Подготовка к экзамену FE Civil: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (30) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Эффективное напряжение в грунте

Полное напряжение: σ = Σγ_i·h_i
Поровое давление: u = γ_w·(z − z_w)
Эффективное напряжение: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолидационная осадка

Нормально уплотнённый грунт: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Конечное напряжение: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переуплотнённый грунт, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переуплотнённый грунт, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коэффициент переуплотнения: OCR = σ′_p/σ′₀
Время консолидации: t = T_v·H_dr²/c_v
Путь фильтрации: H_dr = H/2 (двусторонний дренаж), H (односторонний дренаж)
Факторы времени: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_A.

L = 4 mP₁ = 20 kN в 1 mP₂ = 45 kN в 3 m

R_A = kN

2.Опорные реакции балокСложная

L = 5 mP = 15 kN в 1,5 mw = 4 kN/m от 2 до 5 m

R_A = kN

3.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Методом вырезания узлов найдите усилие F_BC в стержне BC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 8 mвысота = 3 mB на расстоянии 2 m от Aвертикальная нагрузка = 35 kN

F_BC = kN

4.Ферма: метод вырезания узловСложная

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AC в стержне AC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 4 mвысота = 2 mB на расстоянии 1 m от Aвертикальная нагрузка = 60 kNгоризонтальная нагрузка = 25 kN →

F_AC = kN

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

40 kN @ 3 m10 kN @ 1 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Балка опирается на неподвижный шарнир в A и подвижную опору в B и имеет консольный свес длиной 2 m за B до свободного конца C. Равномерно распределённая нагрузка w действует по всей длине A–C. Найдите изгибающий момент M_B на опоре B. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 8 mw = 3 kN/m от 0 до 8 mопоры при x = 0 и x = 6 m

M_B = kN·m

7.Прогиб балкиСредняя

Консоль длиной L защемлена в A и нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии a = 1 m от A. Найдите прогиб δ_P под силой.

P = 29 kNa = 1 mL = 6 mE = 200 GPa (сталь)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая деревянная балка прямоугольного сечения шириной 75 mm нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Её прогиб в середине пролёта не должен превышать пролёт/300. Найдите наименьшую высоту h_req сечения.

w = 3 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)b = 75 mm

h_req = mm

9.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (сталь)d = 80 mm

P_cr = kN

10.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена с обоих концов. Она должна выдерживать 80 kN с коэффициентом запаса устойчивости 2,5. Найдите наименьший диаметр d.

P = 80 kNn = 2,5L = 2,5 mE = 70 GPa (алюминий)

d = mm

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Полое прямоугольное (коробчатое) сечение имеет наружную ширину B = 160 mm, наружную высоту H = 350 mm и одинаковую толщину стенок t = 6 mm. Найдите его радиус инерции r относительно горизонтальной центральной оси.

B = 160 mmH = 350 mmt = 6 mm

r = mm

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 15 kN·m. Найдите напряжение изгиба σ_низ на нижнем крае.

b_f = 280 mmt_f = 25 mmt_w = 8 mmh_w = 300 mmM = 15 kN·m

σ_низ = MPa

13.Эффективное напряжение в грунтеСредняя

Для показанного грунтового разреза найдите поровое давление u в точке X.

z = 5 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 16 kN/m³песок: γ_sat = 18,5 kN/m³

u = kPa

14.Эффективное напряжение в грунтеСложная

Для показанного грунтового разреза найдите поровое давление u в точке X.

z = 7 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 15 kN/m³песок: γ_sat = 18,5 kN/m³глина: γ_sat = 17 kN/m³

u = kPa

15.Консолидационная осадкаСредняя

Слой переуплотнённой глины толщиной 4 m имеет C_c = 0,5, C_r = 0,05 и e₀ = 0,95. В середине слоя эффективное вертикальное напряжение равно 120 kPa , а давление предварительного уплотнения равно 170 kPa. Новое здание добавляет 150 kPa вертикального напряжения в середине слоя. Найдите осадку первичной консолидации S в mm.

