водой в нём находится под избыточным давлением 100 kPa. Найдите напор H, который должен создать насос.

Q = 25 L/sΔz = 5 mL = 150 mD = 150 mmf = 0,015ΣK = 5p_tank = 100 kPa

H = m

25.Временная стоимость денегСредняя

Ожидается, что объект недвижимости принесёт в следующем году чистую арендную плату €6 000. Ожидается, что арендная плата будет расти на 3 % в год бессрочно. Требуемая доходность — 7 % годовых. Найдите стоимость PV объекта сегодня.

C₁ = €6 000g = 3%r = 7%

PV = €

26.Временная стоимость денегСложная

Вы откладываете €200 в конце каждого месяца в течение 17 лет. Счёт даёт 7,2 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько вы накопите в конце? Найдите FV.

A = €2007,2% / 12N = 204

FV = €

27.NPV и IRRСредняя

Инвестиция €60 000 даёт в конце лет с 1 по 3 такие денежные потоки: €12 000, €23 000, €19 000. Стоимость капитала — 9 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

r = 9%CF₀ = −60 000CF₁ = 12 000CF₂ = 23 000CF₃ = 19 000

NPV = €

28.NPV и IRRСложная

Проект стоит €100 000 сегодня. Его денежный поток в конце года 1 равен €9 000 и растёт на 4 % в год до последнего денежного потока в конце года 10. Стоимость капитала — 12 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €100 000CF₁ = €9 000g = 4%n = 10r = 12%

NPV = €

29.Нормальное распределениеСредняя

Массы объектов (мешки с цементом) независимы и нормально распределены со средним 25 kg и стандартным отклонением 0,5 kg. Найдите вероятность P того, что общая масса 16 из них превышает 402 kg. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 16> 402 kg

P =

30.Нормальное распределениеСложная

Распределение «сроки службы батареек» нормальное: среднее 500 h, стандартное отклонение 40 h. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 95% были справа от неё. Найдите границу x.

μ = 500 hσ = 40 h95%

x = h

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 46,25 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 60·2 + 45·3,5

R_B = 277,5/6 = 46,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 105 − 46,25 = 58,75 kN

Ответ

R_B = 46,25 kN

2.Опорные реакции балок

Ответ: M_A = 546,7 kN·m

Равновесие консоли: заделка может давить вверх и препятствовать повороту, поэтому она даёт вертикальную реакцию R_A и реактивный момент M_A. ΣF_y = 0 даёт R_A, а моменты относительно стены дают M_A = Σ(нагрузка × расстояние от стены). Распределённая нагрузка действует как её равнодействующая, приложенная в центре тяжести эпюры нагрузки.

Равнодействующая треугольной нагрузки

W = ½·10·8 = 40 kN

x̄ = L/3 = 2,667 m

Момент относительно стены

M_A = W·x̄ + P·a = 40·2,667 + 55·8 = 546,7 kN·m

Ответ

M_A = 546,7 kN·m

3.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 18,75 kN (T), BC: 22,5 kN (T), CD: 22,5 kN (T), DE: 11,25 kN (T), FG: 18,75 kN (C), GH: 11,25 kN (C), AF: 26,52 kN (C), HE: 15,91 kN (C), BF: 3,75 kN (T), CG: 0, DH: 11,25 kN (T), BG: 5,303 kN (C), DG: 15,91 kN (C)

Ответ

Нулевой элемент: CG

4.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_BC = −14,58 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 45·3 − 25·3 → C_y = 7,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 7,5 = 37,5 kN

ΣF_x = 0: A_x = 25 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 3/5,831 = 0,5145, cos γ = 5/5,831 = 0,8575

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −7,5/0,5145 = −14,58 kN

Ответ

F_BC = −14,58 kN (сжатие)

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: C (x = 4 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 62,67 kN, R₂ = 49,33 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 113,3, M_C = 202,7 kN·m, M_D = 188, M_E = 149,3, M_F = 86,67, M_G = 0

Ответ

Отметка C: M_C = 202,7 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: E (x = 4 m)

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 35,83 kN, R₂ = 64,17 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

M_A = 0, M_B = −15, M_C = −1,667, M_D = −18,33, M_E = −50 kN·m, M_F = −25, M_G = 0

Ответ

Отметка E: M_E = −50 kN·m

7.Прогиб балки

Ответ: δ = 11,36 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 2000 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Прогиб

δ = wL⁴/(8EI) = 10·2000⁴/(8·1,76 × 10¹²) = 11,36 mm

Ответ

δ = 11,36 mm

8.Прогиб балки

Ответ: h_req = 165,9 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 3 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

Ограничение прогиба

δ_allow = L/250 = 3500/250 = 14 mm

Требуемый момент инерции

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·3·3500⁴/(384·11000·14) = 3,806 × 10⁷ mm⁴

Требуемая высота

bh³/12 = I_req → h = (12·3,806 × 10⁷/100)^1/3 = 165,9 mm

Ответ

h_req = 165,9 mm

На практике выберите ближайшую большую стандартную высоту.

9.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 20,89 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·533333/4200² = 20888 N = 20,89 kN

Ответ

P_cr = 20,89 kN

10.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 87,73 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 1·3000 = 3000 mm

KL/r = 3000/20 = 150

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/150² = 87,73 MPa

Ответ

σ_cr = 87,73 MPa

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 56,05 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (30000·75 − 706,9·60)/(30000 − 706,9) = 75,36 mm

Целая пластина относительно ȳ

200·150³/12 + 30000·−0,362² = 56,25 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·−15,36² = 0,2066 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 56,05 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 56,05 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_верх = 203,5 MPa

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 160·10 = 1600 mm², y_f = 100 + 10/2 = 105 mm

стенка: A_w = 20·100 = 2000 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1600·105 + 2000·50)/3600 = 74,44 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 160·10³/12 + 1600·(105 − 74,44)² = 1,507 × 10⁶ mm⁴

стенка: 20·100³/12 + 2000·(50 − 74,44)² = 2,862 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,507 × 10⁶ + 2,862 × 10⁶ = 4,369 × 10⁶ mm⁴

Напряжение изгиба

Верхний край на расстоянии h − ȳ от оси.

y = 110 − 74,44 = 35,56 mm

σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·35,56/4,369 × 10⁶ = 203,5 MPa

Ответ

σ_верх = 203,5 MPa

13.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: σ = 143 kPa

Эффективное напряжение (Терцаги): скелет грунта воспринимает σ′ = σ − u. Полное напряжение σ — это вес всего, что над точкой, Σγ·h, с удельным весом сухого грунта выше уровня грунтовых вод и водонасыщенного — ниже. Ниже уровня грунтовых вод поровое давление гидростатическое: u = γ_w·(глубина ниже уровня грунтовых вод).

Полное напряжение

Сложите вес каждого слоя грунта над X. Выше уровня грунтовых вод берите удельный вес сухого грунта, ниже — водонасыщенного.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16·3 + 19·5 = 143 kPa

Ответ

σ = 143 kPa

14.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: u = 44,15 kPa

Поровое давление

Давление воды растёт с глубиной ниже уровня грунтовых вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·4,5 = 44,15 kPa

Ответ

u = 44,15 kPa

15.Консолидационная осадка

Ответ: S = 12,28 mm

Первичная консолидация слоя глины толщиной H по эффективному напряжению в середине слоя: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально уплотнённая глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переуплотнённая глина повторно сжимается по C_r до давления предварительного уплотнения σ′_p и следует C_c только выше него. Время: t = T_v·H_dr²/c_v, где путь фильтрации H_dr равен H/2, когда вода может уходить вверх и вниз, и H, когда дренирует только одна сторона.

Сравните с давлением предварительного уплотнения

σ′_f = 120 + 95 = 215 kPa ≤ 230 kPa

Осадка

Глина остаётся на линии повторного сжатия.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,04·2/(1 + 0,65)·log₁₀(215/120) = 12,28 mm

Ответ

S = 12,28 mm

16.Консолидационная осадка

Ответ: t = 32,06 годы

Путь фильтрации

H_dr = H = 5,5 m

Время

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,848·5,5²/0,8 = 32,06 годы

Ответ

t = 32,06 годы

17.Гидростатическое давление

Ответ: F = 49,66 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1,5 + 1,5/2 = 2,25 m

A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,25·2,25 = 49,66 kN

Ответ

F = 49,66 kN

18.Гидростатическое давление

Ответ: y_cp = 2,167 m

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·2 = 39,24 kN

Центр давления

Давление растёт с глубиной, поэтому равнодействующая приложена ниже центра тяжести.

I_c = b·H³/12 = 1·2³/12 = 0,6667 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2 + 0,6667/(2·2) = 2,167 m

Ответ

y_cp = 2,167 m

19.Трение в трубах и потери напора

Ответ: h_f = 0,1175 m

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Средняя скорость

A = π·0,15²/4 = 0,01767 m²

V = Q/A = 0,012/0,01767 = 0,6791 m/s

Скоростной напор

V²/(2g) = 0,6791²/(2·9,81) = 0,0235 m

Формула Дарси–Вейсбаха

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(50/0,15)·0,6791²/(2·9,81) = 0,1175 m

Ответ

h_f = 0,1175 m

20.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Q = 151,7 L/s

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,02·200/0,2 = 20

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 + 1,0 = 4,4

Уравнение энергии

Обе поверхности открыты в атмосферу и практически неподвижны, поэтому весь перепад Δz теряется в трубе.

29 = (20 + 4,4)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·29/24,4) = 4,829 m/s

Расход

Q = V·π·D²/4 = 4,829·0,03142 = 0,1517 m³/s = 151,7 L/s

Ответ

Q = 151,7 L/s

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 1,652 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = b·y = 1·0,9 = 0,9 m²

P = b + 2y = 1 + 2·0,9 = 2,8 m

R = A/P = 0,3214 m

Скорость

V = (1/0,014)·0,3214^2/3·0,003^1/2 = 1,836 m/s

Расход

Q = A·V = 0,9·1,836 = 1,652 m³/s

Ответ

Q = 1,652 m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,005086 m/m

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (5 + 1·0,7)·0,7 = 3,99 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5 + 2·0,7·√(1 + 1²) = 6,98 m

R = A/P = 0,5716 m

Выразите S из формулы Маннинга

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,014·14/(3,99·0,6888) = 0,07132

S = 0,07132² = 0,005086

Ответ

S = 0,005086

Это понижение на 5,086 m на километр.

23.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_el = 14,93 kW

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·14 = 10,99 kW

Мощность на валу

P_shaft = 10,99/0,8 = 13,73 kW

Электрическая мощность

P_el = 13,73/0,92 = 14,93 kW

Ответ

P_el = 14,93 kW

24.Насосы и мощность насоса

Ответ: H = 17,23 m

Скорость

V = Q/A = 0,025/0,01767 = 1,415 m/s

V²/(2g) = 0,102 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 5)·0,102 = 2,04 m

Пьезометрический напор

p/(ρ·g) = 100000/(1000·9,81) = 10,19 m

Напор насоса

Обе поверхности практически неподвижны, поэтому скоростного напора нет.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 5 + 10,19 + 2,04 = 17,23 m

Ответ

H = 17,23 m

25.Временная стоимость денег

Ответ: PV = 150000 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Растущая бессрочная рента

PV = C₁/(r − g) = 6 000/(0,07 − 0,03) = 6 000/0,04 = €150 000,00

Ответ

PV = €150 000,00

26.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 79612 €

Месячная ставка и число взносов

i = 0,07200000000000001/12 = 0,006

N = 12·17 = 204

Будущая стоимость взносов

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 200·(3,388 − 1)/0,006 = €79 611,62

Ответ

FV = €79 611,62

Сами вы внесли €40 800; остальное — проценты.

27.NPV и IRR

Ответ: NPV = −14961 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость каждого потока

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,09)¹ = 12 000/1,09 = 11 009,17

CF₂/(1 + 0,09)² = 23 000/1,188 = 19 358,64

CF₃/(1 + 0,09)³ = 19 000/1,295 = 14 671,49

Сложите

NPV = €−14 960,70

Ответ

NPV = €−14 960,70

NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.

28.NPV и IRR

Ответ: NPV = −41117 €

Приведённая стоимость растущего аннуитета

((1,04)/(1,12))¹⁰ = 0,4766

PV = 9 000/(0,12 − 0,04)·(1 − 0,4766) = 58 882,61

NPV

NPV = 58 882,61 − 100 000 = −€41 117,39

Ответ

NPV = −€41 117,39

NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.

29.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,1587

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ_T = 400 kg, σ_T = 0,5·√16 = 2 kg

Стандартизуйте

z = (402 − 400)/2 = 1

Вероятность

P = 1 − Φ(1) = 0,1587

Ответ

P = 0,1587

30.Нормальное распределение

Ответ: x = 434 h

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,05

z из таблицы

z ≈ −1,64

Возврат к исходным единицам

x = 500 − 1,64·40 = 434 h

Ответ

x = 434 h

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil