Подготовка к экзамену FE Civil: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (30) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Эффективное напряжение в грунте

Полное напряжение: σ = Σγ_i·h_i
Поровое давление: u = γ_w·(z − z_w)
Эффективное напряжение: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолидационная осадка

Нормально уплотнённый грунт: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Конечное напряжение: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переуплотнённый грунт, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переуплотнённый грунт, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коэффициент переуплотнения: OCR = σ′_p/σ′₀
Время консолидации: t = T_v·H_dr²/c_v
Путь фильтрации: H_dr = H/2 (двусторонний дренаж), H (односторонний дренаж)
Факторы времени: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_A.

L = 4 mP₁ = 35 kN в 2,5 mP₂ = 45 kN в 3 m

R_A = kN

2.Опорные реакции балокСложная

Консольная балка защемлена в стене в точке A. Она нагружена линейно изменяющейся нагрузкой интенсивностью 10 kN/m у стены, убывающей до нуля на свободном конце B, а также сосредоточенной силой P на расстоянии 8 m от стены. Найдите величину реактивного момента M_A в заделке.

L = 8 mw₀ = 10 kN/mP = 20 kN в 8 m

M_A = kN·m

3.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

D: 25 kN ↓G: 40 kN ↓H: 15 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC

4.Ферма: метод вырезания узловСложная

B: 25 kN ↓D: 10 kN ↓G: 10 kN ↓H: 35 kN ↓H: 30 kN ←

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент BG
13элемент DG

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Балка опирается на неподвижный шарнир в A и подвижную опору в B и имеет консольный свес длиной 2 m за B до свободного конца C. Она нагружена сосредоточенной силой P₁ между опорами и сосредоточенной силой P₂ в C. Найдите изгибающий момент M_x под силой P₁. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 10 mP₁ = 40 kN в 1 mP₂ = 70 kN в 10 mопоры при x = 0 и x = 8 m

M_x = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 2,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 5 mP = 20 kN в 4 mw = 5 kN/m от 0 до 5 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

7.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Найдите угол поворота θ_A сечения балки на опоре A в радианах.

w = 20 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (сталь)I = 57 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

8.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w. Её прогиб не должен превышать пролёт/360. Найдите наименьший момент инерции I_req, удовлетворяющий этому условию.

w = 4 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (сталь)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 1 mE = 70 GPa (алюминий)d = 25 mm

σ_cr = MPa

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Пластина 200 mm × 240 mm имеет круглое отверстие диаметром 40 mm на вертикальной оси симметрии, центр которого находится на высоте 156 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 200 mmh = 240 mmd = 40 mmцентр отверстия: y = 156 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 5 kN·m. Найдите напряжение изгиба σ_низ на нижнем крае.

b_f = 120 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 120 mmM = 5 kN·m

σ_низ = MPa

13.Эффективное напряжение в грунтеСредняя

Для показанного грунтового разреза найдите вертикальное эффективное напряжение σ′ в точке X.

z = 5 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 16,5 kN/m³песок: γ_sat = 20,5 kN/m³

σ′ = kPa

14.Эффективное напряжение в грунтеСложная

Для показанного грунтового разреза найдите вертикальное эффективное напряжение σ′ в точке X.

z = 6,5 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 15 kN/m³песок: γ_sat = 20,5 kN/m³глина: γ_sat = 18,5 kN/m³

σ′ = kPa

15.Консолидационная осадкаСредняя

Слой переуплотнённой глины толщиной 7,5 m имеет C_c = 0,25, C_r = 0,03 и e₀ = 0,95. В середине слоя эффективное вертикальное напряжение равно 75 kPa , а давление предварительного уплотнения равно 195 kPa. Новое здание добавляет 160 kPa вертикального напряжения в середине слоя. Найдите осадку первичной консолидации S в mm.

H = 7,5 mC_c = 0,25C_r = 0,03e₀ = 0,95σ′₀ = 75 kPaσ′_p = 195 kPaΔσ = 160 kPa

S = mm

16.Консолидационная осадкаСложная

В лабораторном компрессионном испытании образец глины толщиной 19 mm с дренированием сверху и снизу достигает 50% консолидации за 5 min. В природе та же глина образует слой толщиной 8 m. Слой лежит между двумя слоями песка, поэтому вода отводится вверх и вниз. За сколько суток t природный слой достигнет 50% консолидации?

h_lab = 19 mmt_lab = 5 minH = 8 mв природе: двусторонний дренаж

t = сут

17.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 2,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 2,5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 3 m находится в стенке резервуара с жидкостью (масло), его верхний край на 2 m ниже поверхности. Найдите глубину y_cp центра давления под поверхностью.

d = 2 mH = 3 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода течёт с расходом 6 L/s по трубе длиной 50 m с внутренним диаметром 75 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,018 и g = 9,81 m/s². Найдите потерю напора на трение h_f.

Q = 6 L/sL = 50 mD = 75 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Трение в трубах и потери напораСложная

Труба длиной 100 m с внутренним диаметром 150 mm (коэффициент трения Дарси f = 0,022) отходит от открытого резервуара и выпускает воду свободной струёй в атмосферу. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 3 колена (K = 0,3 каждое) и задвижка (K = 10). Примите g = 9,81 m/s². На какой высоте H над выходом трубы должна находиться поверхность воды в резервуаре, чтобы расход был 40 L/s?

Q = 40 L/sL = 100 mD = 150 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 10

H = m

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Бетонный ливневый коллектор с внутренним диаметром 600 mm заполнен наполовину. Коэффициент Маннинга n = 0,013, уклон S = 0,002. Найдите расход Q в m³/s.

D = 600 mmn = 0,013S = 0,002

Q = m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Прямоугольный канал (грунт, покрытый травой) шириной 2,5 m должен пропускать 2,3 m³/s при равномерном течении с глубиной 1,3 m. Коэффициент Маннинга n = 0,03. Найдите требуемый уклон дна S (в m/m).

Q = 2,3 m³/sb = 2,5 my = 1,3 mn = 0,03

S = m/m

23.Насосы и мощность насосаСредняя

Насос с КПД 75% подаёт 40 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 80 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите необходимую мощность на валу P_shaft в kW.

Q = 40 L/sH = 80 mη = 75%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

24.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 20 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 12 m выше. Труба длиной 200 m имеет внутренний диаметр 100 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,02; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 6 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². КПД насоса 70%. Найдите мощность на валу P_shaft в kW.

Q = 20 L/sΔz = 12 mL = 200 mD = 100 mmf = 0,02ΣK = 6η = 70%

P_shaft = kW

25.Временная стоимость денегСредняя

Вы инвестируете €2 000 под номинальную ставку 5 % годовых с капитализацией ежеквартальной. Найдите стоимость FV инвестиции через 8 лет.

PV = €2 0005% / 4n = 8

FV = €

26.Временная стоимость денегСложная

Кредит €200 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 20 лет. Ставка — 6 % годовых с ежемесячной капитализацией. Найдите ежемесячный платёж A.

P = €200 0006% / 12N = 240

A = €

27.NPV и IRRСредняя

Станок стоит €20 000 сегодня, служит 9 лет, а его эксплуатация обходится в €3 000 в год (оплата в конце каждого года). Стоимость капитала — 5 %. Найдите его эквивалентные годовые затраты EAC.

C₀ = €20 000M = €3 000n = 9r = 5%

EAC = €

28.NPV и IRRСложная

Проект стоит €10 000 и приносит €7 000, €4 000 в конце лет с 1 по 2. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −10 000CF₁ = 7 000CF₂ = 4 000

IRR = %

29.Нормальное распределениеСредняя

X нормальна со средним 60 s и стандартным отклонением 5 s; Y независима и нормальна со средним 45 s и стандартным отклонением 4 s. Найдите вероятность P того, что X + Y больше 117,8 s. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 117,8 s

P =

30.Нормальное распределениеСложная

Пусть результаты IQ-тестов распределены нормально со средним 100 баллов и стандартным отклонением 15 баллов. Найдите значение x, ниже которого лежат 90 % значений (90-й процентиль).

μ = 100σ = 15P = 90%

x = баллов

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 24,38 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 35·2,5 + 45·3

R_B = 222,5/4 = 55,63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 55,63 = 24,38 kN

Ответ

R_A = 24,38 kN

2.Опорные реакции балок

Ответ: M_A = 266,7 kN·m

Равновесие консоли: заделка может давить вверх и препятствовать повороту, поэтому она даёт вертикальную реакцию R_A и реактивный момент M_A. ΣF_y = 0 даёт R_A, а моменты относительно стены дают M_A = Σ(нагрузка × расстояние от стены). Распределённая нагрузка действует как её равнодействующая, приложенная в центре тяжести эпюры нагрузки.

Равнодействующая треугольной нагрузки

W = ½·10·8 = 40 kN

x̄ = L/3 = 2,667 m

Момент относительно стены

M_A = W·x̄ + P·a = 40·2,667 + 20·8 = 266,7 kN·m

Ответ

M_A = 266,7 kN·m

3.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент BF

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел B

AB и BC лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 22,5 kN (T), BC: 22,5 kN (T), CD: 37,5 kN (T), DE: 37,5 kN (T), FG: 45 kN (C), GH: 45 kN (C), AF: 37,5 kN (C), HE: 62,5 kN (C), BF: 0, CG: 40 kN (C), DH: 25 kN (T), FC: 37,5 kN (T), HC: 12,5 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: BF

4.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 24,17 kN (T), BC: 45 kN (T), CD: 45 kN (T), DE: 52,5 kN (T), FG: 54,17 kN (C), GH: 82,5 kN (C), AF: 67,71 kN (C), HE: 65,62 kN (C), BF: 40,63 kN (T), CG: 0, DH: 4,375 kN (T), BG: 26,04 kN (C), DG: 9,375 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: CG

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 17,5 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки. Сила на консольном свесе тоже создаёт момент относительно A.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 40·1 + 70·10

R_B = 740/8 = 92,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 110 − 92,5 = 17,5 kN

Сечение под P₁, оставляем левую часть

M_x = R_A·1 = 17,5·1 = 17,5 kN·m

Ответ

M_x = 17,5 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 25,63 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, приложена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 20·4 + 5·5·2,5

R_B = 142,5/5 = 28,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 28,5 = 16,5 kN

Рассеките в x = 2,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 16,5·2,5 − 5·2,5·1,25 = 25,63 kN·m

Ответ

M_x = 25,63 kN·m

7.Прогиб балки

Ответ: θ_A = 0,004678 rad

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции). Угол поворота θ = dv/dx — это первый интеграл от M/(EI); в согласованных единицах он получается в радианах.

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Угол поворота на конце

θ_A = wL³/(24EI) = 20·4000³/(24·1,14 × 10¹³) = 0,004678 rad

Ответ

θ_A = 0,004678 rad

Это 0,2681°.

8.Прогиб балки

Ответ: I_req = 109,1 × 10⁶ mm⁴

Ограничение прогиба

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Требуемый момент инерции

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·4000⁴/(384·11000·11,11) = 1,091 × 10⁸ mm⁴

I_req = 109,1 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_req = 109,1 × 10⁶ mm⁴

9.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 96,89 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/2500² = 96895 N = 96,89 kN

Ответ

P_cr = 96,89 kN

10.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 55,08 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,7·1000 = 700 mm

KL/r = 700/6,25 = 112

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/112² = 55,08 MPa

Ответ

σ_cr = 55,08 MPa

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 228,6 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (48000·120 − 1257·156)/(48000 − 1257) = 119 mm

Целая пластина относительно ȳ

200·240³/12 + 48000·0,9678² = 230,4 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

π·40⁴/64 + 1257·36,97² = 1,843 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 228,6 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 228,6 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_низ = 98,04 MPa

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 120·20 = 2400 mm², y_f = 120 + 20/2 = 130 mm

стенка: A_w = 10·120 = 1200 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·130 + 1200·60)/3600 = 106,7 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 120·20³/12 + 2400·(130 − 106,7)² = 1,387 × 10⁶ mm⁴

стенка: 10·120³/12 + 1200·(60 − 106,7)² = 4,053 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,387 × 10⁶ + 4,053 × 10⁶ = 5,44 × 10⁶ mm⁴

Напряжение изгиба

Нижний край на расстоянии ȳ от оси.

y = 106,7 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·106,7/5,44 × 10⁶ = 98,04 MPa

Ответ

σ_низ = 98,04 MPa

13.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: σ′ = 70,88 kPa

Эффективное напряжение (Терцаги): скелет грунта воспринимает σ′ = σ − u. Полное напряжение σ — это вес всего, что над точкой, Σγ·h, с удельным весом сухого грунта выше уровня грунтовых вод и водонасыщенного — ниже. Ниже уровня грунтовых вод поровое давление гидростатическое: u = γ_w·(глубина ниже уровня грунтовых вод).

Полное напряжение

Сложите вес каждого слоя грунта над X. Выше уровня грунтовых вод берите удельный вес сухого грунта, ниже — водонасыщенного.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16,5·3 + 20,5·2 = 90,5 kPa

Поровое давление

Давление воды растёт с глубиной ниже уровня грунтовых вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·2 = 19,62 kPa

Эффективное напряжение

σ′ = σ − u = 90,5 − 19,62 = 70,88 kPa

Ответ

σ′ = 70,88 kPa

14.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: σ′ = 73,1 kPa

Полное напряжение

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·2,5

σ = 15·2 + 20,5·2 + 18,5·2,5 = 117,3 kPa

Поровое давление

Давление воды растёт с глубиной ниже уровня грунтовых вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·4,5 = 44,15 kPa

Эффективное напряжение

σ′ = σ − u = 117,3 − 44,15 = 73,1 kPa

Ответ

σ′ = 73,1 kPa

15.Консолидационная осадка

Ответ: S = 125,8 mm

Первичная консолидация слоя глины толщиной H по эффективному напряжению в середине слоя: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально уплотнённая глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переуплотнённая глина повторно сжимается по C_r до давления предварительного уплотнения σ′_p и следует C_c только выше него. Время: t = T_v·H_dr²/c_v, где путь фильтрации H_dr равен H/2, когда вода может уходить вверх и вниз, и H, когда дренирует только одна сторона.

Сравните с давлением предварительного уплотнения

σ′_f = 75 + 160 = 235 kPa > 195 kPa

Осадка

Повторное сжатие до σ′_p, первичное сжатие за ним.

S = 0,03·7,5/(1 + 0,95)·log₁₀(195/75) + 0,25·7,5/(1 + 0,95)·log₁₀(235/195)

S = 47,88 + 77,92 = 125,8 mm

Ответ

S = 125,8 mm

16.Консолидационная осадка

Ответ: t = 615,6 сут

Пути фильтрации

H_dr,lab = 19/2 = 9,5 mm = 0,0095 m

H_dr,field = 8/2 = 4 m

Пересчитайте время

t = T_v·H_dr²/c_v с одинаковыми T_v и c_v в лаборатории и в природе.

t_field = 5·(4/0,0095)² = 886427 min

t_field = 886427/1440 = 615,6 сут

Ответ

t = 615,6 сут

17.Гидростатическое давление

Ответ: F = 117,7 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 2,5 + 3/2 = 4 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4·3 = 117,7 kN

Ответ

F = 117,7 kN

18.Гидростатическое давление

Ответ: y_cp = 3,714 m

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3,5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·3,5·9 = 271,9 kN

Центр давления

Давление растёт с глубиной, поэтому равнодействующая приложена ниже центра тяжести.

I_c = b·H³/12 = 3·3³/12 = 6,75 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3,5 + 6,75/(3,5·9) = 3,714 m

Ответ

y_cp = 3,714 m

19.Трение в трубах и потери напора

Ответ: h_f = 1,128 m

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Средняя скорость

A = π·0,075²/4 = 0,004418 m²

V = Q/A = 0,006/0,004418 = 1,358 m/s

Скоростной напор

V²/(2g) = 1,358²/(2·9,81) = 0,09401 m

Формула Дарси–Вейсбаха

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(50/0,075)·1,358²/(2·9,81) = 1,128 m

Ответ

h_f = 1,128 m

20.Трение в трубах и потери напора

Ответ: H = 7,068 m

Скорость

V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s

V²/(2g) = 0,2611 m

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,022·100/0,15 = 14,67

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 = 11,4

Уравнение энергии

Выходящая струя сохраняет свой скоростной напор; это не потеря, но его нужно обеспечить.

H = (1 + 14,67 + 11,4)·0,2611 = 7,068 m

Ответ

H = 7,068 m

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 0,1373 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = 0,1414 m², R = D/4 = 0,15 m

Скорость

V = (1/0,013)·0,15^2/3·0,002^1/2 = 0,9712 m/s

Расход

Q = A·V = 0,1414·0,9712 = 0,1373 m³/s

Ответ

Q = 0,1373 m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,000822 m/m

Геометрия

A = b·y = 2,5·1,3 = 3,25 m²

P = b + 2y = 2,5 + 2·1,3 = 5,1 m

R = A/P = 0,6373 m

Выразите S из формулы Маннинга

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,03·2,3/(3,25·0,7405) = 0,02867

S = 0,02867² = 0,000822

Ответ

S = 0,000822

Это понижение на 0,822 m на километр.

23.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_shaft = 41,86 kW

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·80 = 31,39 kW

Мощность на валу

P_shaft = P_h/η = 31,39/0,75 = 41,86 kW

Ответ

P_shaft = 41,86 kW

24.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_shaft = 7,625 kW

Скорость

V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (40 + 6)·0,3305 = 15,2 m

Напор насоса

H = Δz + h_L = 12 + 15,2 = 27,2 m

Мощность на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,02·27,2/0,7 = 7,625 kW

Ответ

P_shaft = 7,625 kW

25.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 2976 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = r/m = 0,05/4 = 0,0125

N = m·n = 4·8 = 32

Будущая стоимость

FV = 2 000·(1 + 0,0125)³² = 2 000·1,488 = €2 976,26

Ответ

FV = €2 976,26

26.Временная стоимость денег

Ответ: A = 1433 €

Месячная ставка и число платежей

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·20 = 240

Платёж

Приведённая стоимость N равных платежей A равна A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Приравняйте её к кредиту и найдите A.

(1 + i)^−N = 0,3021

A = 200 000·0,005/(1 − 0,3021) = €1 432,86

Ответ

A = €1 432,86

27.NPV и IRR

Ответ: EAC = 5814 €

Эквивалентные годовые затраты: распределите приведённую стоимость всех затрат по сроку службы в виде равной ежегодной суммы (аннуитета): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Это позволяет сравнивать станки с разным сроком службы.

Коэффициент аннуитета

(1 − 1,05⁻⁹)/0,05 = 7,108

Цена покупки в пересчёте на год

20 000/7,108 = 2 813,80

EAC

EAC = 2 813,80 + 3 000 = €5 813,80

Ответ

EAC = €5 813,80

28.NPV и IRR

Ответ: IRR = 7,284 %

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(5%) = 294,78

NPV(10%) = −330,58

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 5 + 5·294,78/(294,78 − (−330,58)) = 7,357%

точно: NPV(7,284%) = 0 → IRR = 7,284%

Ответ

IRR = 7,284%

29.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,02275

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Стандартизуйте

z = (117,8 − 105)/6,403 = 2

Верхний хвост

P = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,02275

Ответ

P = 0,02275

30.Нормальное распределение

Ответ: x = 119,2 баллов

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Обратно к x

x = 100 + 1,282·15 = 119,22 баллов

Ответ

x = 119,22 баллов

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. Экзамен FE exam проводит NCEES; эта организация не связана с ExamProblems и не поддерживает его.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil

Подготовка к экзамену FE Civil: шпаргалка-пакет

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Метод

Ферма: метод вырезания узлов

Метод

Поперечная сила и изгибающий момент

Метод

Прогиб балки

Устойчивость колонн

Центр тяжести и момент инерции

Эффективное напряжение в грунте

Консолидационная осадка

Гидростатическое давление

Трение в трубах и потери напора

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Насосы и мощность насоса

Временная стоимость денег

Метод

NPV и IRR

Метод

Нормальное распределение

Метод

2Тренировочные задачи

3Растворы

Расчётная схема

Равновесие

Ответ

Равнодействующая треугольной нагрузки

Момент относительно стены

Ответ

Узел B

Проверка методом вырезания узлов

Ответ

Узел C

Проверка методом вырезания узлов

Ответ

Опорные реакции

Сечение под P1, оставляем левую часть

Ответ

Опорные реакции

Рассеките в x = 2,5 m и оставьте левую часть

Ответ

Согласованные единицы

Угол поворота на конце

Ответ

Ограничение прогиба

Требуемый момент инерции

Ответ

Наименьший момент инерции

Расчётная длина

Критическая сила

Ответ

Наименьший момент инерции

Радиус инерции и гибкость

Критическое напряжение

Ответ

Центр тяжести

Целая пластина относительно ȳ

Отверстие относительно ȳ

Вычтите

Ответ

Разбейте на два прямоугольника

Центр тяжести

Теорема о параллельном переносе осей

Напряжение изгиба

Ответ

Полное напряжение

Поровое давление

Эффективное напряжение

Ответ

Полное напряжение

Поровое давление

Эффективное напряжение

Ответ

Сравните с давлением предварительного уплотнения

Осадка

Ответ

Пути фильтрации

Пересчитайте время

Сечение под P₁, оставляем левую часть