H = 4 mC_c = 0,5C_r = 0,05e₀ = 0,95σ′₀ = 120 kPaσ′_p = 170 kPaΔσ = 150 kPa

S = mm

16.Консолидационная осадкаСложная

Слой глины толщиной 7 m имеет коэффициент консолидации c_v = 3 m²/year. Слой лежит на водонепроницаемой скале, а сверху песок, поэтому вода отводится только вверх. Для средней степени консолидации 80% фактор времени T_v = 0,567. За сколько лет t слой достигнет 80% консолидации?

H = 7 mc_v = 3 m²/годU = 80%T_v = 0,567односторонний дренаж

t = годы

17.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 2 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 1,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 1,5 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1 m находится в стенке резервуара с жидкостью (глицерин), его верхний край на 0,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 0,5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода течёт с расходом 30 L/s по трубе длиной 200 m с внутренним диаметром 200 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,025 и g = 9,81 m/s². Найдите потерю напора на трение h_f.

Q = 30 L/sL = 200 mD = 200 mmf = 0,025g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Трение в трубах и потери напораСложная

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 200 m с внутренним диаметром 300 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,025. Уровень воды в верхнем резервуаре на 7 m выше, чем в нижнем. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 2 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 0,2) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Найдите расход Q в L/s.

Δz = 7 mL = 200 mD = 300 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 0,2K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Трапецеидальный канал (чистый грунт) имеет ширину по дну 3 m и заложение откосов 3:1 (горизонталь:вертикаль). Вода течёт равномерно с глубиной 2,3 m. Коэффициент Маннинга n = 0,022, уклон дна S = 0,005. Найдите расход Q в m³/s.

b = 3 my = 2,3 mz = 3n = 0,022S = 0,005

Q = m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Прямоугольный канал (чистый грунт) шириной 2,5 m должен пропускать 2,1 m³/s при равномерном течении с глубиной 0,7 m. Коэффициент Маннинга n = 0,022. Найдите требуемый уклон дна S (в m/m).

Q = 2,1 m³/sb = 2,5 my = 0,7 mn = 0,022

S = m/m

23.Насосы и мощность насосаСредняя

Насос подаёт 80 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 40 m. КПД насоса 65%, а КПД приводящего его электродвигателя 92%. Примите g = 9,81 m/s². Найдите электрическую мощность P_el, потребляемую двигателем, в kW.

Q = 80 L/sH = 40 mη_pump = 65%η_motor = 92%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

24.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 40 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 7 m выше. Труба длиной 500 m имеет внутренний диаметр 150 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,022; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 8 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². Найдите напор H, который должен создать насос.

Q = 40 L/sΔz = 7 mL = 500 mD = 150 mmf = 0,022ΣK = 8

H = m

25.Временная стоимость денегСредняя

Через 9 лет вам нужно €25 000. Счёт даёт 2 % годовых с капитализацией ежемесячной. Сколько нужно положить сегодня? Найдите приведённую стоимость PV.

FV = €25 0002% / 12n = 9

PV = €

26.Временная стоимость денегСложная

Кредит €8 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 3 лет. Ставка — 2,4 % годовых с ежемесячной капитализацией. Найдите ежемесячный платёж A.

P = €8 0002,4% / 12N = 36

A = €

27.NPV и IRRСредняя

Станок стоит €60 000 сегодня. Он приносит €23 500 в конце каждого года в течение 3 лет, а затем может быть продан за €12 000. Стоимость капитала — 12 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €60 000CF = €23 500S = €12 000n = 3r = 12%

NPV = €

28.NPV и IRRСложная

Проект стоит €50 000 сегодня. Его денежный поток в конце года 1 равен €6 500 и растёт на 3 % в год до последнего денежного потока в конце года 8. Стоимость капитала — 10 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €50 000CF₁ = €6 500g = 3%n = 8r = 10%

NPV = €

29.Нормальное распределениеСредняя

Пусть сроки доставки распределены нормально со средним 32 min и стандартным отклонением 6 min. Какая доля значений лежит между 26,3 и 41,3 min? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 32σ = 6x₁ = 26,3x₂ = 41,3

P =

30.Нормальное распределениеСложная

Пусть сроки доставки распределены нормально со средним 32 min и стандартным отклонением 6 min. Найдите значение x, ниже которого лежат 10 % значений (10-й процентиль).

μ = 32σ = 6P = 10%

x = min

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 26,25 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 20·1 + 45·3

R_B = 155/4 = 38,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 38,75 = 26,25 kN

Ответ

R_A = 26,25 kN

2.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 14,1 kN

Расчётная схема

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 4·3 = 12 kN, приложена в x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 15·1,5 + 4·3·3,5

R_B = 64,5/5 = 12,9 kN

ΣF_y = 0: R_A = 27 − 12,9 = 14,1 kN

Ответ

R_A = 14,1 kN

3.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_BC = −19,57 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 35·2 → C_y = 8,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 8,75 = 26,25 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 3/6,708 = 0,4472, cos γ = 6/6,708 = 0,8944

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −8,75/0,4472 = −19,57 kN

Ответ

F_BC = −19,57 kN (сжатие)

4.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AC = 41,25 kN

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 60·1 + 25·2 → C_y = 27,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 27,5 = 32,5 kN

ΣF_x = 0: A_x = −25 kN

Узел C

sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −27,5/0,5547 = −49,58 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−49,58)·0,8321 = 41,25 kN

Ответ

F_AC = 41,25 kN (растяжение)

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: D (x = 3 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 28,33 kN, R₂ = 21,67 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 28,33, M_C = 46,67, M_D = 65 kN·m, M_E = 43,33, M_F = 21,67, M_G = 0

Ответ

Отметка D: M_D = 65 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_B = −6 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки с учётом нагрузки на консольном свесе.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN, приложена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 3·8·4

R_B = 96/6 = 16 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 16 = 8 kN

Сечение в B, оставляем консольный свес

Нагрузка на свесе, w·a, приложена на расстоянии a/2 от B и создаёт над опорой отрицательный момент (растянуты верхние волокна).

M_B = −w·a²/2 = −3·2²/2 = −6 kN·m

Ответ

M_B = −6 kN·m

7.Прогиб балки

Ответ: δ_P = 2,101 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 29000 N, a = 1000 mm, L = 6000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Прогиб под силой

δ_P = Pa³/(3EI) = 29000·1000³/(3·4,6 × 10¹²) = 2,101 mm

Ответ

δ_P = 2,101 mm

8.Прогиб балки

Ответ: h_req = 166,3 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 3 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

Ограничение прогиба

δ_allow = L/300 = 3000/300 = 10 mm

Требуемый момент инерции

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·3·3000⁴/(384·11000·10) = 2,876 × 10⁷ mm⁴

Требуемая высота

bh³/12 = I_req → h = (12·2,876 × 10⁷/75)^1/3 = 166,3 mm

Ответ

h_req = 166,3 mm

На практике выберите ближайшую большую стандартную высоту.

9.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 506,2 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/2800² = 506225 N = 506,2 kN

Ответ

P_cr = 506,2 kN

10.Устойчивость колонн

Ответ: d = 55,1 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 2,5·80000 = 200000 N

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·200000·1250²/(π³·70000))^(1/4) = 55,1 mm

Ответ

d = 55,1 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 90,75, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: r = 126,4 mm

Момент инерции сечения: для прямоугольника относительно его собственной центральной оси I = bh³/12, а относительно основания bh³/3 (теорема о параллельном переносе осей I = I_c + A·d²). Отверстие учитывают, вычитая его I, если обе части отнесены к одной и той же оси. Момент сопротивления сечения S = I/c, где c — расстояние до крайнего волокна. Радиус инерции r = √(I/A) — это расстояние, на котором вся площадь дала бы тот же I; он используется при расчёте колонн на устойчивость.

Площадь и момент инерции нетто

b = 148 mm, h = 338 mm

A = BH − bh = 160·350 − 148·338 = 5976 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 9,542 × 10⁷ mm⁴

Радиус инерции

r = √(I/A) = √(9,542 × 10⁷/5976) = 126,4 mm

Ответ

r = 126,4 mm

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_низ = 62,01 MPa

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 280·25 = 7000 mm², y_f = 300 + 25/2 = 312,5 mm

стенка: A_w = 8·300 = 2400 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7000·312,5 + 2400·150)/9400 = 271 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 280·25³/12 + 7000·(312,5 − 271)² = 1,241 × 10⁷ mm⁴

стенка: 8·300³/12 + 2400·(150 − 271)² = 5,314 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,241 × 10⁷ + 5,314 × 10⁷ = 6,556 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Нижний край на расстоянии ȳ от оси.

y = 271 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·271/6,556 × 10⁷ = 62,01 MPa

Ответ

σ_низ = 62,01 MPa

13.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: u = 29,43 kPa

Эффективное напряжение (Терцаги): скелет грунта воспринимает σ′ = σ − u. Полное напряжение σ — это вес всего, что над точкой, Σγ·h, с удельным весом сухого грунта выше уровня грунтовых вод и водонасыщенного — ниже. Ниже уровня грунтовых вод поровое давление гидростатическое: u = γ_w·(глубина ниже уровня грунтовых вод).

Поровое давление

Давление воды растёт с глубиной ниже уровня грунтовых вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·3 = 29,43 kPa

Ответ

u = 29,43 kPa

14.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: u = 58,86 kPa

Поровое давление

Давление воды растёт с глубиной ниже уровня грунтовых вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·6 = 58,86 kPa

Ответ

u = 58,86 kPa

15.Консолидационная осадка

Ответ: S = 221,6 mm

Первичная консолидация слоя глины толщиной H по эффективному напряжению в середине слоя: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально уплотнённая глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переуплотнённая глина повторно сжимается по C_r до давления предварительного уплотнения σ′_p и следует C_c только выше него. Время: t = T_v·H_dr²/c_v, где путь фильтрации H_dr равен H/2, когда вода может уходить вверх и вниз, и H, когда дренирует только одна сторона.

Сравните с давлением предварительного уплотнения

σ′_f = 120 + 150 = 270 kPa > 170 kPa

Осадка

Повторное сжатие до σ′_p, первичное сжатие за ним.

S = 0,05·4/(1 + 0,95)·log₁₀(170/120) + 0,5·4/(1 + 0,95)·log₁₀(270/170)

S = 15,51 + 206,1 = 221,6 mm

Ответ

S = 221,6 mm

16.Консолидационная осадка

Ответ: t = 9,261 годы

Путь фильтрации

H_dr = H = 7 m

Время

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,567·7²/3 = 9,261 годы

Ответ

t = 9,261 годы

17.Гидростатическое давление

Ответ: F = 176,6 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1,5 + 3/2 = 3 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3·6 = 176,6 kN

Ответ

F = 176,6 kN

18.Гидростатическое давление

Ответ: F = 74,16 kN

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 0,5 + 3/2 = 2 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·2·3 = 74,16 kN

Ответ

F = 74,16 kN

19.Трение в трубах и потери напора

Ответ: h_f = 1,162 m

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Средняя скорость

A = π·0,2²/4 = 0,03142 m²

V = Q/A = 0,03/0,03142 = 0,9549 m/s

Скоростной напор

V²/(2g) = 0,9549²/(2·9,81) = 0,04648 m

Формула Дарси–Вейсбаха

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(200/0,2)·0,9549²/(2·9,81) = 1,162 m

Ответ

h_f = 1,162 m

20.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Q = 190,2 L/s

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,025·200/0,3 = 16,67

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,3

Уравнение энергии

Обе поверхности открыты в атмосферу и практически неподвижны, поэтому весь перепад Δz теряется в трубе.

7 = (16,67 + 2,3)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·7/18,97) = 2,691 m/s

Расход

Q = V·π·D²/4 = 2,691·0,07069 = 0,1902 m³/s = 190,2 L/s

Ответ

Q = 190,2 L/s

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 87,07 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (3 + 3·2,3)·2,3 = 22,77 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·2,3·√(1 + 3²) = 17,55 m

R = A/P = 1,298 m

Скорость

V = (1/0,022)·1,298^2/3·0,005^1/2 = 3,824 m/s

Расход

Q = A·V = 22,77·3,824 = 87,07 m³/s

Ответ

Q = 87,07 m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,002029 m/m

Геометрия

A = b·y = 2,5·0,7 = 1,75 m²

P = b + 2y = 2,5 + 2·0,7 = 3,9 m

R = A/P = 0,4487 m

Выразите S из формулы Маннинга

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,022·2,1/(1,75·0,5861) = 0,04504

S = 0,04504² = 0,002029

Ответ

S = 0,002029

Это понижение на 2,029 m на километр.

23.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_el = 52,49 kW

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·40 = 31,39 kW

Мощность на валу

P_shaft = 31,39/0,65 = 48,3 kW

Электрическая мощность

P_el = 48,3/0,92 = 52,49 kW

Ответ

P_el = 52,49 kW

24.Насосы и мощность насоса

Ответ: H = 28,24 m

Скорость

V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s

V²/(2g) = 0,2611 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (73,33 + 8)·0,2611 = 21,24 m

Напор насоса

Обе поверхности открыты и практически неподвижны, поэтому члены с давлением и скоростью выпадают.

H = Δz + h_L = 7 + 21,24 = 28,24 m

Ответ

H = 28,24 m

25.Временная стоимость денег

Ответ: PV = 20885 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = 0,02/12 = 0,001667

N = 12·9 = 108

Приведённая стоимость

PV = FV/(1 + i)^N = 25 000/1,197 = €20 884,88

Ответ

PV = €20 884,88

26.Временная стоимость денег

Ответ: A = 230,5 €

Месячная ставка и число платежей

i = 0,024/12 = 0,002

N = 12·3 = 36

Платёж

Приведённая стоимость N равных платежей A равна A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Приравняйте её к кредиту и найдите A.

(1 + i)^−N = 0,9306

A = 8 000·0,002/(1 − 0,9306) = €230,54

Ответ

A = €230,54

27.NPV и IRR

Ответ: NPV = 4984 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость ежегодных денежных потоков

23 500·2,402 = 56 443,03

Приведённая стоимость ликвидационной стоимости

12 000/1,405 = 8 541,36

NPV

NPV = −60 000 + 56 443,03 + 8 541,36 = €4 984,40

Ответ

NPV = €4 984,40

28.NPV и IRR

Ответ: NPV = −12017 €

Приведённая стоимость растущего аннуитета

((1,03)/(1,1))⁸ = 0,591

PV = 6 500/(0,1 − 0,03)·(1 − 0,591) = 37 982,51

NPV

NPV = 37 982,51 − 50 000 = −€12 017,49

Ответ

NPV = −€12 017,49

NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.

29.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7684

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (26,3 − 32)/6 = −0,95

z₂ = (41,3 − 32)/6 = 1,55

Площадь между

P = Φ(1,55) − Φ(−0,95) = 0,9394 − 0,1711 = 0,7684

Ответ

P = 0,7684

30.Нормальное распределение

Ответ: x = 24,31 min

z для процентиля

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Обратно к x

x = 32 + −1,282·6 = 24,31 min

Ответ

x = 24,31 min

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. Экзамен FE exam проводит NCEES; эта организация не связана с ExamProblems и не поддерживает его.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil