Подготовка к экзамену FE Civil: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (30) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Эффективное напряжение в грунте

Полное напряжение: σ = Σγ_i·h_i
Поровое давление: u = γ_w·(z − z_w)
Эффективное напряжение: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолидационная осадка

Нормально уплотнённый грунт: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Конечное напряжение: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переуплотнённый грунт, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переуплотнённый грунт, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коэффициент переуплотнения: OCR = σ′_p/σ′₀
Время консолидации: t = T_v·H_dr²/c_v
Путь фильтрации: H_dr = H/2 (двусторонний дренаж), H (односторонний дренаж)
Факторы времени: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_A.

L = 4 mP₁ = 20 kN в 1 mP₂ = 40 kN в 2 m

R_A = kN

2.Опорные реакции балокСложная

L = 6 mP = 60 kN в 3,5 mw = 5 kN/m от 2 до 6 m

R_A = kN

3.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

D: 40 kN ↓F: 30 kN ↓G: 25 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC

4.Ферма: метод вырезания узловСложная

B: 40 kN ↓G: 40 kN ↓H: 35 kN ↓H: 20 kN ←

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент BG
13элемент DG

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенным моментом M₀ = 35 kN·m, действующим по часовой стрелке, в точке x = 2 m от A; других нагрузок нет. Найдите изгибающий момент M_x сразу справа от сосредоточенного момента. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 4 mM₀ = 35 kN·m по часовой стрелке, в точке 2 m

M_x = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 0,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 4 mP = 35 kN в 3 mw = 5 kN/m от 0 до 4 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

7.Прогиб балкиСредняя

Консоль нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на свободном конце. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб δ свободного конца.

P = 10 kNw = 8 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w. Её прогиб не должен превышать пролёт/360. Найдите наименьший момент инерции I_req, удовлетворяющий этому условию.

w = 15 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (алюминий)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (алюминий)b × h = 40 × 60 mm

P_cr = kN

10.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (алюминий) шарнирно оперта с обоих концов. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 2 mE = 70 GPa (алюминий)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Пластина 150 mm × 300 mm имеет круглое отверстие диаметром 60 mm на вертикальной оси симметрии, центр которого находится на высоте 195 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 150 mmh = 300 mmd = 60 mmцентр отверстия: y = 195 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Симметричный двутавр имеет полки шириной 230 mm и толщиной 14 mm, полную высоту 360 mm и стенку толщиной 8 mm. Оно воспринимает изгибающий момент 80 kN·m относительно оси x. Найдите величину наибольшего нормального напряжения при изгибе σ_max в сечении.

B = 230 mmH = 360 mmt_f = 14 mmt_w = 8 mmM = 80 kN·m

σ_max = MPa

13.Эффективное напряжение в грунтеСредняя

Для показанного грунтового разреза найдите поровое давление u в точке X.

z = 7 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 16,5 kN/m³песок: γ_sat = 19 kN/m³

u = kPa

14.Эффективное напряжение в грунтеСложная

Для показанного грунтового разреза найдите поровое давление u в точке X.

z = 9,5 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 17 kN/m³песок: γ_sat = 19 kN/m³глина: γ_sat = 19 kN/m³

u = kPa

15.Консолидационная осадкаСредняя

Слой переуплотнённой глины толщиной 8 m имеет C_c = 0,2, C_r = 0,03 и e₀ = 0,75. В середине слоя эффективное вертикальное напряжение равно 65 kPa , а давление предварительного уплотнения равно 175 kPa. Новое здание добавляет 240 kPa вертикального напряжения в середине слоя. Найдите осадку первичной консолидации S в mm.

H = 8 mC_c = 0,2C_r = 0,03e₀ = 0,75σ′₀ = 65 kPaσ′_p = 175 kPaΔσ = 240 kPa

S = mm

16.Консолидационная осадкаСложная

Слой глины толщиной 4 m имеет коэффициент консолидации c_v = 0,5 m²/year. Слой лежит на водонепроницаемой скале, а сверху песок, поэтому вода отводится только вверх. Для средней степени консолидации 50% фактор времени T_v = 0,197. За сколько лет t слой достигнет 50% консолидации?

H = 4 mc_v = 0,5 m²/годU = 50%T_v = 0,197односторонний дренаж

t = годы

17.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 3 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 1 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 1 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 1 m ниже поверхности. Найдите глубину y_cp центра давления под поверхностью.

d = 1 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода течёт со средней скоростью 0,8 m/s по трубе длиной 400 m с внутренним диаметром 150 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,022 и g = 9,81 m/s². Найдите потерю напора на трение h_f.

V = 0,8 m/sL = 400 mD = 150 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Трение в трубах и потери напораСложная

Труба длиной 100 m с внутренним диаметром 200 mm (коэффициент трения Дарси f = 0,015) отходит от открытого резервуара и выпускает воду свободной струёй в атмосферу. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 3 колена (K = 0,3 каждое) и задвижка (K = 2). Примите g = 9,81 m/s². На какой высоте H над выходом трубы должна находиться поверхность воды в резервуаре, чтобы расход был 50 L/s?

Q = 50 L/sL = 100 mD = 200 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 2

H = m

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Трапецеидальный канал (кирпичная кладка) имеет ширину по дну 5 m и заложение откосов 1:1 (горизонталь:вертикаль). Вода течёт равномерно с глубиной 1,7 m. Коэффициент Маннинга n = 0,015, уклон дна S = 0,002. Найдите расход Q в m³/s.

b = 5 my = 1,7 mz = 1n = 0,015S = 0,002

Q = m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Бетонный коллектор с внутренним диаметром 600 mm (коэффициент Маннинга n = 0,013) при полном заполнении должен обеспечивать самоочищающую скорость 0,9 m/s. Найдите минимальный уклон S (в m/m).

D = 600 mmn = 0,013V = 0,9 m/s

S = m/m

23.Насосы и мощность насосаСредняя

При испытании насос подаёт 40 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 74 m, а мощность на его валу 41,5 kW. Примите g = 9,81 m/s². Найдите КПД насоса η в процентах.

Q = 40 L/sH = 74 mP_shaft = 41,5 kWg = 9,81 m/s²

η = %

24.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 60 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 6 m выше. Труба длиной 150 m имеет внутренний диаметр 250 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,015; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 6 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². КПД насоса 75%. Найдите мощность на валу P_shaft в kW.

Q = 60 L/sΔz = 6 mL = 150 mD = 250 mmf = 0,015ΣK = 6η = 75%

P_shaft = kW

25.Временная стоимость денегСредняя

Вы инвестируете €3 000 под номинальную ставку 4,8 % годовых с капитализацией ежеквартальной. Найдите стоимость FV инвестиции через 4 лет.

PV = €3 0004,8% / 4n = 4

FV = €

26.Временная стоимость денегСложная

Кредит €25 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 5 лет. Ставка — 4,2 % годовых с ежемесячной капитализацией. Найдите ежемесячный платёж A.

P = €25 0004,2% / 12N = 60

A = €

27.NPV и IRRСредняя

Инвестиция €75 000 даёт в конце лет с 1 по 3 такие денежные потоки: €25 000, €19 000, €36 000. Стоимость капитала — 10 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

r = 10%CF₀ = −75 000CF₁ = 25 000CF₂ = 19 000CF₃ = 36 000

NPV = €

28.NPV и IRRСложная

Проект стоит €40 000 и приносит €22 000, €14 500, €15 000 в конце лет с 1 по 3. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −40 000CF₁ = 22 000CF₂ = 14 500CF₃ = 15 000

IRR = %

29.Нормальное распределениеСредняя

Пусть массы пакетов распределены нормально со средним 250 g и стандартным отклонением 5 g. Какая доля значений лежит между 250,25 и 259,25 g? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 250σ = 5x₁ = 250,25x₂ = 259,25

P =

30.Нормальное распределениеСложная

Пусть баллы за экзамен распределены нормально со средним 65 баллов и стандартным отклонением 10 баллов. Найдите значение x, ниже которого лежат 75 % значений (75-й процентиль).

μ = 65σ = 10P = 75%

x = баллов

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 35 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 20·1 + 40·2

R_B = 100/4 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 25 = 35 kN

Ответ

R_A = 35 kN

2.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 31,67 kN

Расчётная схема

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN, приложена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 60·3,5 + 5·4·4

R_B = 290/6 = 48,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 48,33 = 31,67 kN

Ответ

R_A = 31,67 kN

3.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент BF

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел B

AB и BC лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 33,75 kN (T), BC: 33,75 kN (T), CD: 37,5 kN (T), DE: 37,5 kN (T), FG: 45 kN (C), GH: 45 kN (C), AF: 56,25 kN (C), HE: 62,5 kN (C), BF: 0, CG: 25 kN (C), DH: 40 kN (T), FC: 18,75 kN (T), HC: 12,5 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: BF

4.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 43,75 kN (T), BC: 67,5 kN (T), CD: 67,5 kN (T), DE: 51,25 kN (T), FG: 63,75 kN (C), GH: 71,25 kN (C), AF: 90,16 kN (C), HE: 72,48 kN (C), BF: 63,75 kN (T), CG: 0, DH: 16,25 kN (T), BG: 33,59 kN (C), DG: 22,98 kN (C)

Ответ

Нулевой элемент: CG

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 17,5 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Приложенный сосредоточенный момент вызывает на эпюре изгибающих моментов скачок, равный его величине.

Опорные реакции

Моменты относительно A, против часовой стрелки положительны: R_B·L − M₀ = 0. Равновесие по вертикали: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 35/4 = 8,75 kN (вверх)

R_A = −R_B = −8,75 kN (вниз)

Сечение сразу справа от сосредоточенного момента

Теперь левая часть содержит R_A и сосредоточенный момент.

M_x = R_A·a + M₀ = −8,75·2 + 35 = 17,5 kN·m

Ответ

M_x = 17,5 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 8,75 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN, приложена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 35·3 + 5·4·2

R_B = 145/4 = 36,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 36,25 = 18,75 kN

Рассеките в x = 0,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 18,75·0,5 − 5·0,5·0,25 = 8,75 kN·m

Ответ

M_x = 8,75 kN·m

7.Прогиб балки

Ответ: δ = 9,268 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 10000 N, w = 8 N/mm, L = 1500 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δ_P = PL³/(3EI) = 10000·1500³/(3·1,76 × 10¹²) = 6,392 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 8·1500⁴/(8·1,76 × 10¹²) = 2,876 mm

Сложите

δ = 6,392 + 2,876 = 9,268 mm

Ответ

δ = 9,268 mm

8.Прогиб балки

Ответ: I_req = 217 × 10⁶ mm⁴

Ограничение прогиба

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Требуемый момент инерции

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·6000⁴/(384·70000·16,67) = 2,17 × 10⁸ mm⁴

I_req = 217 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_req = 217 × 10⁶ mm⁴

9.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 18,05 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·320000/3500² = 18047 N = 18,05 kN

Ответ

P_cr = 18,05 kN

10.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 17,27 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/10 = 200

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17,27 MPa

Ответ

σ_cr = 17,27 MPa

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 330,8 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (45000·150 − 2827·195)/(45000 − 2827) = 147 mm

Целая пластина относительно ȳ

150·300³/12 + 45000·3,017² = 337,9 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

π·60⁴/64 + 2827·48,02² = 7,155 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 330,8 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 330,8 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_max = 66,28 MPa

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Наружный прямоугольник минус два боковых выреза

Оба выреза вместе имеют ширину (B − t_w) и высоту h_w = H − 2t_f и отнесены к оси x.

h_w = 360 − 2·14 = 332 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (230·360³ − 222·332³)/12

I_x = 2,172 × 10⁸ mm⁴

Напряжение изгиба

y = 180 mm

σ = M·y/I = 8 × 10⁷·180/2,172 × 10⁸ = 66,28 MPa

Ответ

σ_max = 66,28 MPa

13.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: u = 29,43 kPa

Эффективное напряжение (Терцаги): скелет грунта воспринимает σ′ = σ − u. Полное напряжение σ — это вес всего, что над точкой, Σγ·h, с удельным весом сухого грунта выше уровня грунтовых вод и водонасыщенного — ниже. Ниже уровня грунтовых вод поровое давление гидростатическое: u = γ_w·(глубина ниже уровня грунтовых вод).

Поровое давление

Давление воды растёт с глубиной ниже уровня грунтовых вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·3 = 29,43 kPa

Ответ

u = 29,43 kPa

14.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: u = 63,77 kPa

Поровое давление

Давление воды растёт с глубиной ниже уровня грунтовых вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·6,5 = 63,77 kPa

Ответ

u = 63,77 kPa

15.Консолидационная осадка

Ответ: S = 279,6 mm

Первичная консолидация слоя глины толщиной H по эффективному напряжению в середине слоя: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально уплотнённая глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переуплотнённая глина повторно сжимается по C_r до давления предварительного уплотнения σ′_p и следует C_c только выше него. Время: t = T_v·H_dr²/c_v, где путь фильтрации H_dr равен H/2, когда вода может уходить вверх и вниз, и H, когда дренирует только одна сторона.

Сравните с давлением предварительного уплотнения

σ′_f = 65 + 240 = 305 kPa > 175 kPa

Осадка

Повторное сжатие до σ′_p, первичное сжатие за ним.

S = 0,03·8/(1 + 0,75)·log₁₀(175/65) + 0,2·8/(1 + 0,75)·log₁₀(305/175)

S = 58,99 + 220,6 = 279,6 mm

Ответ

S = 279,6 mm

16.Консолидационная осадка

Ответ: t = 6,304 годы

Путь фильтрации

H_dr = H = 4 m

Время

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,197·4²/0,5 = 6,304 годы

Ответ

t = 6,304 годы

17.Гидростатическое давление

Ответ: F = 165,5 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1 + 2,5/2 = 2,25 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,25·7,5 = 165,5 kN

Ответ

F = 165,5 kN

18.Гидростатическое давление

Ответ: y_cp = 1,556 m

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1,5 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,5·1 = 14,71 kN

Центр давления

Давление растёт с глубиной, поэтому равнодействующая приложена ниже центра тяжести.

I_c = b·H³/12 = 1·1³/12 = 0,08333 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1,5 + 0,08333/(1,5·1) = 1,556 m

Ответ

y_cp = 1,556 m

19.Трение в трубах и потери напора

Ответ: h_f = 1,914 m

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Скоростной напор

V²/(2g) = 0,8²/(2·9,81) = 0,03262 m

Формула Дарси–Вейсбаха

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(400/0,15)·0,8²/(2·9,81) = 1,914 m

Ответ

h_f = 1,914 m

20.Трение в трубах и потери напора

Ответ: H = 1,536 m

Скорость

V = Q/A = 0,05/0,03142 = 1,592 m/s

V²/(2g) = 0,1291 m

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,015·100/0,2 = 7,5

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 = 3,4

Уравнение энергии

Выходящая струя сохраняет свой скоростной напор; это не потеря, но его нужно обеспечить.

H = (1 + 7,5 + 3,4)·0,1291 = 1,536 m

Ответ

H = 1,536 m

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 37,52 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (5 + 1·1,7)·1,7 = 11,39 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5 + 2·1,7·√(1 + 1²) = 9,808 m

R = A/P = 1,161 m

Скорость

V = (1/0,015)·1,161^2/3·0,002^1/2 = 3,294 m/s

Расход

Q = A·V = 11,39·3,294 = 37,52 m³/s

Ответ

Q = 37,52 m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,001718 m/m

Гидравлический радиус

R = D/4 = 0,6/4 = 0,15 m

Выразите S из формулы Маннинга

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,9/0,2823)² = 0,001718

Ответ

S = 0,001718

Это понижение на 1,718 m на километр.

23.Насосы и мощность насоса

Ответ: η = 69,97 %

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·74 = 29,04 kW

КПД

η = P_h/P_shaft = 29,04/41,5 = 69,97%

Ответ

η = 69,97%

24.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_shaft = 5,605 kW

Скорость

V = Q/A = 0,06/0,04909 = 1,222 m/s

V²/(2g) = 0,07615 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (9 + 6)·0,07615 = 1,142 m

Напор насоса

H = Δz + h_L = 6 + 1,142 = 7,142 m

Мощность на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,06·7,142/0,75 = 5,605 kW

Ответ

P_shaft = 5,605 kW

25.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 3631 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = r/m = 0,048/4 = 0,012

N = m·n = 4·4 = 16

Будущая стоимость

FV = 3 000·(1 + 0,012)¹⁶ = 3 000·1,21 = €3 630,86

Ответ

FV = €3 630,86

26.Временная стоимость денег

Ответ: A = 462,7 €

Месячная ставка и число платежей

i = 0,042/12 = 0,0035

N = 12·5 = 60

Платёж

Приведённая стоимость N равных платежей A равна A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Приравняйте её к кредиту и найдите A.

(1 + i)^−N = 0,8109

A = 25 000·0,0035/(1 − 0,8109) = €462,67

Ответ

A = €462,67

27.NPV и IRR

Ответ: NPV = −9523 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость каждого потока

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,1)¹ = 25 000/1,1 = 22 727,27

CF₂/(1 + 0,1)² = 19 000/1,21 = 15 702,48

CF₃/(1 + 0,1)³ = 36 000/1,331 = 27 047,33

Сложите

NPV = €−9 522,92

Ответ

NPV = €−9 522,92

NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.

28.NPV и IRR

Ответ: IRR = 14,93 %

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(10%) = 3 253,19

NPV(15%) = −42,74

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 10 + 5·3 253,19/(3 253,19 − (−42,74)) = 14,94%

точно: NPV(14,93%) = 0 → IRR = 14,93%

Ответ

IRR = 14,93%

29.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,4479

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (250,25 − 250)/5 = 0,05

z₂ = (259,25 − 250)/5 = 1,85

Площадь между

P = Φ(1,85) − Φ(0,05) = 0,9678 − 0,5199 = 0,4479

Ответ

P = 0,4479

30.Нормальное распределение

Ответ: x = 71,75 баллов

z для процентиля

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

Обратно к x

x = 65 + 0,6745·10 = 71,75 баллов

Ответ

x = 71,75 баллов

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. Экзамен FE exam проводит NCEES; эта организация не связана с ExamProblems и не поддерживает его.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil