Подготовка к экзамену FE Civil: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (30) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Эффективное напряжение в грунте

Полное напряжение: σ = Σγ_i·h_i
Поровое давление: u = γ_w·(z − z_w)
Эффективное напряжение: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолидационная осадка

Нормально уплотнённый грунт: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Конечное напряжение: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переуплотнённый грунт, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переуплотнённый грунт, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коэффициент переуплотнения: OCR = σ′_p/σ′₀
Время консолидации: t = T_v·H_dr²/c_v
Путь фильтрации: H_dr = H/2 (двусторонний дренаж), H (односторонний дренаж)
Факторы времени: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_A.

L = 5 mP₁ = 10 kN в 1 mP₂ = 15 kN в 3 m

R_A = kN

2.Опорные реакции балокСложная

L = 6 mP = 50 kN в 5 mw = 5 kN/m от 1 до 6 m

R_A = kN

3.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

D: 35 kN ↓G: 10 kN ↓H: 40 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC

4.Ферма: метод вырезания узловСложная

B: 10 kN ↓C: 40 kN ↓D: 35 kN ↓F: 35 kN →

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

20 kN @ 4 m35 kN @ 5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту и сосредоточенной силой P. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 6 mP = 15 kN в 4,5 mw = 5 kN/m от 0 до 6 m

M_max = kN·m

7.Прогиб балкиСредняя

Консоль нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на свободном конце. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб δ свободного конца.

P = 17 kNw = 10 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (алюминий)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая деревянная балка прямоугольного сечения шириной 125 mm нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Её прогиб в середине пролёта не должен превышать пролёт/360. Найдите наименьшую высоту h_req сечения.

w = 2 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)b = 125 mm

h_req = mm

9.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и свободна вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (алюминий)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена с обоих концов. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 3 mE = 70 GPa (алюминий)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Симметричный двутавр имеет полки шириной 140 mm и толщиной 12 mm, полную высоту 280 mm и стенку толщиной 12 mm. Найдите его момент инерции I_x относительно горизонтальной центральной оси x.

B = 140 mmH = 280 mmt_f = 12 mmt_w = 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 30 kN·m. Найдите величину напряжения изгиба σ_верх на верхнем крае.

b_f = 180 mmt_f = 15 mmt_w = 20 mmh_w = 280 mmM = 30 kN·m

σ_верх = MPa

13.Эффективное напряжение в грунтеСредняя

Для показанного грунтового разреза найдите вертикальное эффективное напряжение σ′ в точке X.

z = 8 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 15,5 kN/m³песок: γ_sat = 20 kN/m³

σ′ = kPa

14.Эффективное напряжение в грунтеСложная

Для показанного грунтового разреза найдите полное вертикальное напряжение σ в точке X.

z = 7 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 16 kN/m³песок: γ_sat = 18,5 kN/m³глина: γ_sat = 18,5 kN/m³

σ = kPa

15.Консолидационная осадкаСредняя

Слой переуплотнённой глины толщиной 5 m имеет C_c = 0,25, C_r = 0,04 и e₀ = 1,2. В середине слоя эффективное вертикальное напряжение равно 110 kPa , а коэффициент переуплотнения OCR = 3. Новое здание добавляет 30 kPa вертикального напряжения в середине слоя. Найдите осадку первичной консолидации S в mm.

H = 5 mC_c = 0,25C_r = 0,04e₀ = 1,2σ′₀ = 110 kPaOCR = 3Δσ = 30 kPa

S = mm

16.Консолидационная осадкаСложная

Слой глины толщиной 9,5 m имеет коэффициент консолидации c_v = 3 m²/year. Слой лежит на водонепроницаемой скале, а сверху песок, поэтому вода отводится только вверх. Для средней степени консолидации 80% фактор времени T_v = 0,567. За сколько лет t слой достигнет 80% консолидации?

H = 9,5 mc_v = 3 m²/годU = 80%T_v = 0,567односторонний дренаж

t = годы

17.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1,5 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 1 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 1 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 2 m находится в стенке резервуара с жидкостью (морская вода), его верхний край на 4 m ниже поверхности. Найдите глубину y_cp центра давления под поверхностью.

d = 4 mH = 1 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода (ρ = 1000 kg/m³) течёт со скоростью 1,4 m/s по горизонтальной трубе длиной 150 m с внутренним диаметром 250 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,028 и g = 9,81 m/s². Найдите перепад давления Δp на трубе в kPa.

V = 1,4 m/sL = 150 mD = 250 mmf = 0,028ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.Трение в трубах и потери напораСложная

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 150 m с внутренним диаметром 150 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,018. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 3 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 10) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Какая разность уровней воды Δz между резервуарами даёт расход 25 L/s?

Q = 25 L/sL = 150 mD = 150 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 10K_exit = 1,0

Δz = m

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Трапецеидальный канал (чистый грунт) имеет ширину по дну 5,5 m и заложение откосов 2:1 (горизонталь:вертикаль). Вода течёт равномерно с глубиной 0,5 m. Коэффициент Маннинга n = 0,022, уклон дна S = 0,003. Найдите расход Q в m³/s.

b = 5,5 my = 0,5 mz = 2n = 0,022S = 0,003

Q = m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Прямоугольный канал (кирпичная кладка) шириной 2,5 m должен пропускать 2,3 m³/s при равномерном течении с глубиной 0,8 m. Коэффициент Маннинга n = 0,015. Найдите требуемый уклон дна S (в m/m).

Q = 2,3 m³/sb = 2,5 my = 0,8 mn = 0,015

S = m/m

23.Насосы и мощность насосаСредняя

Насос с КПД 85% подаёт 20 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 14 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите необходимую мощность на валу P_shaft в kW.

Q = 20 L/sH = 14 mη = 85%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

24.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 80 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 12 m выше. Труба длиной 600 m имеет внутренний диаметр 250 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,022; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 8 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². КПД насоса 72%. Найдите мощность на валу P_shaft в kW.

Q = 80 L/sΔz = 12 mL = 600 mD = 250 mmf = 0,022ΣK = 8η = 72%

P_shaft = kW

25.Временная стоимость денегСредняя

Вы инвестируете €2 000 под номинальную ставку 4 % годовых с капитализацией ежеквартальной. Найдите стоимость FV инвестиции через 6 лет.

PV = €2 0004% / 4n = 6

FV = €

26.Временная стоимость денегСложная

Через 5 лет вам нужно €100 000. Вы откладываете одинаковую сумму в конце каждого месяца на счёт под 4,8 % годовых с ежемесячной капитализацией. Найдите ежемесячный взнос A.

FV = €100 0004,8% / 12N = 60

A = €

27.NPV и IRRСредняя

Инвестиция €30 000 даёт в конце лет с 1 по 3 такие денежные потоки: €9 000, €10 000, €14 000. Стоимость капитала — 9 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

r = 9%CF₀ = −30 000CF₁ = 9 000CF₂ = 10 000CF₃ = 14 000

NPV = €

28.NPV и IRRСложная

Проект стоит €50 000 и приносит €19 500, €22 500, €18 500 в конце лет с 1 по 3. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −50 000CF₁ = 19 500CF₂ = 22 500CF₃ = 18 500

IRR = %

29.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,9749. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,9749

z =

30.Нормальное распределениеСложная

Пусть сроки службы батареек распределены нормально со средним 500 h и стандартным отклонением 40 h. Найдите значение x, ниже которого лежат 95 % значений (95-й процентиль).

μ = 500σ = 40P = 95%

x = h

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 14 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·1 + 15·3

R_B = 55/5 = 11 kN

ΣF_y = 0: R_A = 25 − 11 = 14 kN

Ответ

R_A = 14 kN

2.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 18,75 kN

Расчётная схема

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, приложена в x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 50·5 + 5·5·3,5

R_B = 337,5/6 = 56,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 56,25 = 18,75 kN

Ответ

R_A = 18,75 kN

3.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент BF

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел B

AB и BC лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 31,67 kN (T), BC: 31,67 kN (T), CD: 81,67 kN (T), DE: 81,67 kN (T), FG: 63,33 kN (C), GH: 63,33 kN (C), AF: 39,58 kN (C), HE: 102,1 kN (C), BF: 0, CG: 10 kN (C), DH: 35 kN (T), FC: 39,58 kN (T), HC: 22,92 kN (C)

Ответ

Нулевой элемент: BF

4.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Узел G

FG и GH лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 62,5 kN (T), BC: 62,5 kN (T), CD: 57,5 kN (T), DE: 57,5 kN (T), FG: 80 kN (C), GH: 80 kN (C), AF: 38,89 kN (C), HE: 81,32 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 0, DH: 35 kN (T), FC: 24,75 kN (T), HC: 31,82 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: CG

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: E (x = 4 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 12,5 kN, R₂ = 42,5 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 12,5, M_C = 25, M_D = 37,5, M_E = 50 kN·m, M_F = 42,5, M_G = 0

Ответ

Отметка E: M_E = 50 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 35,16 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, приложена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 15·4,5 + 5·6·3

R_B = 157,5/6 = 26,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 26,25 = 18,75 kN

Где V = 0?

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 18,75/5 = 3,75 m

Наибольший момент

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = 18,75·3,75 − 5·3,75²/2 = 35,16 kN·m

Ответ

M_max = 35,16 kN·m

Он достигается при x = 3,75 m от A.

7.Прогиб балки

Ответ: δ = 43,24 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 17000 N, w = 10 N/mm, L = 3000 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δ_P = PL³/(3EI) = 17000·3000³/(3·5,88 × 10¹²) = 26,02 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 10·3000⁴/(8·5,88 × 10¹²) = 17,22 mm

Сложите

δ = 26,02 + 17,22 = 43,24 mm

Ответ

δ = 43,24 mm

8.Прогиб балки

Ответ: h_req = 195,4 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

Ограничение прогиба

δ_allow = L/360 = 4500/360 = 12,5 mm

Требуемый момент инерции

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·4500⁴/(384·11000·12,5) = 7,766 × 10⁷ mm⁴

Требуемая высота

bh³/12 = I_req → h = (12·7,766 × 10⁷/125)^1/3 = 195,4 mm

Ответ

h_req = 195,4 mm

На практике выберите ближайшую большую стандартную высоту.

9.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 6,867 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Расчётная длина

KL = 2·1000 = 2000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/2000² = 6867 N = 6,867 kN

Ответ

P_cr = 6,867 kN

10.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 69,09 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

KL/r = 1500/15 = 100

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69,09 MPa

Ответ

σ_cr = 69,09 MPa

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 77,15 × 10⁶ mm⁴

Момент инерции сечения: для прямоугольника относительно его собственной центральной оси I = bh³/12, а относительно основания bh³/3 (теорема о параллельном переносе осей I = I_c + A·d²). Отверстие учитывают, вычитая его I, если обе части отнесены к одной и той же оси. Момент сопротивления сечения S = I/c, где c — расстояние до крайнего волокна.

Наружный прямоугольник минус два боковых выреза

Оба выреза вместе имеют ширину (B − t_w) и высоту h_w = H − 2t_f и отнесены к оси x.

h_w = 280 − 2·12 = 256 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (140·280³ − 128·256³)/12

I_x = 7,715 × 10⁷ mm⁴ = 77,15 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 77,15 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_верх = 42,09 MPa

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 180·15 = 2700 mm², y_f = 280 + 15/2 = 287,5 mm

стенка: A_w = 20·280 = 5600 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2700·287,5 + 5600·140)/8300 = 188 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 180·15³/12 + 2700·(287,5 − 188)² = 2,679 × 10⁷ mm⁴

стенка: 20·280³/12 + 5600·(140 − 188)² = 4,948 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,679 × 10⁷ + 4,948 × 10⁷ = 7,627 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Верхний край на расстоянии h − ȳ от оси.

y = 295 − 188 = 107 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·107/7,627 × 10⁷ = 42,09 MPa

Ответ

σ_верх = 42,09 MPa

13.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: σ′ = 97,45 kPa

Эффективное напряжение (Терцаги): скелет грунта воспринимает σ′ = σ − u. Полное напряжение σ — это вес всего, что над точкой, Σγ·h, с удельным весом сухого грунта выше уровня грунтовых вод и водонасыщенного — ниже. Ниже уровня грунтовых вод поровое давление гидростатическое: u = γ_w·(глубина ниже уровня грунтовых вод).

Полное напряжение

Сложите вес каждого слоя грунта над X. Выше уровня грунтовых вод берите удельный вес сухого грунта, ниже — водонасыщенного.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15,5·3 + 20·5 = 146,5 kPa

Поровое давление

Давление воды растёт с глубиной ниже уровня грунтовых вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·5 = 49,05 kPa

Эффективное напряжение

σ′ = σ − u = 146,5 − 49,05 = 97,45 kPa

Ответ

σ′ = 97,45 kPa

14.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: σ = 124,5 kPa

Полное напряжение

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·1 + γ_sat,clay·4

σ = 16·2 + 18,5·1 + 18,5·4 = 124,5 kPa

Ответ

σ = 124,5 kPa

15.Консолидационная осадка

Ответ: S = 9,521 mm

Первичная консолидация слоя глины толщиной H по эффективному напряжению в середине слоя: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально уплотнённая глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переуплотнённая глина повторно сжимается по C_r до давления предварительного уплотнения σ′_p и следует C_c только выше него. Время: t = T_v·H_dr²/c_v, где путь фильтрации H_dr равен H/2, когда вода может уходить вверх и вниз, и H, когда дренирует только одна сторона.

Давление предварительного уплотнения

σ′_p = OCR·σ′₀ = 3·110 = 330 kPa

Сравните с давлением предварительного уплотнения

σ′_f = 110 + 30 = 140 kPa ≤ 330 kPa

Осадка

Глина остаётся на линии повторного сжатия.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,04·5/(1 + 1,2)·log₁₀(140/110) = 9,521 mm

Ответ

S = 9,521 mm

16.Консолидационная осадка

Ответ: t = 17,06 годы

Путь фильтрации

H_dr = H = 9,5 m

Время

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,567·9,5²/3 = 17,06 годы

Ответ

t = 17,06 годы

17.Гидростатическое давление

Ответ: F = 38,63 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1 + 1,5/2 = 1,75 m

A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,75·2,25 = 38,63 kN

Ответ

F = 38,63 kN

18.Гидростатическое давление

Ответ: y_cp = 4,519 m

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4,5 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·4,5·2 = 90,5 kN

Центр давления

Давление растёт с глубиной, поэтому равнодействующая приложена ниже центра тяжести.

I_c = b·H³/12 = 2·1³/12 = 0,1667 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4,5 + 0,1667/(4,5·2) = 4,519 m

Ответ

y_cp = 4,519 m

19.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δp = 16,46 kPa

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Потеря напора

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(150/0,25)·1,4²/(2·9,81) = 1,678 m

Перепад давления

Труба горизонтальна, а скорость не меняется, поэтому уравнение энергии сводится к Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·1,678 = 16464 Pa = 16,46 kPa

Ответ

Δp = 16,46 kPa

20.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δz = 3,101 m

Скорость

V = Q/A = 0,025/0,01767 = 1,415 m/s

V²/(2g) = 0,102 m

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,018·150/0,15 = 18

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 + 1,0 = 12,4

Полная потеря напора

h_f = 18·0,102 = 1,836 m

h_m = 12,4·0,102 = 1,265 m

Δz = h_f + h_m = 3,101 m

Ответ

Δz = 3,101 m

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 4,539 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (5,5 + 2·0,5)·0,5 = 3,25 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5,5 + 2·0,5·√(1 + 2²) = 7,736 m

R = A/P = 0,4201 m

Скорость

V = (1/0,022)·0,4201^2/3·0,003^1/2 = 1,397 m/s

Расход

Q = A·V = 3,25·1,397 = 4,539 m³/s

Ответ

Q = 4,539 m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,0007749 m/m

Геометрия

A = b·y = 2,5·0,8 = 2 m²

P = b + 2y = 2,5 + 2·0,8 = 4,1 m

R = A/P = 0,4878 m

Выразите S из формулы Маннинга

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,015·2,3/(2·0,6197) = 0,02784

S = 0,02784² = 0,0007749

Ответ

S = 0,0007749

Это понижение на 0,7749 m на километр.

23.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_shaft = 3,232 kW

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·14 = 2,747 kW

Мощность на валу

P_shaft = P_h/η = 2,747/0,85 = 3,232 kW

Ответ

P_shaft = 3,232 kW

24.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_shaft = 22,05 kW

Скорость

V = Q/A = 0,08/0,04909 = 1,63 m/s

V²/(2g) = 0,1354 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (52,8 + 8)·0,1354 = 8,231 m

Напор насоса

H = Δz + h_L = 12 + 8,231 = 20,23 m

Мощность на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,08·20,23/0,72 = 22,05 kW

Ответ

P_shaft = 22,05 kW

25.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 2539 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = r/m = 0,04/4 = 0,01

N = m·n = 4·6 = 24

Будущая стоимость

FV = 2 000·(1 + 0,01)²⁴ = 2 000·1,27 = €2 539,47

Ответ

FV = €2 539,47

26.Временная стоимость денег

Ответ: A = 1478 €

Месячная ставка и число взносов

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·5 = 60

Взнос

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 100 000·0,004/(1,271 − 1) = €1 477,97

Ответ

A = €1 477,97

27.NPV и IRR

Ответ: NPV = −2516 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость каждого потока

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,09)¹ = 9 000/1,09 = 8 256,88

CF₂/(1 + 0,09)² = 10 000/1,188 = 8 416,80

CF₃/(1 + 0,09)³ = 14 000/1,295 = 10 810,57

Сложите

NPV = €−2 515,75

Ответ

NPV = €−2 515,75

NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.

28.NPV и IRR

Ответ: IRR = 10,25 %

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(10%) = 221,64

NPV(15%) = −3 866,20

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 10 + 5·221,64/(221,64 − (−3 866,20)) = 10,27%

точно: NPV(10,25%) = 0 → IRR = 10,25%

Ответ

IRR = 10,25%

29.Нормальное распределение

Ответ: z = 2,24

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = (1 + 0,9749)/2 = 0,9875

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,9875 внутри таблицы и считайте z.

z = 2,24

Ответ

z = 2,24

30.Нормальное распределение

Ответ: x = 565,8 h

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

Обратно к x

x = 500 + 1,645·40 = 565,8 h

Ответ

x = 565,8 h

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. Экзамен FE exam проводит NCEES; эта организация не связана с ExamProblems и не поддерживает его.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil