Подготовка к экзамену FE Civil: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (30) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Эффективное напряжение в грунте

Полное напряжение: σ = Σγ_i·h_i
Поровое давление: u = γ_w·(z − z_w)
Эффективное напряжение: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолидационная осадка

Нормально уплотнённый грунт: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Конечное напряжение: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переуплотнённый грунт, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переуплотнённый грунт, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коэффициент переуплотнения: OCR = σ′_p/σ′₀
Время консолидации: t = T_v·H_dr²/c_v
Путь фильтрации: H_dr = H/2 (двусторонний дренаж), H (односторонний дренаж)
Факторы времени: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_A.

L = 5 mP₁ = 50 kN в 1,5 mP₂ = 45 kN в 2 m

R_A = kN

2.Опорные реакции балокСложная

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. На расстоянии 1 m от A действует сила P, наклонённая под углом 45° к горизонтали, а на расстоянии 3 m от A — вертикальная сила Q. Найдите угол α между полной силой реакции в шарнире A и горизонталью.

L = 5 mP = 55 kN в 1 m, θ = 45°Q = 75 kN в 3 m

α = °

3.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

B: 40 kN ↓D: 35 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC

4.Ферма: метод вырезания узловСложная

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AC в стержне AC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 4 mвысота = 2 mB на расстоянии 1 m от Aвертикальная нагрузка = 55 kNгоризонтальная нагрузка = 30 kN ←

F_AC = kN

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена двумя сосредоточенными силами. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 10 mP₁ = 55 kN в 1 mP₂ = 60 kN в 5 m

M_max = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Балка опирается на неподвижный шарнир в A и подвижную опору в B и имеет консольный свес длиной 1 m за B до свободного конца C. Равномерно распределённая нагрузка w действует по всей длине A–C. Найдите наибольший положительный изгибающий момент M_max между опорами.

L = 9 mw = 3 kN/m от 0 до 9 mопоры при x = 0 и x = 8 m

M_max = kN·m

7.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Найдите наибольший прогиб δ_max в середине пролёта.

w = 12 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (алюминий)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии b = 2,5 m от опоры B. Найдите наибольший прогиб δ_max балки.

P = 13 kNb = 2,5 mL = 6 mE = 200 GPa (сталь)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) шарнирно оперта с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (алюминий)b × h = 20 × 50 mm

P_cr = kN

10.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 4 mE = 200 GPa (сталь)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 300 mmt_f = 25 mmt_w = 12 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Пластина 150 mm × 200 mm имеет прямоугольный вырез шириной 50 mm и высотой 50 mm, расположенный на вертикальной оси симметрии, а его центр находится на высоте 80 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 150 mmh = 200 mmвырез: 50 × 50 mmцентр отверстия: y = 80 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.Эффективное напряжение в грунтеСредняя

Для показанного грунтового разреза найдите поровое давление u в точке X.

z = 6 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 17 kN/m³песок: γ_sat = 20,5 kN/m³

u = kPa

14.Эффективное напряжение в грунтеСложная

Для показанного грунтового разреза найдите поровое давление u в точке X.

z = 7 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 16,5 kN/m³песок: γ_sat = 19 kN/m³глина: γ_sat = 17 kN/m³

u = kPa

15.Консолидационная осадкаСредняя

Слой переуплотнённой глины толщиной 7,5 m имеет C_c = 0,25, C_r = 0,03 и e₀ = 1,05. В середине слоя эффективное вертикальное напряжение равно 50 kPa , а давление предварительного уплотнения равно 110 kPa. Новое здание добавляет 25 kPa вертикального напряжения в середине слоя. Найдите осадку первичной консолидации S в mm.

H = 7,5 mC_c = 0,25C_r = 0,03e₀ = 1,05σ′₀ = 50 kPaσ′_p = 110 kPaΔσ = 25 kPa

S = mm

16.Консолидационная осадкаСложная

Слой глины толщиной 8 m имеет коэффициент консолидации c_v = 5 m²/year. Слой лежит между двумя слоями песка, поэтому вода отводится вверх и вниз. Для средней степени консолидации 60% фактор времени T_v = 0,287. За сколько лет t слой достигнет 60% консолидации?

H = 8 mc_v = 5 m²/годU = 60%T_v = 0,287двусторонний дренаж

t = годы

17.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 3 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 4 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 4 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 2 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 3 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 3 mH = 1,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода (ρ = 1000 kg/m³) течёт со скоростью 1,2 m/s по горизонтальной трубе длиной 50 m с внутренним диаметром 100 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,02 и g = 9,81 m/s². Найдите перепад давления Δp на трубе в kPa.

V = 1,2 m/sL = 50 mD = 100 mmf = 0,02ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.Трение в трубах и потери напораСложная

Труба длиной 100 m с внутренним диаметром 100 mm (коэффициент трения Дарси f = 0,025) отходит от открытого резервуара и выпускает воду свободной струёй в атмосферу. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 4 колена (K = 0,3 каждое) и задвижка (K = 2). Примите g = 9,81 m/s². На какой высоте H над выходом трубы должна находиться поверхность воды в резервуаре, чтобы расход был 8 L/s?

Q = 8 L/sL = 100 mD = 100 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 2

H = m

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Трапецеидальный канал (грунт, покрытый травой) имеет ширину по дну 6 m и заложение откосов 3:1 (горизонталь:вертикаль). Вода течёт равномерно с глубиной 2 m. Коэффициент Маннинга n = 0,03, уклон дна S = 0,0008. Найдите расход Q в m³/s.

b = 6 my = 2 mz = 3n = 0,03S = 0,0008

Q = m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Бетонный коллектор с внутренним диаметром 600 mm (коэффициент Маннинга n = 0,013) при полном заполнении должен обеспечивать самоочищающую скорость 0,9 m/s. Найдите минимальный уклон S (в m/m).

D = 600 mmn = 0,013V = 0,9 m/s

S = m/m

23.Насосы и мощность насосаСредняя

Насос с КПД 85% подаёт 25 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 64 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите необходимую мощность на валу P_shaft в kW.

Q = 25 L/sH = 64 mη = 85%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

24.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 50 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 27 m выше. Труба длиной 400 m имеет внутренний диаметр 150 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,025; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 8 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². Найдите напор H, который должен создать насос.

Q = 50 L/sΔz = 27 mL = 400 mD = 150 mmf = 0,025ΣK = 8

H = m

25.Временная стоимость денегСредняя

Через 9 лет вам нужно €10 000. Счёт даёт 5 % годовых с капитализацией ежеквартальной. Сколько нужно положить сегодня? Найдите приведённую стоимость PV.

FV = €10 0005% / 4n = 9

PV = €

26.Временная стоимость денегСложная

Ипотечный кредит €150 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 25 лет под 4,8 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько ещё остаётся должен заёмщик сразу после платежа в конце года 6? Найдите остаток долга B.

P = €150 0004,8% / 12N = 300k = 72

B = €

27.NPV и IRRСредняя

Проект стоит €250 000 сегодня. Он приносит €19 000 в конце первого года, а затем денежный поток растёт на 4 % в год бессрочно. Стоимость капитала — 11 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €250 000CF₁ = €19 000g = 4%r = 11%

NPV = €

28.NPV и IRRСложная

Проект стоит €25 000 и приносит €8 000, €11 000, €9 500, €8 000 в конце годов с 1-го по 4-й. Денежные потоки можно реинвестировать по стоимости капитала 8 %. Найдите модифицированную внутреннюю норму доходности MIRR в процентах.

r = 8%CF₀ = −25 000CF₁ = 8 000CF₂ = 11 000CF₃ = 9 500CF₄ = 8 000

MIRR = %

29.Нормальное распределениеСредняя

Массы объектов (мешки с цементом) независимы и нормально распределены со средним 25 kg и стандартным отклонением 0,5 kg. Найдите вероятность P того, что общая масса 5 из них меньше 127,2 kg. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 5< 127.2 kg

P =

30.Нормальное распределениеСложная

Пусть результаты IQ-тестов распределены нормально со средним 100 баллов и стандартным отклонением 15 баллов. Найдите значение x, ниже которого лежат 5 % значений (5-й процентиль).

μ = 100σ = 15P = 5%

x = баллов

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 62 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 50·1,5 + 45·2

R_B = 165/5 = 33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 33 = 62 kN

Ответ

R_A = 62 kN

2.Опорные реакции балок

Ответ: α = 57,53 °

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Составляющие P

P_v = 55·sin 45° = 38,89 kN

P_h = 55·cos 45° = 38,89 kN

Реакции

ΣM_A = 0: R_B·5 = 38,89·1 + 75·3 → R_B = 52,78 kN

A_y = 38,89 + 75 − 52,78 = 61,11 kN

A_x = P_h = 38,89 kN

Направление реакции в A

α = atan(A_y/A_x) = atan(61,11/38,89) = 57,53°

Ответ

α = 57,53°

3.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел G

FG и GH лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 38,75 kN (T), BC: 38,75 kN (T), CD: 36,25 kN (T), DE: 36,25 kN (T), FG: 37,5 kN (C), GH: 37,5 kN (C), AF: 54,8 kN (C), HE: 51,27 kN (C), BF: 40 kN (T), CG: 0, DH: 35 kN (T), FC: 1,768 kN (C), HC: 1,768 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: CG

4.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AC = −1,875 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 55·1 − 30·2 → C_y = −1,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − −1,25 = 56,25 kN

ΣF_x = 0: A_x = 30 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−1,25/0,5547 = 2,253 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(2,253)·0,8321 = −1,875 kN

Ответ

F_AC = −1,875 kN (сжатие)

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 177,5 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 55·1 + 60·5

R_B = 355/10 = 35,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 115 − 35,5 = 79,5 kN

Момент под каждой силой

Оставляйте часть слева от каждой силы.

под P₁: M = R_A·1 = 79,5·1 = 79,5 kN·m

под P₂: M = R_B·5 = 35,5·5 = 177,5 kN·m

Наибольшее значение

M_max = 177,5 kN·m (под P₂)

Ответ

M_max = 177,5 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 23,26 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки с учётом нагрузки на консольном свесе.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 3·9 = 27 kN, приложена в x̄ = 4,5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 3·9·4,5

R_B = 121,5/8 = 15,19 kN

ΣF_y = 0: R_A = 27 − 15,19 = 11,81 kN

Нулевая поперечная сила

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 11,81/3 = 3,938 m

Наибольший положительный момент

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 11,81²/(2·3) = 23,26 kN·m

Ответ

M_max = 23,26 kN·m

7.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 7,266 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 2500 mm

EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Прогиб

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·2500⁴/(384·8,4 × 10¹¹) = 7,266 mm

Ответ

δ_max = 7,266 mm

8.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 3,356 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 13000 N, b = 2500 mm, L = 6000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Положение максимума

Приравнивание угла поворота на более длинном участке к нулю даёт положение.

x = √((L² − b²)/3) = √((6000² − 2500²)/3) = 3149 mm

Максимальный прогиб

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 3,356 mm

Ответ

δ_max = 3,356 mm

9.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 10,24 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

Расчётная длина

KL = 1·1500 = 1500 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·33333/1500² = 10235 N = 10,24 kN

Ответ

P_cr = 10,24 kN

10.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 6,94 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 1·4000 = 4000 mm

KL/r = 4000/7,5 = 533,3

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/533,3² = 6,94 MPa

Ответ

σ_cr = 6,94 MPa

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 40,34 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 300·25 = 7500 mm², y_f = 220 + 25/2 = 232,5 mm

стенка: A_w = 12·220 = 2640 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7500·232,5 + 2640·110)/10140 = 200,6 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 300·25³/12 + 7500·(232,5 − 200,6)² = 8,02 × 10⁶ mm⁴

стенка: 12·220³/12 + 2640·(110 − 200,6)² = 3,232 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,02 × 10⁶ + 3,232 × 10⁷ = 4,034 × 10⁷ mm⁴ = 40,34 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 40,34 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 98,39 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (30000·100 − 2500·80)/(30000 − 2500) = 101,8 mm

Целая пластина относительно ȳ

150·200³/12 + 30000·−1,818² = 100,1 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

50·50³/12 + 2500·−21,82² = 1,711 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 98,39 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 98,39 × 10⁶ mm⁴

13.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: u = 19,62 kPa

Эффективное напряжение (Терцаги): скелет грунта воспринимает σ′ = σ − u. Полное напряжение σ — это вес всего, что над точкой, Σγ·h, с удельным весом сухого грунта выше уровня грунтовых вод и водонасыщенного — ниже. Ниже уровня грунтовых вод поровое давление гидростатическое: u = γ_w·(глубина ниже уровня грунтовых вод).

Поровое давление

Давление воды растёт с глубиной ниже уровня грунтовых вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·2 = 19,62 kPa

Ответ

u = 19,62 kPa

14.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: u = 58,86 kPa

Поровое давление

Давление воды растёт с глубиной ниже уровня грунтовых вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·6 = 58,86 kPa

Ответ

u = 58,86 kPa

15.Консолидационная осадка

Ответ: S = 19,33 mm

Первичная консолидация слоя глины толщиной H по эффективному напряжению в середине слоя: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально уплотнённая глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переуплотнённая глина повторно сжимается по C_r до давления предварительного уплотнения σ′_p и следует C_c только выше него. Время: t = T_v·H_dr²/c_v, где путь фильтрации H_dr равен H/2, когда вода может уходить вверх и вниз, и H, когда дренирует только одна сторона.

Сравните с давлением предварительного уплотнения

σ′_f = 50 + 25 = 75 kPa ≤ 110 kPa

Осадка

Глина остаётся на линии повторного сжатия.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,03·7,5/(1 + 1,05)·log₁₀(75/50) = 19,33 mm

Ответ

S = 19,33 mm

16.Консолидационная осадка

Ответ: t = 0,9184 годы

Путь фильтрации

H_dr = H/2 = 8/2 = 4 m

Время

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,287·4²/5 = 0,9184 годы

Ответ

t = 0,9184 годы

17.Гидростатическое давление

Ответ: F = 386,3 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 4 + 2,5/2 = 5,25 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·5,25·7,5 = 386,3 kN

Ответ

F = 386,3 kN

18.Гидростатическое давление

Ответ: F = 110,4 kN

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 3 + 1,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 1,5·2 = 3 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,75·3 = 110,4 kN

Ответ

F = 110,4 kN

19.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δp = 7,2 kPa

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Потеря напора

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(50/0,1)·1,2²/(2·9,81) = 0,7339 m

Перепад давления

Труба горизонтальна, а скорость не меняется, поэтому уравнение энергии сводится к Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·0,7339 = 7200 Pa = 7,2 kPa

Ответ

Δp = 7,2 kPa

20.Трение в трубах и потери напора

Ответ: H = 1,571 m

Скорость

V = Q/A = 0,008/0,007854 = 1,019 m/s

V²/(2g) = 0,05288 m

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,025·100/0,1 = 25

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 = 3,7

Уравнение энергии

Выходящая струя сохраняет свой скоростной напор; это не потеря, но его нужно обеспечить.

H = (1 + 25 + 3,7)·0,05288 = 1,571 m

Ответ

H = 1,571 m

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 26,77 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (6 + 3·2)·2 = 24 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·2·√(1 + 3²) = 18,65 m

R = A/P = 1,287 m

Скорость

V = (1/0,03)·1,287^2/3·0,0008^1/2 = 1,115 m/s

Расход

Q = A·V = 24·1,115 = 26,77 m³/s

Ответ

Q = 26,77 m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,001718 m/m

Гидравлический радиус

R = D/4 = 0,6/4 = 0,15 m

Выразите S из формулы Маннинга

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,9/0,2823)² = 0,001718

Ответ

S = 0,001718

Это понижение на 1,718 m на километр.

23.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_shaft = 18,47 kW

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,025·64 = 15,7 kW

Мощность на валу

P_shaft = P_h/η = 15,7/0,85 = 18,47 kW

Ответ

P_shaft = 18,47 kW

24.Насосы и мощность насоса

Ответ: H = 57,47 m

Скорость

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (66,67 + 8)·0,408 = 30,47 m

Напор насоса

Обе поверхности открыты и практически неподвижны, поэтому члены с давлением и скоростью выпадают.

H = Δz + h_L = 27 + 30,47 = 57,47 m

Ответ

H = 57,47 m

25.Временная стоимость денег

Ответ: PV = 6394 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = 0,05/4 = 0,0125

N = 4·9 = 36

Приведённая стоимость

PV = FV/(1 + i)^N = 10 000/1,564 = €6 394,09

Ответ

PV = €6 394,09

26.Временная стоимость денег

Ответ: B = 128398 €

Ежемесячный платёж

i = 0,004, N = 300

A = 150 000·0,004/(1 − (1 + 0,004)⁻³⁰⁰) = €859,50

Приведённая стоимость оставшихся платежей

Всё, что ещё остаётся в долге, должно быть в точности погашено оставшимися платежами.

N − k = 300 − 72 = 228

B = 859,5·(1 − (1 + 0,004)⁻²²⁸)/0,004 = €128 397,57

Ответ

B = €128 397,57

27.NPV и IRR

Ответ: NPV = 21429 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Стоимость денежных потоков

PV = 19 000/(0,11 − 0,04) = 271 428,57

NPV

NPV = 271 428,57 − 250 000 = €21 428,57

Ответ

NPV = €21 428,57

NPV положительна, значит проект зарабатывает больше требуемой доходности.

28.NPV и IRR

Ответ: MIRR = 13,28 %

Модифицированная IRR: нарастите каждое поступление до конца проекта по ставке реинвестирования (обычно по стоимости капитала), чтобы получить конечную стоимость TV. MIRR — это ставка, превращающая первоначальные инвестиции в TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Конечная стоимость поступлений

8 000·1,08³ = 10 077,70

11 000·1,08² = 12 830,40

9 500·1,08¹ = 10 260,00

8 000·1,08⁰ = 8 000,00

TV = 41 168,10

MIRR

MIRR = (41 168,10/25 000)^1/4 − 1 = 13,28%

Ответ

MIRR = 13,28%

29.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,9756

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ_T = 125 kg, σ_T = 0,5·√5 = 1,118 kg

Стандартизуйте

z = (127,2 − 125)/1,118 = 1,97

Вероятность

P = Φ(1,97) = 0,9756

Ответ

P = 0,9756

30.Нормальное распределение

Ответ: x = 75,33 баллов

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Обратно к x

x = 100 + −1,645·15 = 75,33 баллов

Ответ

x = 75,33 баллов

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. Экзамен FE exam проводит NCEES; эта организация не связана с ExamProblems и не поддерживает его.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil