Подготовка к экзамену FE Civil: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (30) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Эффективное напряжение в грунте

Полное напряжение: σ = Σγ_i·h_i
Поровое давление: u = γ_w·(z − z_w)
Эффективное напряжение: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолидационная осадка

Нормально уплотнённый грунт: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Конечное напряжение: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переуплотнённый грунт, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переуплотнённый грунт, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коэффициент переуплотнения: OCR = σ′_p/σ′₀
Время консолидации: t = T_v·H_dr²/c_v
Путь фильтрации: H_dr = H/2 (двусторонний дренаж), H (односторонний дренаж)
Факторы времени: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_A.

L = 4 mP₁ = 45 kN в 1 mP₂ = 25 kN в 2 m

R_A = kN

2.Опорные реакции балокСложная

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_B.

L = 5 mP = 40 kN в 1 mw = 2 kN/m от 2 до 4 m

R_B = kN

3.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

C: 40 kN ↓D: 30 kN ↓G: 30 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC

4.Ферма: метод вырезания узловСложная

G: 10 kN ↓H: 40 kN ↓H: 30 kN ←

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент BG
13элемент DG

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 2 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 4 mw = 8 kN/m от 0 до 4 mx = 2 m

M_x = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой на части пролёта. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 8 mw = 4 kN/m от 4 до 6 m

M_max = kN·m

7.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Найдите наибольший прогиб δ_max в середине пролёта.

w = 15 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии b = 2 m от опоры B. Найдите наибольший прогиб δ_max балки.

P = 28 kNb = 2 mL = 6 mE = 70 GPa (алюминий)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (алюминий)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и свободна вверху. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 1 mE = 70 GPa (алюминий)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 260 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 15 kN·m. Найдите величину напряжения изгиба σ_верх на верхнем крае.

b_f = 240 mmt_f = 20 mmt_w = 8 mmh_w = 220 mmM = 15 kN·m

σ_верх = MPa

13.Эффективное напряжение в грунтеСредняя

Для показанного грунтового разреза найдите поровое давление u в точке X.

z = 6 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 15 kN/m³песок: γ_sat = 19,5 kN/m³

u = kPa

14.Эффективное напряжение в грунтеСложная

Для показанного грунтового разреза найдите вертикальное эффективное напряжение σ′ в точке X.

z = 8 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 17 kN/m³песок: γ_sat = 19 kN/m³глина: γ_sat = 17 kN/m³

σ′ = kPa

15.Консолидационная осадкаСредняя

Слой переуплотнённой глины толщиной 5 m имеет C_c = 0,45, C_r = 0,05 и e₀ = 0,9. В середине слоя эффективное вертикальное напряжение равно 70 kPa , а коэффициент переуплотнения OCR = 3. Новое здание добавляет 130 kPa вертикального напряжения в середине слоя. Найдите осадку первичной консолидации S в mm.

H = 5 mC_c = 0,45C_r = 0,05e₀ = 0,9σ′₀ = 70 kPaOCR = 3Δσ = 130 kPa

S = mm

16.Консолидационная осадкаСложная

Слой глины толщиной 6 m имеет коэффициент консолидации c_v = 2 m²/year. Слой лежит между двумя слоями песка, поэтому вода отводится вверх и вниз. Для средней степени консолидации 90% фактор времени T_v = 0,848. За сколько лет t слой достигнет 90% консолидации?

H = 6 mc_v = 2 m²/годU = 90%T_v = 0,848двусторонний дренаж

t = годы

17.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 2,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 2,5 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 3 m находится в стенке резервуара с жидкостью (морская вода), его верхний край на 3 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 3 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода (ρ = 1000 kg/m³) течёт со скоростью 1,6 m/s по горизонтальной трубе длиной 150 m с внутренним диаметром 200 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,025 и g = 9,81 m/s². Найдите перепад давления Δp на трубе в kPa.

V = 1,6 m/sL = 150 mD = 200 mmf = 0,025ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.Трение в трубах и потери напораСложная

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 200 m с внутренним диаметром 300 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,022. Уровень воды в верхнем резервуаре на 17 m выше, чем в нижнем. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 2 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 2) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Найдите расход Q в L/s.

Δz = 17 mL = 200 mD = 300 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 2K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Трапецеидальный канал (затёртый бетон) имеет ширину по дну 3 m и заложение откосов 2:1 (горизонталь:вертикаль). Вода течёт равномерно с глубиной 2 m. Коэффициент Маннинга n = 0,012, уклон дна S = 0,004. Найдите расход Q в m³/s.

b = 3 my = 2 mz = 2n = 0,012S = 0,004

Q = m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Прямоугольный канал (чистый грунт) шириной 1,5 m должен пропускать 3,4 m³/s при равномерном течении с глубиной 1,3 m. Коэффициент Маннинга n = 0,022. Найдите требуемый уклон дна S (в m/m).

Q = 3,4 m³/sb = 1,5 my = 1,3 mn = 0,022

S = m/m

23.Насосы и мощность насосаСредняя

Насос с КПД 75% подаёт 30 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 80 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите необходимую мощность на валу P_shaft в kW.

Q = 30 L/sH = 80 mη = 75%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

24.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 75 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 29 m выше. Труба длиной 150 m имеет внутренний диаметр 200 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,015; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 8 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². Верхний бак закрыт, и воздух над водой в нём находится под избыточным давлением 250 kPa. Найдите напор H, который должен создать насос.

Q = 75 L/sΔz = 29 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 8p_tank = 250 kPa

H = m

25.Временная стоимость денегСредняя

Вы инвестируете €5 000 под 2 % годовых с непрерывным начислением процентов. Найдите стоимость FV через 16 лет.

PV = €5 000r = 2%t = 16

FV = €

26.Временная стоимость денегСложная

Вы откладываете €200 в конце каждого месяца в течение 22 лет. Счёт даёт 3,6 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько вы накопите в конце? Найдите FV.

A = €2003,6% / 12N = 264

FV = €

27.NPV и IRRСредняя

Инвестиция €60 000 даёт в конце лет с 1 по 3 такие денежные потоки: €27 000, €14 000, €29 000. Стоимость капитала — 10 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

r = 10%CF₀ = −60 000CF₁ = 27 000CF₂ = 14 000CF₃ = 29 000

NPV = €

28.NPV и IRRСложная

Проект стоит €50 000 и приносит €27 500, €17 000, €15 000 в конце годов с 1-го по 3-й. Денежные потоки можно реинвестировать по стоимости капитала 6 %. Найдите модифицированную внутреннюю норму доходности MIRR в процентах.

r = 6%CF₀ = −50 000CF₁ = 27 500CF₂ = 17 000CF₃ = 15 000

MIRR = %

29.Нормальное распределениеСредняя

Пусть массы пакетов распределены нормально со средним 250 g и стандартным отклонением 5 g. Какая доля значений лежит между 250 и 254,25 g? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 250σ = 5x₁ = 250x₂ = 254,25

P =

30.Нормальное распределениеСложная

Пусть баллы за экзамен распределены нормально со средним 65 баллов и стандартным отклонением 10 баллов. Найдите значение x, ниже которого лежат 97,5 % значений (97,5-й процентиль).

μ = 65σ = 10P = 97,5%

x = баллов

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 46,25 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 45·1 + 25·2

R_B = 95/4 = 23,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 23,75 = 46,25 kN

Ответ

R_A = 46,25 kN

2.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 10,4 kN

Расчётная схема

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 2·2 = 4 kN, приложена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 40·1 + 2·2·3

R_B = 52/5 = 10,4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 44 − 10,4 = 33,6 kN

Ответ

R_B = 10,4 kN

3.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент BF

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел B

AB и BC лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 42,5 kN (T), BC: 42,5 kN (T), CD: 57,5 kN (T), DE: 57,5 kN (T), FG: 85 kN (C), GH: 85 kN (C), AF: 60,1 kN (C), HE: 81,32 kN (C), BF: 0, CG: 30 kN (C), DH: 30 kN (T), FC: 60,1 kN (T), HC: 38,89 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: BF

4.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 2,5 kN (C), BC: 25 kN (T), CD: 25 kN (T), DE: 39,17 kN (T), FG: 27,5 kN (C), GH: 69,17 kN (C), AF: 34,38 kN (C), HE: 48,96 kN (C), BF: 20,63 kN (T), CG: 0, DH: 10,63 kN (C), BG: 34,38 kN (C), DG: 17,71 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: CG

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 16 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN, приложена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 8·4·2

R_B = 64/4 = 16 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 16 = 16 kN

Рассеките в x = 2 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 16·2 − 8·2·1 = 16 kN·m

Ответ

M_x = 16 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 13,13 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 4·2 = 8 kN, приложена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 4·2·5

R_B = 40/8 = 5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 8 − 5 = 3 kN

Нулевая поперечная сила

Поперечная сила начинается с R_A, постоянна на любом незагруженном участке и убывает с наклоном w в пределах нагрузки.

R_A − w·(x₀ − 4) = 0

x₀ = 4 + 3/4 = 4,75 m

Наибольший момент

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 4)²/2 = 3·4,75 − 4·0,75²/2 = 13,13 kN·m

Ответ

M_max = 13,13 kN·m

7.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 25,23 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 3000 mm

EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Прогиб

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·3000⁴/(384·6,27 × 10¹¹) = 25,23 mm

Ответ

δ_max = 25,23 mm

8.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 67,32 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 28000 N, b = 2000 mm, L = 6000 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Положение максимума

Приравнивание угла поворота на более длинном участке к нулю даёт положение.

x = √((L² − b²)/3) = √((6000² − 2000²)/3) = 3266 mm

Максимальный прогиб

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 67,32 mm

Ответ

δ_max = 67,32 mm

9.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 38,59 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/1500² = 38586 N = 38,59 kN

Ответ

P_cr = 38,59 kN

10.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 69,09 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 2·1000 = 2000 mm

KL/r = 2000/20 = 100

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69,09 MPa

Ответ

σ_cr = 69,09 MPa

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 6,391 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 260·20 = 5200 mm², y_f = 120 + 20/2 = 130 mm

стенка: A_w = 10·120 = 1200 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5200·130 + 1200·60)/6400 = 116,9 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 260·20³/12 + 5200·(130 − 116,9)² = 1,069 × 10⁶ mm⁴

стенка: 10·120³/12 + 1200·(60 − 116,9)² = 5,322 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,069 × 10⁶ + 5,322 × 10⁶ = 6,391 × 10⁶ mm⁴ = 6,391 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 6,391 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_верх = 24,53 MPa

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 240·20 = 4800 mm², y_f = 220 + 20/2 = 230 mm

стенка: A_w = 8·220 = 1760 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4800·230 + 1760·110)/6560 = 197,8 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 240·20³/12 + 4800·(230 − 197,8)² = 5,135 × 10⁶ mm⁴

стенка: 8·220³/12 + 1760·(110 − 197,8)² = 2,067 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,135 × 10⁶ + 2,067 × 10⁷ = 2,58 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Верхний край на расстоянии h − ȳ от оси.

y = 240 − 197,8 = 42,2 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·42,2/2,58 × 10⁷ = 24,53 MPa

Ответ

σ_верх = 24,53 MPa

13.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: u = 19,62 kPa

Эффективное напряжение (Терцаги): скелет грунта воспринимает σ′ = σ − u. Полное напряжение σ — это вес всего, что над точкой, Σγ·h, с удельным весом сухого грунта выше уровня грунтовых вод и водонасыщенного — ниже. Ниже уровня грунтовых вод поровое давление гидростатическое: u = γ_w·(глубина ниже уровня грунтовых вод).

Поровое давление

Давление воды растёт с глубиной ниже уровня грунтовых вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·2 = 19,62 kPa

Ответ

u = 19,62 kPa

14.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: σ′ = 81,14 kPa

Полное напряжение

Сложите вес каждого слоя грунта над X. Выше уровня грунтовых вод берите удельный вес сухого грунта, ниже — водонасыщенного.

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·4

σ = 17·2 + 19·2 + 17·4 = 140 kPa

Поровое давление

Давление воды растёт с глубиной ниже уровня грунтовых вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·6 = 58,86 kPa

Эффективное напряжение

σ′ = σ − u = 140 − 58,86 = 81,14 kPa

Ответ

σ′ = 81,14 kPa

15.Консолидационная осадка

Ответ: S = 59,99 mm

Первичная консолидация слоя глины толщиной H по эффективному напряжению в середине слоя: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально уплотнённая глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переуплотнённая глина повторно сжимается по C_r до давления предварительного уплотнения σ′_p и следует C_c только выше него. Время: t = T_v·H_dr²/c_v, где путь фильтрации H_dr равен H/2, когда вода может уходить вверх и вниз, и H, когда дренирует только одна сторона.

Давление предварительного уплотнения

σ′_p = OCR·σ′₀ = 3·70 = 210 kPa

Сравните с давлением предварительного уплотнения

σ′_f = 70 + 130 = 200 kPa ≤ 210 kPa

Осадка

Глина остаётся на линии повторного сжатия.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,05·5/(1 + 0,9)·log₁₀(200/70) = 59,99 mm

Ответ

S = 59,99 mm

16.Консолидационная осадка

Ответ: t = 3,816 годы

Путь фильтрации

H_dr = H/2 = 6/2 = 3 m

Время

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,848·3²/2 = 3,816 годы

Ответ

t = 3,816 годы

17.Гидростатическое давление

Ответ: F = 91,97 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 2,5 + 2,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,75·2,5 = 91,97 kN

Ответ

F = 91,97 kN

18.Гидростатическое давление

Ответ: F = 320,5 kN

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 3 + 2,5/2 = 4,25 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·4,25·7,5 = 320,5 kN

Ответ

F = 320,5 kN

19.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δp = 24 kPa

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Потеря напора

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(150/0,2)·1,6²/(2·9,81) = 2,446 m

Перепад давления

Труба горизонтальна, а скорость не меняется, поэтому уравнение энергии сводится к Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·2,446 = 24000 Pa = 24 kPa

Ответ

Δp = 24 kPa

20.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Q = 298 L/s

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,022·200/0,3 = 14,67

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 2 + 1,0 = 4,1

Уравнение энергии

Обе поверхности открыты в атмосферу и практически неподвижны, поэтому весь перепад Δz теряется в трубе.

17 = (14,67 + 4,1)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·17/18,77) = 4,216 m/s

Расход

Q = V·π·D²/4 = 4,216·0,07069 = 0,298 m³/s = 298 L/s

Ответ

Q = 298 L/s

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 82,03 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (3 + 2·2)·2 = 14 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·2·√(1 + 2²) = 11,94 m

R = A/P = 1,172 m

Скорость

V = (1/0,012)·1,172^2/3·0,004^1/2 = 5,859 m/s

Расход

Q = A·V = 14·5,859 = 82,03 m³/s

Ответ

Q = 82,03 m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,003963 m/m

Геометрия

A = b·y = 1,5·1,3 = 1,95 m²

P = b + 2y = 1,5 + 2·1,3 = 4,1 m

R = A/P = 0,4756 m

Выразите S из формулы Маннинга

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,022·3,4/(1,95·0,6093) = 0,06296

S = 0,06296² = 0,003963

Ответ

S = 0,003963

Это понижение на 3,963 m на километр.

23.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_shaft = 31,39 kW

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·80 = 23,54 kW

Мощность на валу

P_shaft = P_h/η = 23,54/0,75 = 31,39 kW

Ответ

P_shaft = 31,39 kW

24.Насосы и мощность насоса

Ответ: H = 60,08 m

Скорость

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s

V²/(2g) = 0,2905 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (11,25 + 8)·0,2905 = 5,592 m

Пьезометрический напор

p/(ρ·g) = 250000/(1000·9,81) = 25,48 m

Напор насоса

Обе поверхности практически неподвижны, поэтому скоростного напора нет.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 29 + 25,48 + 5,592 = 60,08 m

Ответ

H = 60,08 m

25.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 6886 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Показатель степени

r·t = 0,02·16 = 0,32

e^0,32 = 1,377

Будущая стоимость

FV = 5 000·1,377 = €6 885,64

Ответ

FV = €6 885,64

26.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 80346 €

Месячная ставка и число взносов

i = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = 12·22 = 264

Будущая стоимость взносов

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 200·(2,205 − 1)/0,003 = €80 346,10

Ответ

FV = €80 346,10

Сами вы внесли €52 800; остальное — проценты.

27.NPV и IRR

Ответ: NPV = −2096 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость каждого потока

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,1)¹ = 27 000/1,1 = 24 545,45

CF₂/(1 + 0,1)² = 14 000/1,21 = 11 570,25

CF₃/(1 + 0,1)³ = 29 000/1,331 = 21 788,13

Сложите

NPV = €−2 096,17

Ответ

NPV = €−2 096,17

NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.

28.NPV и IRR

Ответ: MIRR = 8,531 %

Модифицированная IRR: нарастите каждое поступление до конца проекта по ставке реинвестирования (обычно по стоимости капитала), чтобы получить конечную стоимость TV. MIRR — это ставка, превращающая первоначальные инвестиции в TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Конечная стоимость поступлений

27 500·1,06² = 30 899,00

17 000·1,06¹ = 18 020,00

15 000·1,06⁰ = 15 000,00

TV = 63 919,00

MIRR

MIRR = (63 919,00/50 000)^1/3 − 1 = 8,531%

Ответ

MIRR = 8,531%

29.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,3023

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (250 − 250)/5 = 0

z₂ = (254,25 − 250)/5 = 0,85

Площадь между

P = Φ(0,85) − Φ(0) = 0,8023 − 0,5 = 0,3023

Ответ

P = 0,3023

30.Нормальное распределение

Ответ: x = 84,6 баллов

z для процентиля

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

Обратно к x

x = 65 + 1,96·10 = 84,6 баллов

Ответ

x = 84,6 баллов

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. Экзамен FE exam проводит NCEES; эта организация не связана с ExamProblems и не поддерживает его.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil