Подготовка к экзамену FE Civil: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (30) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Эффективное напряжение в грунте

Полное напряжение: σ = Σγ_i·h_i
Поровое давление: u = γ_w·(z − z_w)
Эффективное напряжение: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолидационная осадка

Нормально уплотнённый грунт: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Конечное напряжение: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переуплотнённый грунт, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переуплотнённый грунт, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коэффициент переуплотнения: OCR = σ′_p/σ′₀
Время консолидации: t = T_v·H_dr²/c_v
Путь фильтрации: H_dr = H/2 (двусторонний дренаж), H (односторонний дренаж)
Факторы времени: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка (неподвижный шарнир в A, подвижная опора в B) нагружена линейно изменяющейся нагрузкой, убывающей от 6 kN/m в A до нуля в B. Кроме того, на расстоянии 4 m от A действует сосредоточенная сила P. Найдите вертикальную опорную реакцию R_B.

L = 10 mw₀ = 6 kN/mP = 75 kN в 4 m

R_B = kN

2.Опорные реакции балокСложная

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_B.

L = 6 mP = 30 kN в 4 mw = 12 kN/m от 2 до 5 m

R_B = kN

3.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

D: 10 kN ↓F: 25 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент BG
13элемент DG

4.Ферма: метод вырезания узловСложная

B: 20 kN ↓F: 25 kN →G: 20 kN ↓H: 30 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Консоль защемлена в A. Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на расстоянии 1 m от A. Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 0,5 m от заделки A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 5 mP = 80 kN в 1 mw = 12 kN/m от 0 до 5 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

40 kN @ 6 m45 kN @ 1 m10 kN/m, 0–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Найдите наибольший прогиб δ_max в середине пролёта.

w = 4 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w. Её прогиб не должен превышать пролёт/360. Найдите наименьший момент инерции I_req, удовлетворяющий этому условию.

w = 8 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (алюминий)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 20 × 40 mm

P_cr = kN

10.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и свободна вверху. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 2 mE = 200 GPa (сталь)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Пластина 150 mm × 240 mm имеет круглое отверстие диаметром 40 mm на вертикальной оси симметрии, центр которого находится на высоте 168 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 150 mmh = 240 mmd = 40 mmцентр отверстия: y = 168 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 10 kN·m. Найдите напряжение изгиба σ_низ на нижнем крае.

b_f = 200 mmt_f = 30 mmt_w = 12 mmh_w = 260 mmM = 10 kN·m

σ_низ = MPa

13.Эффективное напряжение в грунтеСредняя

Для показанного грунтового разреза найдите поровое давление u в точке X.

z = 8 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 17 kN/m³песок: γ_sat = 20,5 kN/m³

u = kPa

14.Эффективное напряжение в грунтеСложная

Для показанного грунтового разреза найдите поровое давление u в точке X.

z = 7 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 15 kN/m³песок: γ_sat = 19 kN/m³глина: γ_sat = 17 kN/m³

u = kPa

15.Консолидационная осадкаСредняя

Слой переуплотнённой глины толщиной 4 m имеет C_c = 0,2, C_r = 0,03 и e₀ = 1. В середине слоя эффективное вертикальное напряжение равно 90 kPa , а давление предварительного уплотнения равно 130 kPa. Новое здание добавляет 170 kPa вертикального напряжения в середине слоя. Найдите осадку первичной консолидации S в mm.

H = 4 mC_c = 0,2C_r = 0,03e₀ = 1σ′₀ = 90 kPaσ′_p = 130 kPaΔσ = 170 kPa

S = mm

16.Консолидационная осадкаСложная

В лабораторном компрессионном испытании образец глины толщиной 20 mm с дренированием сверху и снизу достигает 50% консолидации за 12 min. В природе та же глина образует слой толщиной 10 m. Слой лежит на водонепроницаемой скале, а сверху песок, поэтому вода отводится только вверх. За сколько суток t природный слой достигнет 50% консолидации?

h_lab = 20 mmt_lab = 12 minH = 10 mв природе: односторонний дренаж

t = сут

17.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 3 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 3 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1,5 m находится в стенке резервуара с жидкостью (масло), его верхний край на 4 m ниже поверхности. Найдите глубину y_cp центра давления под поверхностью.

d = 4 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода (ρ = 1000 kg/m³) течёт со скоростью 1,5 m/s по горизонтальной трубе длиной 100 m с внутренним диаметром 200 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,015 и g = 9,81 m/s². Найдите перепад давления Δp на трубе в kPa.

V = 1,5 m/sL = 100 mD = 200 mmf = 0,015ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.Трение в трубах и потери напораСложная

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 150 m с внутренним диаметром 200 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,02. Уровень воды в верхнем резервуаре на 10 m выше, чем в нижнем. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 4 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 0,2) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Найдите расход Q в L/s.

Δz = 10 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 0,2K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Трапецеидальный канал (гравий) имеет ширину по дну 4 m и заложение откосов 1:1 (горизонталь:вертикаль). Вода течёт равномерно с глубиной 1,3 m. Коэффициент Маннинга n = 0,025, уклон дна S = 0,002. Найдите расход Q в m³/s.

b = 4 my = 1,3 mz = 1n = 0,025S = 0,002

Q = m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Бетонный коллектор с внутренним диаметром 375 mm (коэффициент Маннинга n = 0,013) при полном заполнении должен обеспечивать самоочищающую скорость 1 m/s. Найдите минимальный уклон S (в m/m).

D = 375 mmn = 0,013V = 1 m/s

S = m/m

23.Насосы и мощность насосаСредняя

При испытании насос подаёт 100 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 36 m, а мощность на его валу 45,3 kW. Примите g = 9,81 m/s². Найдите КПД насоса η в процентах.

Q = 100 L/sH = 36 mP_shaft = 45,3 kWg = 9,81 m/s²

η = %

24.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 60 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 6 m выше. Труба длиной 400 m имеет внутренний диаметр 200 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,015; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 8 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². Верхний бак закрыт, и воздух над водой в нём находится под избыточным давлением 300 kPa. Найдите напор H, который должен создать насос.

Q = 60 L/sΔz = 6 mL = 400 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 8p_tank = 300 kPa

H = m

25.Временная стоимость денегСредняя

Через 8 лет вам нужно €5 000. Счёт даёт 4,8 % годовых с капитализацией ежемесячной. Сколько нужно положить сегодня? Найдите приведённую стоимость PV.

FV = €5 0004,8% / 12n = 8

PV = €

26.Временная стоимость денегСложная

Кредит €200 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 30 лет под 3,6 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько процентов I будет уплачено всего за весь срок кредита?

P = €200 0003,6% / 12N = 360

I = €

27.NPV и IRRСредняя

Станок стоит €30 000 сегодня, служит 6 лет, а его эксплуатация обходится в €4 000 в год (оплата в конце каждого года). Стоимость капитала — 10 %. Найдите его эквивалентные годовые затраты EAC.

C₀ = €30 000M = €4 000n = 6r = 10%

EAC = €

28.NPV и IRRСложная

Инвестиция €10 000 приносит €2 000 в конце каждого года в течение 8 лет. Найдите её внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

C₀ = €10 000CF = €2 000n = 8

IRR = %

29.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь под стандартной нормальной кривой справа от z была равна 0,8925. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,8925

z =

30.Нормальное распределениеСложная

Диаметры отверстий D нормально распределены со средним 25,02 mm и стандартным отклонением 0,02 mm. Диаметры валов d независимы и нормально распределены со средним 25 mm и стандартным отклонением 0,01 mm. Случайно выбранный вал подходит, если D − d > 0. Найдите вероятность P того, что он подходит. Округлите z до двух знаков после запятой.

отверстие: μ = 25,02 mm, σ = 0,02 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm

P =

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 40 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Равнодействующая треугольной нагрузки

W = ½·6·10 = 30 kN

x̄ = L/3 = 3,333 m

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 30·3,333 + 75·4

R_B = 40 kN

R_A = 105 − 40 = 65 kN

Ответ

R_B = 40 kN

2.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 41 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 12·3 = 36 kN, приложена в x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 30·4 + 12·3·3,5

R_B = 246/6 = 41 kN

ΣF_y = 0: R_A = 66 − 41 = 25 kN

Ответ

R_B = 41 kN

3.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 28,33 kN (T), BC: 23,33 kN (T), CD: 23,33 kN (T), DE: 18,33 kN (T), FG: 28,33 kN (C), GH: 18,33 kN (C), AF: 35,42 kN (C), HE: 22,92 kN (C), BF: 3,75 kN (C), CG: 0, DH: 13,75 kN (T), BG: 6,25 kN (T), DG: 6,25 kN (C)

Ответ

Нулевой элемент: CG

4.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент DH

Узел D

CD и DE лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 51,25 kN (T), BC: 51,25 kN (T), CD: 43,75 kN (T), DE: 43,75 kN (T), FG: 57,5 kN (C), GH: 57,5 kN (C), AF: 37,12 kN (C), HE: 61,87 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 20 kN (C), DH: 0, FC: 8,839 kN (T), HC: 19,45 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: DH

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = −161,5 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Оставляем часть со свободным концом

P: −80·0,5 = −40 kN·m

w: −12·4,5²/2 = −121,5 kN·m

M_x = −40 − 121,5 = −161,5 kN·m

Ответ

M_x = −161,5 kN·m

Знак минус означает, что растянута верхняя грань.

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: B (x = 1 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 53 kN, R₂ = 82 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 48 kN·m, M_C = 41, M_D = 24, M_E = −3, M_F = −40, M_G = 0

Ответ

Отметка B: M_B = 48 kN·m

7.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 35,23 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 5000 mm

EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Прогиб

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·5000⁴/(384·9,24 × 10¹¹) = 35,23 mm

Ответ

δ_max = 35,23 mm

8.Прогиб балки

Ответ: I_req = 66,96 × 10⁶ mm⁴

Ограничение прогиба

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Требуемый момент инерции

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·8·5000⁴/(384·70000·13,89) = 6,696 × 10⁷ mm⁴

I_req = 66,96 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_req = 66,96 × 10⁶ mm⁴

9.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 23,39 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·26667/1500² = 23395 N = 23,39 kN

Ответ

P_cr = 23,39 kN

10.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 19,28 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 2·2000 = 4000 mm

KL/r = 4000/12,5 = 320

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/320² = 19,28 MPa

Ответ

σ_cr = 19,28 MPa

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 169,7 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (36000·120 − 1257·168)/(36000 − 1257) = 118,3 mm

Целая пластина относительно ȳ

150·240³/12 + 36000·1,736² = 172,9 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

π·40⁴/64 + 1257·49,74² = 3,234 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 169,7 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 169,7 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_низ = 36,84 MPa

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 200·30 = 6000 mm², y_f = 260 + 30/2 = 275 mm

стенка: A_w = 12·260 = 3120 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·275 + 3120·130)/9120 = 225,4 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 200·30³/12 + 6000·(275 − 225,4)² = 1,521 × 10⁷ mm⁴

стенка: 12·260³/12 + 3120·(130 − 225,4)² = 4,597 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,521 × 10⁷ + 4,597 × 10⁷ = 6,118 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Нижний край на расстоянии ȳ от оси.

y = 225,4 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·225,4/6,118 × 10⁷ = 36,84 MPa

Ответ

σ_низ = 36,84 MPa

13.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: u = 58,86 kPa

Эффективное напряжение (Терцаги): скелет грунта воспринимает σ′ = σ − u. Полное напряжение σ — это вес всего, что над точкой, Σγ·h, с удельным весом сухого грунта выше уровня грунтовых вод и водонасыщенного — ниже. Ниже уровня грунтовых вод поровое давление гидростатическое: u = γ_w·(глубина ниже уровня грунтовых вод).

Поровое давление

Давление воды растёт с глубиной ниже уровня грунтовых вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·6 = 58,86 kPa

Ответ

u = 58,86 kPa

14.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: u = 58,86 kPa

Поровое давление

Давление воды растёт с глубиной ниже уровня грунтовых вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·6 = 58,86 kPa

Ответ

u = 58,86 kPa

15.Консолидационная осадка

Ответ: S = 130 mm

Первичная консолидация слоя глины толщиной H по эффективному напряжению в середине слоя: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально уплотнённая глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переуплотнённая глина повторно сжимается по C_r до давления предварительного уплотнения σ′_p и следует C_c только выше него. Время: t = T_v·H_dr²/c_v, где путь фильтрации H_dr равен H/2, когда вода может уходить вверх и вниз, и H, когда дренирует только одна сторона.

Сравните с давлением предварительного уплотнения

σ′_f = 90 + 170 = 260 kPa > 130 kPa

Осадка

Повторное сжатие до σ′_p, первичное сжатие за ним.

S = 0,03·4/(1 + 1)·log₁₀(130/90) + 0,2·4/(1 + 1)·log₁₀(260/130)

S = 9,582 + 120,4 = 130 mm

Ответ

S = 130 mm

16.Консолидационная осадка

Ответ: t = 8333 сут

Пути фильтрации

H_dr,lab = 20/2 = 10 mm = 0,01 m

H_dr,field = 10 m

Пересчитайте время

t = T_v·H_dr²/c_v с одинаковыми T_v и c_v в лаборатории и в природе.

t_field = 12·(10/0,01)² = 1,2 × 10⁷ min

t_field = 1,2 × 10⁷/1440 = 8333 сут

Ответ

t = 8333 сут

17.Гидростатическое давление

Ответ: F = 104,2 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 3 + 2,5/2 = 4,25 m

A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,25·2,5 = 104,2 kN

Ответ

F = 104,2 kN

18.Гидростатическое давление

Ответ: y_cp = 5,349 m

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 4 + 2,5/2 = 5,25 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·5,25·3,75 = 170 kN

Центр давления

Давление растёт с глубиной, поэтому равнодействующая приложена ниже центра тяжести.

I_c = b·H³/12 = 1,5·2,5³/12 = 1,953 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 5,25 + 1,953/(5,25·3,75) = 5,349 m

Ответ

y_cp = 5,349 m

19.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δp = 8,437 kPa

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Потеря напора

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(100/0,2)·1,5²/(2·9,81) = 0,8601 m

Перепад давления

Труба горизонтальна, а скорость не меняется, поэтому уравнение энергии сводится к Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·0,8601 = 8437 Pa = 8,437 kPa

Ответ

Δp = 8,437 kPa

20.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Q = 104 L/s

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,02·150/0,2 = 15

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,9

Уравнение энергии

Обе поверхности открыты в атмосферу и практически неподвижны, поэтому весь перепад Δz теряется в трубе.

10 = (15 + 2,9)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·10/17,9) = 3,311 m/s

Расход

Q = V·π·D²/4 = 3,311·0,03142 = 0,104 m³/s = 104 L/s

Ответ

Q = 104 L/s

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 11,47 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (4 + 1·1,3)·1,3 = 6,89 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·1,3·√(1 + 1²) = 7,677 m

R = A/P = 0,8975 m

Скорость

V = (1/0,025)·0,8975^2/3·0,002^1/2 = 1,664 m/s

Расход

Q = A·V = 6,89·1,664 = 11,47 m³/s

Ответ

Q = 11,47 m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,003968 m/m

Гидравлический радиус

R = D/4 = 0,375/4 = 0,09375 m

Выразите S из формулы Маннинга

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·1/0,2064)² = 0,003968

Ответ

S = 0,003968

Это понижение на 3,968 m на километр.

23.Насосы и мощность насоса

Ответ: η = 77,96 %

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,1·36 = 35,32 kW

КПД

η = P_h/P_shaft = 35,32/45,3 = 77,96%

Ответ

η = 77,96%

24.Насосы и мощность насоса

Ответ: H = 43,65 m

Скорость

V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s

V²/(2g) = 0,1859 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 8)·0,1859 = 7,065 m

Пьезометрический напор

p/(ρ·g) = 300000/(1000·9,81) = 30,58 m

Напор насоса

Обе поверхности практически неподвижны, поэтому скоростного напора нет.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 6 + 30,58 + 7,065 = 43,65 m

Ответ

H = 43,65 m

25.Временная стоимость денег

Ответ: PV = 3408 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·8 = 96

Приведённая стоимость

PV = FV/(1 + i)^N = 5 000/1,467 = €3 408,27

Ответ

PV = €3 408,27

26.Временная стоимость денег

Ответ: I = 127345 €

Ежемесячный платёж

i = 0,003, N = 360

A = 200 000·0,003/(1 − (1 + 0,003)⁻³⁶⁰) = €909,29

Всего процентов

I = N·A − P = 360·909,3 − 200 000 = €127 344,65

Ответ

I = €127 344,65

27.NPV и IRR

Ответ: EAC = 10888 €

Эквивалентные годовые затраты: распределите приведённую стоимость всех затрат по сроку службы в виде равной ежегодной суммы (аннуитета): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Это позволяет сравнивать станки с разным сроком службы.

Коэффициент аннуитета

(1 − 1,1⁻⁶)/0,1 = 4,355

Цена покупки в пересчёте на год

30 000/4,355 = 6 888,22

EAC

EAC = 6 888,22 + 4 000 = €10 888,22

Ответ

EAC = €10 888,22

28.NPV и IRR

Ответ: IRR = 11,81 %

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Требуемый коэффициент аннуитета

(1 − (1 + i)⁻⁸)/i = 10 000/2 000 = 5

Находим ставку

Коэффициент аннуитета уменьшается с ростом ставки; найдите интервал для ставки и сужайте его.

i = 11%: 5,146

i = 12%: 4,968

IRR = 11,81%

Ответ

IRR = 11,81%

29.Нормальное распределение

Ответ: z = −1,24

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = 1 − 0,8925 = 0,1075

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,1075 внутри таблицы и считайте z.

z = −1,24

Ответ

z = −1,24

30.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,8133

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение разности

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,02236 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,02)/0,02236 = −0,89

Вероятность

P = 1 − Φ(−0,89) = 0,8133

Ответ

P = 0,8133

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. Экзамен FE exam проводит NCEES; эта организация не связана с ExamProblems и не поддерживает его.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil