Подготовка к экзамену FE Civil: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (30) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Эффективное напряжение в грунте

Полное напряжение: σ = Σγ_i·h_i
Поровое давление: u = γ_w·(z − z_w)
Эффективное напряжение: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолидационная осадка

Нормально уплотнённый грунт: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Конечное напряжение: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переуплотнённый грунт, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переуплотнённый грунт, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коэффициент переуплотнения: OCR = σ′_p/σ′₀
Время консолидации: t = T_v·H_dr²/c_v
Путь фильтрации: H_dr = H/2 (двусторонний дренаж), H (односторонний дренаж)
Факторы времени: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_B.

L = 6 mP₁ = 15 kN в 2 mP₂ = 15 kN в 3,5 m

R_B = kN

2.Опорные реакции балокСложная

L = 10 mP = 25 kN в 7 mw = 3 kN/m от 5 до 7 m

R_B = kN

3.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AB в стержне AB. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 5 mвысота = 2 mB на расстоянии 1 m от Aвертикальная нагрузка = 25 kN

F_AB = kN

4.Ферма: метод вырезания узловСложная

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

D: 30 kN ↓G: 15 kN ↓H: 25 kN ←

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 1,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 8 mw = 2 kN/m от 0 до 8 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

25 kN @ 12 m50 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Прогиб балкиСредняя

Консоль длиной L защемлена в A и нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии a = 1 m от A. Найдите прогиб δ_B свободного конца B.

P = 5 kNa = 1 mL = 5 mE = 70 GPa (алюминий)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

8.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w. Её прогиб не должен превышать пролёт/360. Найдите наименьший момент инерции I_req, удовлетворяющий этому условию.

w = 8 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (сталь)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 25 × 100 mm

P_cr = kN

10.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и свободна вверху. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 1 mE = 200 GPa (сталь)d = 25 mm

σ_cr = MPa

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Пластина 150 mm × 300 mm имеет круглое отверстие диаметром 60 mm на вертикальной оси симметрии, центр которого находится на высоте 90 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 150 mmh = 300 mmd = 60 mmцентр отверстия: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Пластина 120 mm × 200 mm имеет прямоугольный вырез шириной 30 mm и высотой 20 mm, расположенный на вертикальной оси симметрии, а его центр находится на высоте 60 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 120 mmh = 200 mmвырез: 30 × 20 mmцентр отверстия: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.Эффективное напряжение в грунтеСредняя

Для показанного грунтового разреза найдите вертикальное эффективное напряжение σ′ в точке X.

z = 7 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 16,5 kN/m³песок: γ_sat = 19,5 kN/m³

σ′ = kPa

14.Эффективное напряжение в грунтеСложная

Для показанного грунтового разреза найдите поровое давление u в точке X.

z = 8 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 15 kN/m³песок: γ_sat = 19 kN/m³глина: γ_sat = 17 kN/m³

u = kPa

15.Консолидационная осадкаСредняя

Слой переуплотнённой глины толщиной 7 m имеет C_c = 0,35, C_r = 0,05 и e₀ = 0,9. В середине слоя эффективное вертикальное напряжение равно 50 kPa , а давление предварительного уплотнения равно 130 kPa. Новое здание добавляет 30 kPa вертикального напряжения в середине слоя. Найдите осадку первичной консолидации S в mm.

H = 7 mC_c = 0,35C_r = 0,05e₀ = 0,9σ′₀ = 50 kPaσ′_p = 130 kPaΔσ = 30 kPa

S = mm

16.Консолидационная осадкаСложная

В лабораторном компрессионном испытании образец глины толщиной 25 mm с дренированием сверху и снизу достигает 50% консолидации за 15 min. В природе та же глина образует слой толщиной 3,5 m. Слой лежит на водонепроницаемой скале, а сверху песок, поэтому вода отводится только вверх. За сколько суток t природный слой достигнет 50% консолидации?

h_lab = 25 mmt_lab = 15 minH = 3,5 mв природе: односторонний дренаж

t = сут

17.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1,5 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 1 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 1 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1,5 m находится в стенке резервуара с жидкостью (морская вода), его верхний край на 0,5 m ниже поверхности. Найдите глубину y_cp центра давления под поверхностью.

d = 0,5 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода течёт со средней скоростью 2,5 m/s по трубе длиной 1000 m с внутренним диаметром 250 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,025 и g = 9,81 m/s². Найдите потерю напора на трение h_f.

V = 2,5 m/sL = 1000 mD = 250 mmf = 0,025g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Трение в трубах и потери напораСложная

Труба длиной 100 m с внутренним диаметром 250 mm (коэффициент трения Дарси f = 0,015) отходит от открытого резервуара и выпускает воду свободной струёй в атмосферу. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 3 колена (K = 0,3 каждое) и задвижка (K = 5). Примите g = 9,81 m/s². На какой высоте H над выходом трубы должна находиться поверхность воды в резервуаре, чтобы расход был 100 L/s?

Q = 100 L/sL = 100 mD = 250 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 5

H = m

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Бетонный ливневый коллектор с внутренним диаметром 450 mm заполнен ровно полностью (течёт как открытое русло, не под напором). Коэффициент Маннинга n = 0,013, уклон S = 0,005. Найдите расход Q в m³/s.

D = 450 mmn = 0,013S = 0,005

Q = m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Трапецеидальный канал (необработанный бетон) с шириной по дну 2 m и заложением откосов 1,5:1 (горизонталь:вертикаль) должен пропускать 6,7 m³/s при равномерном течении с глубиной 0,9 m. Коэффициент Маннинга n = 0,014. Найдите требуемый уклон дна S (в m/m).

Q = 6,7 m³/sb = 2 my = 0,9 mz = 1,5n = 0,014

S = m/m

23.Насосы и мощность насосаСредняя

При испытании насос подаёт 50 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 54 m, а мощность на его валу 33,1 kW. Примите g = 9,81 m/s². Найдите КПД насоса η в процентах.

Q = 50 L/sH = 54 mP_shaft = 33,1 kWg = 9,81 m/s²

η = %

24.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 50 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 12 m выше. Труба длиной 600 m имеет внутренний диаметр 150 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,018; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 6 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². КПД насоса 75%. Найдите мощность на валу P_shaft в kW.

Q = 50 L/sΔz = 12 mL = 600 mD = 150 mmf = 0,018ΣK = 6η = 75%

P_shaft = kW

25.Временная стоимость денегСредняя

Через 7 лет вам нужно €20 000. Счёт даёт 3 % годовых с капитализацией ежеквартальной. Сколько нужно положить сегодня? Найдите приведённую стоимость PV.

FV = €20 0003% / 4n = 7

PV = €

26.Временная стоимость денегСложная

Ипотечный кредит €300 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 20 лет под 4,8 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько ещё остаётся должен заёмщик сразу после платежа в конце года 6? Найдите остаток долга B.

P = €300 0004,8% / 12N = 240k = 72

B = €

27.NPV и IRRСредняя

Проект стоит €250 000 сегодня. Он приносит €16 000 в конце первого года, а затем денежный поток растёт на 4 % в год бессрочно. Стоимость капитала — 12 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €250 000CF₁ = €16 000g = 4%r = 12%

NPV = €

28.NPV и IRRСложная

Проект стоит €10 000 и приносит €5 000, €3 500, €4 500 в конце годов с 1-го по 3-й. Денежные потоки можно реинвестировать по стоимости капитала 6 %. Найдите модифицированную внутреннюю норму доходности MIRR в процентах.

r = 6%CF₀ = −10 000CF₁ = 5 000CF₂ = 3 500CF₃ = 4 500

MIRR = %

29.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,8638. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,8638

z =

30.Нормальное распределениеСложная

Распределение «результаты IQ-тестов» нормальное: среднее 100 баллов, стандартное отклонение 15 баллов. Перетащите границу так, чтобы закрашенные нижние 15% были слева от неё. Найдите границу x.

μ = 100 балловσ = 15 баллов15%

x = баллов

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 13,75 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 15·2 + 15·3,5

R_B = 82,5/6 = 13,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 13,75 = 16,25 kN

Ответ

R_B = 13,75 kN

2.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 21,1 kN

Расчётная схема

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 3·2 = 6 kN, приложена в x̄ = 6 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 25·7 + 3·2·6

R_B = 211/10 = 21,1 kN

ΣF_y = 0: R_A = 31 − 21,1 = 9,9 kN

Ответ

R_B = 21,1 kN

3.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AB = −22,36 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 25·1 → C_y = 5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 5 = 20 kN

Узел A

Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.

sin α = 2/2,236 = 0,8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −20/0,8944 = −22,36 kN

Ответ

F_AB = −22,36 kN (сжатие)

4.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент BF

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел B

AB и BC лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 7,5 kN (C), BC: 7,5 kN (C), CD: 16,25 kN (T), DE: 16,25 kN (T), FG: 35 kN (C), GH: 35 kN (C), AF: 29,17 kN (C), HE: 27,08 kN (C), BF: 0, CG: 15 kN (C), DH: 30 kN (T), FC: 29,17 kN (T), HC: 10,42 kN (C)

Ответ

Нулевой элемент: BF

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 9,75 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN, приложена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 2·8·4

R_B = 64/8 = 8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 16 − 8 = 8 kN

Рассеките в x = 1,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 8·1,5 − 2·1,5·0,75 = 9,75 kN·m

Ответ

M_x = 9,75 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: E (x = 8 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 25 kN, R₂ = 50 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 50, M_C = 0, M_D = −50, M_E = −100 kN·m, M_F = −50, M_G = 0

Ответ

Отметка E: M_E = −100 kN·m

7.Прогиб балки

Ответ: δ_B = 1,042 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 5000 N, a = 1000 mm, L = 5000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Прогиб свободного конца

Прогиб под силой плюс угол поворота под силой, умноженный на оставшуюся длину.

δ_P = Pa³/(3EI) = 0,1488 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,0002232 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 1,042 mm

Ответ

δ_B = 1,042 mm

8.Прогиб балки

Ответ: I_req = 1,5 × 10⁶ mm⁴

Ограничение прогиба

δ_allow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

Требуемый момент инерции

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·8·2000⁴/(384·200000·5,556) = 1,5 × 10⁶ mm⁴

I_req = 1,5 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_req = 1,5 × 10⁶ mm⁴

9.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 233,1 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·130208/1050² = 233126 N = 233,1 kN

Ответ

P_cr = 233,1 kN

10.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 19,28 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 2·1000 = 2000 mm

KL/r = 2000/6,25 = 320

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/320² = 19,28 MPa

Ответ

σ_cr = 19,28 MPa

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 326 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (45000·150 − 2827·90)/(45000 − 2827) = 154 mm

Целая пластина относительно ȳ

150·300³/12 + 45000·−4,023² = 338,2 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

π·60⁴/64 + 2827·−64,02² = 12,23 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 326 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 326 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 79 × 10⁶ mm⁴

Центр тяжести

ȳ = (24000·100 − 600·60)/(24000 − 600) = 101 mm

Целая пластина относительно ȳ

120·200³/12 + 24000·−1,026² = 80,03 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

30·20³/12 + 600·−41,03² = 1,03 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 79 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 79 × 10⁶ mm⁴

13.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: σ′ = 88,26 kPa

Эффективное напряжение (Терцаги): скелет грунта воспринимает σ′ = σ − u. Полное напряжение σ — это вес всего, что над точкой, Σγ·h, с удельным весом сухого грунта выше уровня грунтовых вод и водонасыщенного — ниже. Ниже уровня грунтовых вод поровое давление гидростатическое: u = γ_w·(глубина ниже уровня грунтовых вод).

Полное напряжение

Сложите вес каждого слоя грунта над X. Выше уровня грунтовых вод берите удельный вес сухого грунта, ниже — водонасыщенного.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16,5·3 + 19,5·4 = 127,5 kPa

Поровое давление

Давление воды растёт с глубиной ниже уровня грунтовых вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·4 = 39,24 kPa

Эффективное напряжение

σ′ = σ − u = 127,5 − 39,24 = 88,26 kPa

Ответ

σ′ = 88,26 kPa

14.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: u = 49,05 kPa

Поровое давление

Давление воды растёт с глубиной ниже уровня грунтовых вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·5 = 49,05 kPa

Ответ

u = 49,05 kPa

15.Консолидационная осадка

Ответ: S = 37,6 mm

Первичная консолидация слоя глины толщиной H по эффективному напряжению в середине слоя: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально уплотнённая глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переуплотнённая глина повторно сжимается по C_r до давления предварительного уплотнения σ′_p и следует C_c только выше него. Время: t = T_v·H_dr²/c_v, где путь фильтрации H_dr равен H/2, когда вода может уходить вверх и вниз, и H, когда дренирует только одна сторона.

Сравните с давлением предварительного уплотнения

σ′_f = 50 + 30 = 80 kPa ≤ 130 kPa

Осадка

Глина остаётся на линии повторного сжатия.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,05·7/(1 + 0,9)·log₁₀(80/50) = 37,6 mm

Ответ

S = 37,6 mm

16.Консолидационная осадка

Ответ: t = 816,7 сут

Пути фильтрации

H_dr,lab = 25/2 = 12,5 mm = 0,0125 m

H_dr,field = 3,5 m

Пересчитайте время

t = T_v·H_dr²/c_v с одинаковыми T_v и c_v в лаборатории и в природе.

t_field = 15·(3,5/0,0125)² = 1,176 × 10⁶ min

t_field = 1,176 × 10⁶/1440 = 816,7 сут

Ответ

t = 816,7 сут

17.Гидростатическое давление

Ответ: F = 110,4 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2,5 m

A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·4,5 = 110,4 kN

Ответ

F = 110,4 kN

18.Гидростатическое давление

Ответ: y_cp = 1,4 m

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 0,5 + 1,5/2 = 1,25 m

A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·1,25·2,25 = 28,28 kN

Центр давления

Давление растёт с глубиной, поэтому равнодействующая приложена ниже центра тяжести.

I_c = b·H³/12 = 1,5·1,5³/12 = 0,4219 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1,25 + 0,4219/(1,25·2,25) = 1,4 m

Ответ

y_cp = 1,4 m

19.Трение в трубах и потери напора

Ответ: h_f = 31,86 m

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Скоростной напор

V²/(2g) = 2,5²/(2·9,81) = 0,3186 m

Формула Дарси–Вейсбаха

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(1000/0,25)·2,5²/(2·9,81) = 31,86 m

Ответ

h_f = 31,86 m

20.Трение в трубах и потери напора

Ответ: H = 2,834 m

Скорость

V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s

V²/(2g) = 0,2115 m

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,015·100/0,25 = 6

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 = 6,4

Уравнение энергии

Выходящая струя сохраняет свой скоростной напор; это не потеря, но его нужно обеспечить.

H = (1 + 6 + 6,4)·0,2115 = 2,834 m

Ответ

H = 2,834 m

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 0,2016 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = 0,159 m², R = D/4 = 0,1125 m

Скорость

V = (1/0,013)·0,1125^2/3·0,005^1/2 = 1,268 m/s

Расход

Q = A·V = 0,159·1,268 = 0,2016 m³/s

Ответ

Q = 0,2016 m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,002025 m/m

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (2 + 1,5·0,9)·0,9 = 3,015 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2 + 2·0,9·√(1 + 1,5²) = 5,245 m

R = A/P = 0,5748 m

Выразите S из формулы Маннинга

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,014·6,7/(3,015·0,6913) = 0,045

S = 0,045² = 0,002025

Ответ

S = 0,002025

Это понижение на 2,025 m на километр.

23.Насосы и мощность насоса

Ответ: η = 80,02 %

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·54 = 26,49 kW

КПД

η = P_h/P_shaft = 26,49/33,1 = 80,02%

Ответ

η = 80,02%

24.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_shaft = 28,66 kW

Скорость

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (72 + 6)·0,408 = 31,83 m

Напор насоса

H = Δz + h_L = 12 + 31,83 = 43,83 m

Мощность на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,05·43,83/0,75 = 28,66 kW

Ответ

P_shaft = 28,66 kW

25.Временная стоимость денег

Ответ: PV = 16224 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = 0,03/4 = 0,0075

N = 4·7 = 28

Приведённая стоимость

PV = FV/(1 + i)^N = 20 000/1,233 = €16 224,39

Ответ

PV = €16 224,39

26.Временная стоимость денег

Ответ: B = 237824 €

Ежемесячный платёж

i = 0,004, N = 240

A = 300 000·0,004/(1 − (1 + 0,004)⁻²⁴⁰) = €1 946,87

Приведённая стоимость оставшихся платежей

Всё, что ещё остаётся в долге, должно быть в точности погашено оставшимися платежами.

N − k = 240 − 72 = 168

B = 1947·(1 − (1 + 0,004)⁻¹⁶⁸)/0,004 = €237 824,49

Ответ

B = €237 824,49

27.NPV и IRR

Ответ: NPV = −50000 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Стоимость денежных потоков

PV = 16 000/(0,12 − 0,04) = 200 000,00

NPV

NPV = 200 000,00 − 250 000 = −€50 000,00

Ответ

NPV = −€50 000,00

NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.

28.NPV и IRR

Ответ: MIRR = 11,41 %

Модифицированная IRR: нарастите каждое поступление до конца проекта по ставке реинвестирования (обычно по стоимости капитала), чтобы получить конечную стоимость TV. MIRR — это ставка, превращающая первоначальные инвестиции в TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Конечная стоимость поступлений

5 000·1,06² = 5 618,00

3 500·1,06¹ = 3 710,00

4 500·1,06⁰ = 4 500,00

TV = 13 828,00

MIRR

MIRR = (13 828,00/10 000)^1/3 − 1 = 11,41%

Ответ

MIRR = 11,41%

29.Нормальное распределение

Ответ: z = 1,49

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = (1 + 0,8638)/2 = 0,9319

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,9319 внутри таблицы и считайте z.

z = 1,49

Ответ

z = 1,49

30.Нормальное распределение

Ответ: x = 84,4 баллов

Площадь слева

Φ(z) = 0,15

z из таблицы

z ≈ −1,04

Возврат к исходным единицам

x = 100 − 1,04·15 = 84,4 баллов

Ответ

x = 84,4 баллов

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. Экзамен FE exam проводит NCEES; эта организация не связана с ExamProblems и не поддерживает его.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil