Подготовка к экзамену FE Civil: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (30) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Эффективное напряжение в грунте

Полное напряжение: σ = Σγ_i·h_i
Поровое давление: u = γ_w·(z − z_w)
Эффективное напряжение: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолидационная осадка

Нормально уплотнённый грунт: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Конечное напряжение: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переуплотнённый грунт, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переуплотнённый грунт, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коэффициент переуплотнения: OCR = σ′_p/σ′₀
Время консолидации: t = T_v·H_dr²/c_v
Путь фильтрации: H_dr = H/2 (двусторонний дренаж), H (односторонний дренаж)
Факторы времени: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_B.

L = 6 mP₁ = 50 kN в 4 mP₂ = 30 kN в 5 m

R_B = kN

2.Опорные реакции балокСложная

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_A.

L = 5 mP = 60 kN в 1,5 mw = 6 kN/m от 3 до 5 m

R_A = kN

3.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

B: 10 kN ↓G: 10 kN ↓H: 25 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент BG
13элемент DG

4.Ферма: метод вырезания узловСложная

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AB в стержне AB. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 6 mвысота = 2 mB на расстоянии 1 m от Aвертикальная нагрузка = 10 kNгоризонтальная нагрузка = 10 kN ←

F_AB = kN

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

10 kN @ 8 m60 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту и сосредоточенной силой P. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 10 mP = 75 kN в 2 mw = 5 kN/m от 0 до 10 m

M_max = kN·m

7.Прогиб балкиСредняя

Консоль нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на свободном конце. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб δ свободного конца.

P = 20 kNw = 15 kN/mL = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w. Её прогиб не должен превышать пролёт/360. Найдите наименьший момент инерции I_req, удовлетворяющий этому условию.

w = 10 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (алюминий)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и свободна вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (алюминий)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 5 mE = 200 GPa (сталь)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Круглая труба имеет наружный диаметр D = 290 mm и внутренний диаметр d = 258 mm. Найдите его радиус инерции r относительно горизонтальной центральной оси.

D = 290 mmd = 258 mm

r = mm

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 25 kN·m. Найдите величину напряжения изгиба σ_верх на верхнем крае.

b_f = 280 mmt_f = 15 mmt_w = 14 mmh_w = 300 mmM = 25 kN·m

σ_верх = MPa

13.Эффективное напряжение в грунтеСредняя

Для показанного грунтового разреза найдите вертикальное эффективное напряжение σ′ в точке X.

z = 6 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 15,5 kN/m³песок: γ_sat = 19 kN/m³

σ′ = kPa

14.Эффективное напряжение в грунтеСложная

Для показанного грунтового разреза найдите полное вертикальное напряжение σ в точке X.

z = 8,5 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 15 kN/m³песок: γ_sat = 18,5 kN/m³глина: γ_sat = 17 kN/m³

σ = kPa

15.Консолидационная осадкаСредняя

Слой переуплотнённой глины толщиной 6 m имеет C_c = 0,5, C_r = 0,02 и e₀ = 0,95. В середине слоя эффективное вертикальное напряжение равно 120 kPa , а давление предварительного уплотнения равно 210 kPa. Новое здание добавляет 100 kPa вертикального напряжения в середине слоя. Найдите осадку первичной консолидации S в mm.

H = 6 mC_c = 0,5C_r = 0,02e₀ = 0,95σ′₀ = 120 kPaσ′_p = 210 kPaΔσ = 100 kPa

S = mm

16.Консолидационная осадкаСложная

Слой глины толщиной 7 m имеет коэффициент консолидации c_v = 0,5 m²/year. Слой лежит между двумя слоями песка, поэтому вода отводится вверх и вниз. Для средней степени консолидации 50% фактор времени T_v = 0,197. За сколько лет t слой достигнет 50% консолидации?

H = 7 mc_v = 0,5 m²/годU = 50%T_v = 0,197двусторонний дренаж

t = годы

17.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 2 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 1,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 1,5 mH = 1,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 2 m находится в стенке резервуара с жидкостью (масло), его верхний край на 2 m ниже поверхности. Найдите глубину y_cp центра давления под поверхностью.

d = 2 mH = 1 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода течёт со средней скоростью 2,8 m/s по трубе длиной 50 m с внутренним диаметром 50 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,03 и g = 9,81 m/s². Найдите потерю напора на трение h_f.

V = 2,8 m/sL = 50 mD = 50 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Трение в трубах и потери напораСложная

Труба длиной 300 m с внутренним диаметром 300 mm (коэффициент трения Дарси f = 0,025) отходит от открытого резервуара и выпускает воду свободной струёй в атмосферу. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 2 колена (K = 0,3 каждое) и задвижка (K = 10). Примите g = 9,81 m/s². На какой высоте H над выходом трубы должна находиться поверхность воды в резервуаре, чтобы расход был 75 L/s?

Q = 75 L/sL = 300 mD = 300 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 10

H = m

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Трапецеидальный канал (чистый грунт) имеет ширину по дну 2,5 m и заложение откосов 1:1 (горизонталь:вертикаль). Вода течёт равномерно с глубиной 0,6 m. Коэффициент Маннинга n = 0,022, уклон дна S = 0,002. Найдите расход Q в m³/s.

b = 2,5 my = 0,6 mz = 1n = 0,022S = 0,002

Q = m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Прямоугольный канал (грунт, покрытый травой) шириной 3,5 m должен пропускать 3,3 m³/s при равномерном течении с глубиной 1 m. Коэффициент Маннинга n = 0,03. Найдите требуемый уклон дна S (в m/m).

Q = 3,3 m³/sb = 3,5 my = 1 mn = 0,03

S = m/m

23.Насосы и мощность насосаСредняя

При испытании насос подаёт 60 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 24 m, а мощность на его валу 21,7 kW. Примите g = 9,81 m/s². Найдите КПД насоса η в процентах.

Q = 60 L/sH = 24 mP_shaft = 21,7 kWg = 9,81 m/s²

η = %

24.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 50 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 10 m выше. Труба длиной 100 m имеет внутренний диаметр 150 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,02; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 3 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². КПД насоса 82%. Найдите мощность на валу P_shaft в kW.

Q = 50 L/sΔz = 10 mL = 100 mD = 150 mmf = 0,02ΣK = 3η = 82%

P_shaft = kW

25.Временная стоимость денегСредняя

Через 5 лет вам нужно €15 000. Счёт даёт 6 % годовых с капитализацией ежемесячной. Сколько нужно положить сегодня? Найдите приведённую стоимость PV.

FV = €15 0006% / 12n = 5

PV = €

26.Временная стоимость денегСложная

Вы откладываете €250 в конце каждого месяца в течение 25 лет. Счёт даёт 5,4 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько вы накопите в конце? Найдите FV.

A = €2505,4% / 12N = 300

FV = €

27.NPV и IRRСредняя

Проект стоит €50 000 сегодня и приносит €14 500, €15 000, €13 500, €22 000, €14 000 в конце годов с 1-го по 5-й. Стоимость капитала — 8 %. Считайте, что денежные потоки поступают равномерно в течение каждого года. Найдите дисконтированный срок окупаемости DPB в годах.

r = 8%CF₀ = −50 000CF₁ = 14 500CF₂ = 15 000CF₃ = 13 500CF₄ = 22 000CF₅ = 14 000

DPB = годы

28.NPV и IRRСложная

Проект стоит €40 000 и приносит €18 000, €30 000 в конце лет с 1 по 2. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −40 000CF₁ = 18 000CF₂ = 30 000

IRR = %

29.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь под стандартной нормальной кривой справа от z была равна 0,0262. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,0262

z =

30.Нормальное распределениеСложная

Пусть массы пакетов распределены нормально со средним 250 g и стандартным отклонением 5 g. Найдите значение x, ниже которого лежат 10 % значений (10-й процентиль).

μ = 250σ = 5P = 10%

x = g

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 58,33 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 50·4 + 30·5

R_B = 350/6 = 58,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 58,33 = 21,67 kN

Ответ

R_B = 58,33 kN

2.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 44,4 kN

Расчётная схема

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 6·2 = 12 kN, приложена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 60·1,5 + 6·2·4

R_B = 138/5 = 27,6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 72 − 27,6 = 44,4 kN

Ответ

R_A = 44,4 kN

3.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 14,06 kN (T), BC: 20,62 kN (T), CD: 20,62 kN (T), DE: 19,69 kN (T), FG: 14,06 kN (C), GH: 19,69 kN (C), AF: 23,44 kN (C), HE: 32,81 kN (C), BF: 18,75 kN (T), CG: 0, DH: 1,25 kN (T), BG: 10,94 kN (C), DG: 1,563 kN (C)

Ответ

Нулевой элемент: CG

4.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AB = −13,04 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 10·1 − 10·2 → C_y = −1,667 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − −1,667 = 11,67 kN

ΣF_x = 0: A_x = 10 kN

Узел A

Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.

sin α = 2/2,236 = 0,8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −11,67/0,8944 = −13,04 kN

Ответ

F_AB = −13,04 kN (сжатие)

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: C (x = 4 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 43,33 kN, R₂ = 26,67 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 86,67, M_C = 173,3 kN·m, M_D = 140, M_E = 106,7, M_F = 53,33, M_G = 0

Ответ

Отметка C: M_C = 173,3 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 160 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, приложена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 75·2 + 5·10·5

R_B = 400/10 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 125 − 40 = 85 kN

Где V = 0?

V(2⁻) = R_A − w·2 = 75 kN

V(2⁺) = 75 − 75 = 0 kN

Поперечная сила меняет знак под силой, поэтому максимум находится под силой.

Наибольший момент

M_max = R_A·2 − w·2²/2 = 85·2 − 5·2²/2 = 160 kN·m

Ответ

M_max = 160 kN·m

Он достигается при x = 2 m от A.

7.Прогиб балки

Ответ: δ = 4,443 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 20000 N, w = 15 N/mm, L = 1500 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δ_P = PL³/(3EI) = 20000·1500³/(3·7,2 × 10¹²) = 3,125 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 15·1500⁴/(8·7,2 × 10¹²) = 1,318 mm

Сложите

δ = 3,125 + 1,318 = 4,443 mm

Ответ

δ = 4,443 mm

8.Прогиб балки

Ответ: I_req = 42,86 × 10⁶ mm⁴

Ограничение прогиба

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Требуемый момент инерции

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·10·4000⁴/(384·70000·11,11) = 4,286 × 10⁷ mm⁴

I_req = 42,86 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_req = 42,86 × 10⁶ mm⁴

9.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 52,99 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Расчётная длина

KL = 2·1000 = 2000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/2000² = 52989 N = 52,99 kN

Ответ

P_cr = 52,99 kN

10.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 17,77 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 1·5000 = 5000 mm

KL/r = 5000/15 = 333,3

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/333,3² = 17,77 MPa

Ответ

σ_cr = 17,77 MPa

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: r = 97,04 mm

Момент инерции сечения: для прямоугольника относительно его собственной центральной оси I = bh³/12, а относительно основания bh³/3 (теорема о параллельном переносе осей I = I_c + A·d²). Отверстие учитывают, вычитая его I, если обе части отнесены к одной и той же оси. Момент сопротивления сечения S = I/c, где c — расстояние до крайнего волокна. Радиус инерции r = √(I/A) — это расстояние, на котором вся площадь дала бы тот же I; он используется при расчёте колонн на устойчивость.

Площадь и момент инерции нетто

A = π(D² − d²)/4 = 13773 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 1,297 × 10⁸ mm⁴

Радиус инерции

r = √(I/A) = √(1,297 × 10⁸/13773) = 97,04 mm

Ответ

r = 97,04 mm

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_верх = 25,77 MPa

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 280·15 = 4200 mm², y_f = 300 + 15/2 = 307,5 mm

стенка: A_w = 14·300 = 4200 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·307,5 + 4200·150)/8400 = 228,8 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 280·15³/12 + 4200·(307,5 − 228,8)² = 2,613 × 10⁷ mm⁴

стенка: 14·300³/12 + 4200·(150 − 228,8)² = 5,755 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,613 × 10⁷ + 5,755 × 10⁷ = 8,367 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Верхний край на расстоянии h − ȳ от оси.

y = 315 − 228,8 = 86,25 mm

σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·86,25/8,367 × 10⁷ = 25,77 MPa

Ответ

σ_верх = 25,77 MPa

13.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: σ′ = 74,07 kPa

Эффективное напряжение (Терцаги): скелет грунта воспринимает σ′ = σ − u. Полное напряжение σ — это вес всего, что над точкой, Σγ·h, с удельным весом сухого грунта выше уровня грунтовых вод и водонасыщенного — ниже. Ниже уровня грунтовых вод поровое давление гидростатическое: u = γ_w·(глубина ниже уровня грунтовых вод).

Полное напряжение

Сложите вес каждого слоя грунта над X. Выше уровня грунтовых вод берите удельный вес сухого грунта, ниже — водонасыщенного.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15,5·3 + 19·3 = 103,5 kPa

Поровое давление

Давление воды растёт с глубиной ниже уровня грунтовых вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·3 = 29,43 kPa

Эффективное напряжение

σ′ = σ − u = 103,5 − 29,43 = 74,07 kPa

Ответ

σ′ = 74,07 kPa

14.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: σ = 141,5 kPa

Полное напряжение

σ = γ_d·3 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·3,5

σ = 15·3 + 18,5·2 + 17·3,5 = 141,5 kPa

Ответ

σ = 141,5 kPa

15.Консолидационная осадка

Ответ: S = 46,04 mm

Первичная консолидация слоя глины толщиной H по эффективному напряжению в середине слоя: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально уплотнённая глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переуплотнённая глина повторно сжимается по C_r до давления предварительного уплотнения σ′_p и следует C_c только выше него. Время: t = T_v·H_dr²/c_v, где путь фильтрации H_dr равен H/2, когда вода может уходить вверх и вниз, и H, когда дренирует только одна сторона.

Сравните с давлением предварительного уплотнения

σ′_f = 120 + 100 = 220 kPa > 210 kPa

Осадка

Повторное сжатие до σ′_p, первичное сжатие за ним.

S = 0,02·6/(1 + 0,95)·log₁₀(210/120) + 0,5·6/(1 + 0,95)·log₁₀(220/210)

S = 14,96 + 31,08 = 46,04 mm

Ответ

S = 46,04 mm

16.Консолидационная осадка

Ответ: t = 4,827 годы

Путь фильтрации

H_dr = H/2 = 7/2 = 3,5 m

Время

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,197·3,5²/0,5 = 4,827 годы

Ответ

t = 4,827 годы

17.Гидростатическое давление

Ответ: F = 66,22 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1,5 + 1,5/2 = 2,25 m

A = H·b = 1,5·2 = 3 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,25·3 = 66,22 kN

Ответ

F = 66,22 kN

18.Гидростатическое давление

Ответ: y_cp = 2,533 m

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2,5 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·2,5·2 = 43,16 kN

Центр давления

Давление растёт с глубиной, поэтому равнодействующая приложена ниже центра тяжести.

I_c = b·H³/12 = 2·1³/12 = 0,1667 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2,5 + 0,1667/(2,5·2) = 2,533 m

Ответ

y_cp = 2,533 m

19.Трение в трубах и потери напора

Ответ: h_f = 11,99 m

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Скоростной напор

V²/(2g) = 2,8²/(2·9,81) = 0,3996 m

Формула Дарси–Вейсбаха

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(50/0,05)·2,8²/(2·9,81) = 11,99 m

Ответ

h_f = 11,99 m

20.Трение в трубах и потери напора

Ответ: H = 2,129 m

Скорость

V = Q/A = 0,075/0,07069 = 1,061 m/s

V²/(2g) = 0,05738 m

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,025·300/0,3 = 25

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 = 11,1

Уравнение энергии

Выходящая струя сохраняет свой скоростной напор; это не потеря, но его нужно обеспечить.

H = (1 + 25 + 11,1)·0,05738 = 2,129 m

Ответ

H = 2,129 m

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 2,198 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (2,5 + 1·0,6)·0,6 = 1,86 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·0,6·√(1 + 1²) = 4,197 m

R = A/P = 0,4432 m

Скорость

V = (1/0,022)·0,4432^2/3·0,002^1/2 = 1,182 m/s

Расход

Q = A·V = 1,86·1,182 = 2,198 m³/s

Ответ

Q = 2,198 m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,001462 m/m

Геометрия

A = b·y = 3,5·1 = 3,5 m²

P = b + 2y = 3,5 + 2·1 = 5,5 m

R = A/P = 0,6364 m

Выразите S из формулы Маннинга

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,03·3,3/(3,5·0,7398) = 0,03823

S = 0,03823² = 0,001462

Ответ

S = 0,001462

Это понижение на 1,462 m на километр.

23.Насосы и мощность насоса

Ответ: η = 65,1 %

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,06·24 = 14,13 kW

КПД

η = P_h/P_shaft = 14,13/21,7 = 65,1%

Ответ

η = 65,1%

24.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_shaft = 9,968 kW

Скорость

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (13,33 + 3)·0,408 = 6,665 m

Напор насоса

H = Δz + h_L = 10 + 6,665 = 16,66 m

Мощность на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,05·16,66/0,82 = 9,968 kW

Ответ

P_shaft = 9,968 kW

25.Временная стоимость денег

Ответ: PV = 11121 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·5 = 60

Приведённая стоимость

PV = FV/(1 + i)^N = 15 000/1,349 = €11 120,58

Ответ

PV = €11 120,58

26.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 158098 €

Месячная ставка и число взносов

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·25 = 300

Будущая стоимость взносов

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 250·(3,846 − 1)/0,0045 = €158 097,85

Ответ

FV = €158 097,85

Сами вы внесли €75 000; остальное — проценты.

27.NPV и IRR

Ответ: DPB = 3,804 годы

Срок окупаемости: время, за которое накопленные денежные потоки возмещают первоначальные инвестиции. Предполагается, что деньги поступают равномерно в течение каждого года, поэтому последний отрезок — это доля года. Простой срок окупаемости не учитывает временную стоимость денег; дисконтированный срок окупаемости использует вместо этого дисконтированные денежные потоки.

Дисконтированные и накопленные денежные потоки

год 1: 14 500/1,08 = 13 425,93 → Σ = 13 425,93

год 2: 15 000/1,166 = 12 860,08 → Σ = 26 286,01

год 3: 13 500/1,26 = 10 716,74 → Σ = 37 002,74

год 4: 22 000/1,36 = 16 170,66 → Σ = 53 173,40

Доля последнего года

DPB = 3 + 12 997,26/16 170,66 = 3,804

Ответ

DPB = 3,804 годы

Дисконтированный срок окупаемости всегда длиннее простого (3,318 лет).

28.NPV и IRR

Ответ: IRR = 11,98 %

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(10%) = 1 157,02

NPV(15%) = −1 663,52

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 10 + 5·1 157,02/(1 157,02 − (−1 663,52)) = 12,05%

точно: NPV(11,98%) = 0 → IRR = 11,98%

Ответ

IRR = 11,98%

29.Нормальное распределение

Ответ: z = 1,94

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = 1 − 0,0262 = 0,9738

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,9738 внутри таблицы и считайте z.

z = 1,94

Ответ

z = 1,94

30.Нормальное распределение

Ответ: x = 243,6 g

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Обратно к x

x = 250 + −1,282·5 = 243,59 g

Ответ

x = 243,59 g

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil