Подготовка к экзамену FE Civil: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (30) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Эффективное напряжение в грунте

Полное напряжение: σ = Σγ_i·h_i
Поровое давление: u = γ_w·(z − z_w)
Эффективное напряжение: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолидационная осадка

Нормально уплотнённый грунт: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Конечное напряжение: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переуплотнённый грунт, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переуплотнённый грунт, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коэффициент переуплотнения: OCR = σ′_p/σ′₀
Время консолидации: t = T_v·H_dr²/c_v
Путь фильтрации: H_dr = H/2 (двусторонний дренаж), H (односторонний дренаж)
Факторы времени: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 1 m от A и сосредоточенным моментом M, направленным против часовой стрелки, на расстоянии 3,5 m от A. Найдите вертикальную реакцию R_B, считая положительным направление вверх.

L = 5 mP = 65 kN в 1 mM = 10 kN·m (против часовой стрелки) в 3,5 m

R_B = kN

2.Опорные реакции балокСложная

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_B.

L = 6 mP = 40 kN в 4,5 mw = 6 kN/m от 2 до 6 m

R_B = kN

3.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

C: 40 kN ↓D: 20 kN ↓F: 35 kN ↓G: 20 kN ↓H: 40 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC

4.Ферма: метод вырезания узловСложная

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AB в стержне AB. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 8 mвысота = 4 mB на расстоянии 5 m от Aвертикальная нагрузка = 15 kNгоризонтальная нагрузка = 25 kN →

F_AB = kN

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенным моментом M₀ = 35 kN·m, действующим по часовой стрелке, в точке x = 2 m от A; других нагрузок нет. Найдите изгибающий момент M_x сразу справа от сосредоточенного момента. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 8 mM₀ = 35 kN·m по часовой стрелке, в точке 2 m

M_x = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 3,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 6 mP = 50 kN в 3 mw = 6 kN/m от 0 до 6 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

7.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии a = 2 m от опоры A. Найдите прогиб δ_P под силой.

P = 8 kNa = 2 mL = 5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена двумя равными сосредоточенными силами P в третях пролёта (на расстоянии L/3 от каждой опоры). Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб в середине пролёта δ_max.

P = 10 kNL = 8 mE = 200 GPa (сталь)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 20 × 60 mm

P_cr = kN

10.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. Она должна выдерживать 50 kN с коэффициентом запаса устойчивости 2,5. Найдите наименьший диаметр d.

P = 50 kNn = 2,5L = 1,5 mE = 70 GPa (алюминий)

d = mm

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Симметричный двутавр имеет полки шириной 230 mm и толщиной 24 mm, полную высоту 400 mm и стенку толщиной 12 mm. Найдите его момент инерции I_x относительно горизонтальной центральной оси x.

B = 230 mmH = 400 mmt_f = 24 mmt_w = 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Сварной двутавр имеет верхнюю полку 110 × 22 mm, стенку высотой 230 mm и толщиной 8 mm и нижнюю полку 300 × 16 mm (ширина × толщина). Найдите его момент инерции I_x относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

верхняя полка: 110 × 22 mmстенка: 8 × 230 mmнижняя полка: 300 × 16 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.Эффективное напряжение в грунтеСредняя

Для показанного грунтового разреза найдите вертикальное эффективное напряжение σ′ в точке X.

z = 6 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 16,5 kN/m³песок: γ_sat = 20 kN/m³

σ′ = kPa

14.Эффективное напряжение в грунтеСложная

Для показанного грунтового разреза найдите полное вертикальное напряжение σ в точке X.

z = 5 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 15 kN/m³песок: γ_sat = 20,5 kN/m³глина: γ_sat = 17,5 kN/m³

σ = kPa

15.Консолидационная осадкаСредняя

Слой переуплотнённой глины толщиной 8 m имеет C_c = 0,2, C_r = 0,06 и e₀ = 0,95. В середине слоя эффективное вертикальное напряжение равно 70 kPa , а коэффициент переуплотнения OCR = 1,5. Новое здание добавляет 40 kPa вертикального напряжения в середине слоя. Найдите осадку первичной консолидации S в mm.

H = 8 mC_c = 0,2C_r = 0,06e₀ = 0,95σ′₀ = 70 kPaOCR = 1,5Δσ = 40 kPa

S = mm

16.Консолидационная осадкаСложная

Слой глины толщиной 8 m имеет коэффициент консолидации c_v = 5 m²/year. Слой лежит между двумя слоями песка, поэтому вода отводится вверх и вниз. Для средней степени консолидации 70% фактор времени T_v = 0,403. За сколько лет t слой достигнет 70% консолидации?

H = 8 mc_v = 5 m²/годU = 70%T_v = 0,403двусторонний дренаж

t = годы

17.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 2 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 1 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 1 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1 m находится в стенке резервуара с жидкостью (масло), его верхний край на 1 m ниже поверхности. Найдите глубину y_cp центра давления под поверхностью.

d = 1 mH = 3 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода (ρ = 1000 kg/m³) течёт со скоростью 2,8 m/s по горизонтальной трубе длиной 300 m с внутренним диаметром 250 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,018 и g = 9,81 m/s². Найдите перепад давления Δp на трубе в kPa.

V = 2,8 m/sL = 300 mD = 250 mmf = 0,018ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.Трение в трубах и потери напораСложная

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 200 m с внутренним диаметром 150 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,022. Уровень воды в верхнем резервуаре на 17 m выше, чем в нижнем. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 3 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 5) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Найдите расход Q в L/s.

Δz = 17 mL = 200 mD = 150 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 5K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Прямоугольный канал (грунт, покрытый травой) имеет ширину 2,5 m. Вода течёт равномерно с глубиной 2,3 m. Коэффициент Маннинга n = 0,03, уклон дна S = 0,0008. Найдите расход Q в m³/s.

b = 2,5 my = 2,3 mn = 0,03S = 0,0008

Q = m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Прямоугольный канал (чистый грунт) шириной 2,5 m должен пропускать 1,7 m³/s при равномерном течении с глубиной 1 m. Коэффициент Маннинга n = 0,022. Найдите требуемый уклон дна S (в m/m).

Q = 1,7 m³/sb = 2,5 my = 1 mn = 0,022

S = m/m

23.Насосы и мощность насосаСредняя

Насос с КПД 72% подаёт 40 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 62 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите необходимую мощность на валу P_shaft в kW.

Q = 40 L/sH = 62 mη = 72%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

24.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 100 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 5 m выше. Труба длиной 400 m имеет внутренний диаметр 250 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,02; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 5 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². Верхний бак закрыт, и воздух над водой в нём находится под избыточным давлением 350 kPa. Найдите напор H, который должен создать насос.

Q = 100 L/sΔz = 5 mL = 400 mD = 250 mmf = 0,02ΣK = 5p_tank = 350 kPa

H = m

25.Временная стоимость денегСредняя

Кредитная карта начисляет номинальную процентную ставку 24 % годовых с ежедневно капитализацией. Найдите эффективную годовую ставку EAR в процентах.

r = 24%m = 365

EAR = %

26.Временная стоимость денегСложная

Вы откладываете €300 в конце каждого месяца в течение 14 лет. Счёт даёт 4,8 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько вы накопите в конце? Найдите FV.

A = €3004,8% / 12N = 168

FV = €

27.NPV и IRRСредняя

Проект стоит €250 000 сегодня. Он приносит €22 000 в конце первого года, а затем денежный поток растёт на 4 % в год бессрочно. Стоимость капитала — 12 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €250 000CF₁ = €22 000g = 4%r = 12%

NPV = €

28.NPV и IRRСложная

Проект стоит €25 000 и приносит €15 000, €13 000 в конце лет с 1 по 2. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −25 000CF₁ = 15 000CF₂ = 13 000

IRR = %

29.Нормальное распределениеСредняя

Пусть результаты IQ-тестов распределены нормально со средним 100 баллов и стандартным отклонением 15 баллов. Какая доля значений лежит между 82 и 130,75 баллов? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 100σ = 15x₁ = 82x₂ = 130,75

P =

30.Нормальное распределениеСложная

Диаметры отверстий D нормально распределены со средним 25,04 mm и стандартным отклонением 0,02 mm. Диаметры валов d независимы и нормально распределены со средним 25 mm и стандартным отклонением 0,015 mm. Случайно выбранный вал подходит, если D − d > 0. Найдите вероятность P того, что он подходит. Округлите z до двух знаков после запятой.

отверстие: μ = 25,04 mm, σ = 0,02 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 11 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Моменты относительно A

Против часовой стрелки — положительно.

ΣM_A = 0: R_B·5 − 65·1 + 10 = 0

R_B = 55/5 = 11 kN

Равновесие по вертикали

R_A = 65 − 11 = 54 kN

Ответ

R_B = 11 kN

Отрицательная реакция направлена вниз.

2.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 46 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, приложена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 40·4,5 + 6·4·4

R_B = 276/6 = 46 kN

ΣF_y = 0: R_A = 64 − 46 = 18 kN

Ответ

R_B = 46 kN

3.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент BF

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел B

AB и BC лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 95 kN (T), BC: 95 kN (T), CD: 111,7 kN (T), DE: 111,7 kN (T), FG: 143,3 kN (C), GH: 143,3 kN (C), AF: 118,8 kN (C), HE: 139,6 kN (C), BF: 0, CG: 20 kN (C), DH: 20 kN (T), FC: 60,42 kN (T), HC: 39,58 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: BF

4.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AB = 11,01 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 15·5 + 25·4 → C_y = 21,88 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 21,88 = −6,875 kN

ΣF_x = 0: A_x = −25 kN

Узел A

Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.

sin α = 4/6,403 = 0,6247

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −−6,875/0,6247 = 11,01 kN

Ответ

F_AB = 11,01 kN (растяжение)

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 26,25 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Приложенный сосредоточенный момент вызывает на эпюре изгибающих моментов скачок, равный его величине.

Опорные реакции

Моменты относительно A, против часовой стрелки положительны: R_B·L − M₀ = 0. Равновесие по вертикали: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 35/8 = 4,375 kN (вверх)

R_A = −R_B = −4,375 kN (вниз)

Сечение сразу справа от сосредоточенного момента

Теперь левая часть содержит R_A и сосредоточенный момент.

M_x = R_A·a + M₀ = −4,375·2 + 35 = 26,25 kN·m

Ответ

M_x = 26,25 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 88,75 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, приложена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 50·3 + 6·6·3

R_B = 258/6 = 43 kN

ΣF_y = 0: R_A = 86 − 43 = 43 kN

Рассеките в x = 3,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 43·3,5 − 50·(3,5 − 3) − 6·3,5·1,75 = 88,75 kN·m

Ответ

M_x = 88,75 kN·m

7.Прогиб балки

Ответ: δ_P = 30,62 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 8000 N, a = 2000 mm, b = 3000 mm, L = 5000 mm

EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Прогиб под силой

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 8000·2000²·3000²/(3·6,27 × 10¹¹·5000) = 30,62 mm

Ответ

δ_P = 30,62 mm

8.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 75,72 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 10000 N, L = 8000 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Одна сила в точке L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 2667 mm

δ₁ = 37,86 mm

Складываем обе силы

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 75,72 mm

Ответ

δ_max = 75,72 mm

9.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 2,193 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

Расчётная длина

KL = 1·6000 = 6000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·40000/6000² = 2193 N = 2,193 kN

Ответ

P_cr = 2,193 kN

10.Устойчивость колонн

Ответ: d = 44,9 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 2,5·50000 = 125000 N

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·125000·1050²/(π³·70000))^(1/4) = 44,9 mm

Ответ

d = 44,9 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 93,54, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 434,3 × 10⁶ mm⁴

Момент инерции сечения: для прямоугольника относительно его собственной центральной оси I = bh³/12, а относительно основания bh³/3 (теорема о параллельном переносе осей I = I_c + A·d²). Отверстие учитывают, вычитая его I, если обе части отнесены к одной и той же оси. Момент сопротивления сечения S = I/c, где c — расстояние до крайнего волокна.

Наружный прямоугольник минус два боковых выреза

Оба выреза вместе имеют ширину (B − t_w) и высоту h_w = H − 2t_f и отнесены к оси x.

h_w = 400 − 2·24 = 352 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (230·400³ − 218·352³)/12

I_x = 4,343 × 10⁸ mm⁴ = 434,3 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 434,3 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 110,4 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбиваем на три прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

верхняя полка: A = 2420 mm², y = 257 mm

стенка: A = 1840 mm², y = 131 mm

нижняя полка: A = 4800 mm², y = 8 mm

Центр тяжести

ȳ = (2420·257 + 1840·131 + 4800·8)/9060 = 99,49 mm

Теорема о параллельном переносе осей

верхняя полка: 110·22³/12 + 2420·157,5² = 6,014 × 10⁷ mm⁴

стенка: 8·230³/12 + 1840·31,51² = 9,938 × 10⁶ mm⁴

нижняя полка: 300·16³/12 + 4800·91,49² = 4,028 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,014 × 10⁷ + 9,938 × 10⁶ + 4,028 × 10⁷

I_x = 1,104 × 10⁸ mm⁴ = 110,4 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 110,4 × 10⁶ mm⁴

13.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: σ′ = 86,38 kPa

Эффективное напряжение (Терцаги): скелет грунта воспринимает σ′ = σ − u. Полное напряжение σ — это вес всего, что над точкой, Σγ·h, с удельным весом сухого грунта выше уровня грунтовых вод и водонасыщенного — ниже. Ниже уровня грунтовых вод поровое давление гидростатическое: u = γ_w·(глубина ниже уровня грунтовых вод).

Полное напряжение

Сложите вес каждого слоя грунта над X. Выше уровня грунтовых вод берите удельный вес сухого грунта, ниже — водонасыщенного.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16,5·4 + 20·2 = 106 kPa

Поровое давление

Давление воды растёт с глубиной ниже уровня грунтовых вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·2 = 19,62 kPa

Эффективное напряжение

σ′ = σ − u = 106 − 19,62 = 86,38 kPa

Ответ

σ′ = 86,38 kPa

14.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: σ = 91 kPa

Полное напряжение

σ = γ_d·1 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·2

σ = 15·1 + 20,5·2 + 17,5·2 = 91 kPa

Ответ

σ = 91 kPa

15.Консолидационная осадка

Ответ: S = 59,92 mm

Первичная консолидация слоя глины толщиной H по эффективному напряжению в середине слоя: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально уплотнённая глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переуплотнённая глина повторно сжимается по C_r до давления предварительного уплотнения σ′_p и следует C_c только выше него. Время: t = T_v·H_dr²/c_v, где путь фильтрации H_dr равен H/2, когда вода может уходить вверх и вниз, и H, когда дренирует только одна сторона.

Давление предварительного уплотнения

σ′_p = OCR·σ′₀ = 1,5·70 = 105 kPa

Сравните с давлением предварительного уплотнения

σ′_f = 70 + 40 = 110 kPa > 105 kPa

Осадка

Повторное сжатие до σ′_p, первичное сжатие за ним.

S = 0,06·8/(1 + 0,95)·log₁₀(105/70) + 0,2·8/(1 + 0,95)·log₁₀(110/105)

S = 43,35 + 16,58 = 59,92 mm

Ответ

S = 59,92 mm

16.Консолидационная осадка

Ответ: t = 1,29 годы

Путь фильтрации

H_dr = H/2 = 8/2 = 4 m

Время

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,403·4²/5 = 1,29 годы

Ответ

t = 1,29 годы

17.Гидростатическое давление

Ответ: F = 78,48 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·4 = 78,48 kN

Ответ

F = 78,48 kN

18.Гидростатическое давление

Ответ: y_cp = 2,8 m

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2,5 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·2,5·3 = 64,75 kN

Центр давления

Давление растёт с глубиной, поэтому равнодействующая приложена ниже центра тяжести.

I_c = b·H³/12 = 1·3³/12 = 2,25 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2,5 + 2,25/(2,5·3) = 2,8 m

Ответ

y_cp = 2,8 m

19.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δp = 84,67 kPa

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Потеря напора

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(300/0,25)·2,8²/(2·9,81) = 8,631 m

Перепад давления

Труба горизонтальна, а скорость не меняется, поэтому уравнение энергии сводится к Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·8,631 = 84672 Pa = 84,67 kPa

Ответ

Δp = 84,67 kPa

20.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Q = 53,25 L/s

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,022·200/0,15 = 29,33

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 + 1,0 = 7,4

Уравнение энергии

Обе поверхности открыты в атмосферу и практически неподвижны, поэтому весь перепад Δz теряется в трубе.

17 = (29,33 + 7,4)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·17/36,73) = 3,013 m/s

Расход

Q = V·π·D²/4 = 3,013·0,01767 = 0,05325 m³/s = 53,25 L/s

Ответ

Q = 53,25 L/s

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 4,71 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = b·y = 2,5·2,3 = 5,75 m²

P = b + 2y = 2,5 + 2·2,3 = 7,1 m

R = A/P = 0,8099 m

Скорость

V = (1/0,03)·0,8099^2/3·0,0008^1/2 = 0,8191 m/s

Расход

Q = A·V = 5,75·0,8191 = 4,71 m³/s

Ответ

Q = 4,71 m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,00049 m/m

Геометрия

A = b·y = 2,5·1 = 2,5 m²

P = b + 2y = 2,5 + 2·1 = 4,5 m

R = A/P = 0,5556 m

Выразите S из формулы Маннинга

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,022·1,7/(2,5·0,6758) = 0,02214

S = 0,02214² = 0,00049

Ответ

S = 0,00049

Это понижение на 0,49 m на километр.

23.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_shaft = 33,79 kW

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·62 = 24,33 kW

Мощность на валу

P_shaft = P_h/η = 24,33/0,72 = 33,79 kW

Ответ

P_shaft = 33,79 kW

24.Насосы и мощность насоса

Ответ: H = 48,5 m

Скорость

V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s

V²/(2g) = 0,2115 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (32 + 5)·0,2115 = 7,826 m

Пьезометрический напор

p/(ρ·g) = 350000/(1000·9,81) = 35,68 m

Напор насоса

Обе поверхности практически неподвижны, поэтому скоростного напора нет.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 5 + 35,68 + 7,826 = 48,5 m

Ответ

H = 48,5 m

25.Временная стоимость денег

Ответ: EAR = 27,11 %

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка за период

r/m = 0,24/365 = 0,0006575

Наращение за один год

EAR = (1 + 0,0006575)³⁶⁵ − 1 = 1,271 − 1 = 27,11%

Ответ

EAR = 27,11%

Если проценты начисляются чаще одного раза в год, EAR всегда выше номинальной ставки.

26.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 71665 €

Месячная ставка и число взносов

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·14 = 168

Будущая стоимость взносов

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 300·(1,956 − 1)/0,004 = €71 664,50

Ответ

FV = €71 664,50

Сами вы внесли €50 400; остальное — проценты.

27.NPV и IRR

Ответ: NPV = 25000 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Стоимость денежных потоков

PV = 22 000/(0,12 − 0,04) = 275 000,00

NPV

NPV = 275 000,00 − 250 000 = €25 000,00

Ответ

NPV = €25 000,00

NPV положительна, значит проект зарабатывает больше требуемой доходности.

28.NPV и IRR

Ответ: IRR = 8,102 %

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(5%) = 1 077,10

NPV(10%) = −619,83

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 5 + 5·1 077,10/(1 077,10 − (−619,83)) = 8,174%

точно: NPV(8,102%) = 0 → IRR = 8,102%

Ответ

IRR = 8,102%

29.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,8647

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (82 − 100)/15 = −1,2

z₂ = (130,75 − 100)/15 = 2,05

Площадь между

P = Φ(2,05) − Φ(−1,2) = 0,9798 − 0,1151 = 0,8647

Ответ

P = 0,8647

30.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,9452

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение разности

μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,025 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,04)/0,025 = −1,6

Вероятность

P = 1 − Φ(−1,6) = 0,9452

Ответ

P = 0,9452

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. Экзамен FE exam проводит NCEES; эта организация не связана с ExamProblems и не поддерживает его.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil