Подготовка к экзамену FE Civil: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (30) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Эффективное напряжение в грунте

Полное напряжение: σ = Σγ_i·h_i
Поровое давление: u = γ_w·(z − z_w)
Эффективное напряжение: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолидационная осадка

Нормально уплотнённый грунт: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Конечное напряжение: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переуплотнённый грунт, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переуплотнённый грунт, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коэффициент переуплотнения: OCR = σ′_p/σ′₀
Время консолидации: t = T_v·H_dr²/c_v
Путь фильтрации: H_dr = H/2 (двусторонний дренаж), H (односторонний дренаж)
Факторы времени: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя

Балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную опору в B на расстоянии 3 m от A и консольный свес за B до свободного конца C. Найдите вертикальную реакцию R_A, считая положительным направление вверх.

AB = 3 mAC = 4 mP₁ = 10 kN в 0,5 mP₂ = 40 kN в 4 m

R_A = kN

2.Опорные реакции балокСложная

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. На расстоянии 2 m от A действует сила P, наклонённая под углом 60° к горизонтали, а на расстоянии 3,5 m от A — вертикальная сила Q. Найдите величину полной силы реакции R_A в шарнире A.

L = 5 mP = 40 kN в 2 m, θ = 60°Q = 50 kN в 3,5 m

R_A = kN

3.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

D: 35 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент BG
13элемент DG

4.Ферма: метод вырезания узловСложная

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AB в стержне AB. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 5 mвысота = 4 mB на расстоянии 1 m от Aвертикальная нагрузка = 25 kNгоризонтальная нагрузка = 20 kN →

F_AB = kN

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена двумя сосредоточенными силами. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 4 mP₁ = 50 kN в 1 mP₂ = 80 kN в 3 m

M_max = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Балка опирается на неподвижный шарнир в A и подвижную опору в B и имеет консольный свес длиной 2,5 m за B до свободного конца C. Равномерно распределённая нагрузка w действует по всей длине A–C. Найдите наибольший положительный изгибающий момент M_max между опорами.

L = 8,5 mw = 4 kN/m от 0 до 8,5 mопоры при x = 0 и x = 6 m

M_max = kN·m

7.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Найдите наибольший прогиб δ_max в середине пролёта.

w = 12 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (алюминий)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Прогиб балкиСложная

Балка защемлена в A и шарнирно оперта в B (консоль с дополнительной опорой). Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине. EI постоянна. Найдите величину изгибающего момента M_A в заделке.

L = 3 mw = 4 kN/m

M_A = kN·m

9.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и свободна вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 40 × 50 mm

P_cr = kN

10.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (алюминий) шарнирно оперта с обоих концов. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 4 mE = 70 GPa (алюминий)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Швеллер расположен открытой стороной вверх: стенка-основание шириной 140 mm с двумя вертикальными полками полной высотой 160 mm. Толщина основания и полок 12 mm. Найдите высоту ȳ центра тяжести над нижней кромкой.

b = 140 mmh = 160 mmt = 12 mm

ȳ = mm

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Сварной двутавр имеет верхнюю полку 110 × 22 mm, стенку высотой 210 mm и толщиной 16 mm и нижнюю полку 200 × 14 mm (ширина × толщина). Найдите его момент инерции I_x относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

верхняя полка: 110 × 22 mmстенка: 16 × 210 mmнижняя полка: 200 × 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.Эффективное напряжение в грунтеСредняя

Для показанного грунтового разреза найдите вертикальное эффективное напряжение σ′ в точке X.

z = 8 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 16 kN/m³песок: γ_sat = 19 kN/m³

σ′ = kPa

14.Эффективное напряжение в грунтеСложная

Для показанного грунтового разреза найдите поровое давление u в точке X.

z = 5,5 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 15,5 kN/m³песок: γ_sat = 19,5 kN/m³глина: γ_sat = 18,5 kN/m³

u = kPa

15.Консолидационная осадкаСредняя

Слой переуплотнённой глины толщиной 6 m имеет C_c = 0,35, C_r = 0,05 и e₀ = 1,1. В середине слоя эффективное вертикальное напряжение равно 110 kPa , а давление предварительного уплотнения равно 220 kPa. Новое здание добавляет 105 kPa вертикального напряжения в середине слоя. Найдите осадку первичной консолидации S в mm.

H = 6 mC_c = 0,35C_r = 0,05e₀ = 1,1σ′₀ = 110 kPaσ′_p = 220 kPaΔσ = 105 kPa

S = mm

16.Консолидационная осадкаСложная

В лабораторном компрессионном испытании образец глины толщиной 20 mm с дренированием сверху и снизу достигает 50% консолидации за 6 min. В природе та же глина образует слой толщиной 8,5 m. Слой лежит между двумя слоями песка, поэтому вода отводится вверх и вниз. За сколько суток t природный слой достигнет 50% консолидации?

h_lab = 20 mmt_lab = 6 minH = 8,5 mв природе: двусторонний дренаж

t = сут

17.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 3 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 1,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 1,5 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 3 m находится в стенке резервуара с жидкостью (масло), его верхний край на 1,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 1,5 mH = 2 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода течёт с расходом 100 L/s по трубе длиной 50 m с внутренним диаметром 250 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,028 и g = 9,81 m/s². Найдите потерю напора на трение h_f.

Q = 100 L/sL = 50 mD = 250 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Трение в трубах и потери напораСложная

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 200 m с внутренним диаметром 250 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,02. Уровень воды в верхнем резервуаре на 23 m выше, чем в нижнем. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 2 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 0,2) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Найдите расход Q в L/s.

Δz = 23 mL = 200 mD = 250 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 0,2K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Трапецеидальный канал (чистый грунт) имеет ширину по дну 3 m и заложение откосов 1:1 (горизонталь:вертикаль). Вода течёт равномерно с глубиной 0,5 m. Коэффициент Маннинга n = 0,022, уклон дна S = 0,0005. Найдите расход Q в m³/s.

b = 3 my = 0,5 mz = 1n = 0,022S = 0,0005

Q = m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Трапецеидальный канал (необработанный бетон) с шириной по дну 2 m и заложением откосов 2:1 (горизонталь:вертикаль) должен пропускать 7,5 m³/s при равномерном течении с глубиной 0,9 m. Коэффициент Маннинга n = 0,014. Найдите требуемый уклон дна S (в m/m).

Q = 7,5 m³/sb = 2 my = 0,9 mz = 2n = 0,014

S = m/m

23.Насосы и мощность насосаСредняя

Насос подаёт 50 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 62 m. КПД насоса 75%, а КПД приводящего его электродвигателя 95%. Примите g = 9,81 m/s². Найдите электрическую мощность P_el, потребляемую двигателем, в kW.

Q = 50 L/sH = 62 mη_pump = 75%η_motor = 95%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

24.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 120 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 7 m выше. Труба длиной 300 m имеет внутренний диаметр 250 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,022; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 5 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². Найдите напор H, который должен создать насос.

Q = 120 L/sΔz = 7 mL = 300 mD = 250 mmf = 0,022ΣK = 5

H = m

25.Временная стоимость денегСредняя

Через 3 лет вам нужно €5 000. Счёт даёт 3 % годовых с капитализацией ежемесячной. Сколько нужно положить сегодня? Найдите приведённую стоимость PV.

FV = €5 0003% / 12n = 3

PV = €

26.Временная стоимость денегСложная

Кредит €25 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 6 лет. Ставка — 5,4 % годовых с ежемесячной капитализацией. Найдите ежемесячный платёж A.

P = €25 0005,4% / 12N = 72

A = €

27.NPV и IRRСредняя

Станок стоит €80 000 сегодня. Он приносит €30 000 в конце каждого года в течение 3 лет, а затем может быть продан за €8 000. Стоимость капитала — 8 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €80 000CF = €30 000S = €8 000n = 3r = 8%

NPV = €

28.NPV и IRRСложная

Проект стоит €20 000 и приносит €11 500, €10 000, €7 500 в конце лет с 1 по 3. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −20 000CF₁ = 11 500CF₂ = 10 000CF₃ = 7 500

IRR = %

29.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь под стандартной нормальной кривой справа от z была равна 0,9115. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,9115

z =

30.Нормальное распределениеСложная

Распределение «результаты IQ-тестов» нормальное: среднее 100 баллов, стандартное отклонение 15 баллов. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 75% были справа от неё. Найдите границу x.

μ = 100 балловσ = 15 баллов75%

x = баллов

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = −5 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Моменты относительно A

Против часовой стрелки — положительно.

ΣM_A = 0: R_B·3 = 10·0,5 + 40·4

R_B = 165/3 = 55 kN

Равновесие по вертикали

R_A = 10 + 40 − 55 = −5 kN

Ответ

R_A = −5 kN

R_A отрицательна: шарнир A должен удерживать балку от отрыва.

2.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 40,99 kN

Составляющие P

P_v = 40·sin 60° = 34,64 kN

P_h = 40·cos 60° = 20 kN

Реакции

ΣM_A = 0: R_B·5 = 34,64·2 + 50·3,5 → R_B = 48,86 kN

A_y = 34,64 + 50 − 48,86 = 35,78 kN

A_x = P_h = 20 kN

Равнодействующая реакция в A

R_A = √(20² + 35,78²) = 40,99 kN

Ответ

R_A = 40,99 kN

3.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 6,562 kN (T), BC: 13,12 kN (T), CD: 13,12 kN (T), DE: 19,69 kN (T), FG: 6,562 kN (C), GH: 19,69 kN (C), AF: 10,94 kN (C), HE: 32,81 kN (C), BF: 8,75 kN (T), CG: 0, DH: 26,25 kN (T), BG: 10,94 kN (C), DG: 10,94 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: CG

4.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AB = −4,123 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 25·1 + 20·4 → C_y = 21 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 21 = 4 kN

ΣF_x = 0: A_x = −20 kN

Узел A

Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.

sin α = 4/4,123 = 0,9701

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −4/0,9701 = −4,123 kN

Ответ

F_AB = −4,123 kN (сжатие)

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 72,5 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 50·1 + 80·3

R_B = 290/4 = 72,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 130 − 72,5 = 57,5 kN

Момент под каждой силой

Оставляйте часть слева от каждой силы.

под P₁: M = R_A·1 = 57,5·1 = 57,5 kN·m

под P₂: M = R_B·1 = 72,5·1 = 72,5 kN·m

Наибольшее значение

M_max = 72,5 kN·m (под P₂)

Ответ

M_max = 72,5 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 12,29 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки с учётом нагрузки на консольном свесе.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 4·8,5 = 34 kN, приложена в x̄ = 4,25 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 4·8,5·4,25

R_B = 144,5/6 = 24,08 kN

ΣF_y = 0: R_A = 34 − 24,08 = 9,917 kN

Нулевая поперечная сила

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 9,917/4 = 2,479 m

Наибольший положительный момент

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 9,917²/(2·4) = 12,29 kN·m

Ответ

M_max = 12,29 kN·m

7.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 5,022 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 3000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Прогиб

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·3000⁴/(384·2,52 × 10¹²) = 5,022 mm

Ответ

δ_max = 5,022 mm

8.Прогиб балки

Ответ: M_A = 4,5 kN·m

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции). Для статически неопределимой балки отбросьте лишнюю опору и потребуйте, чтобы прогиб в этом месте был равен нулю (условие совместности).

Отбрасываем опору

Без опоры балка становится консолью. Её свободный конец прогнулся бы под нагрузкой.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Условие совместности на опоре

Одна сила реакции опоры R_B поднимает свободный конец на R_BL³/(3EI). Опора удерживает B с нулевым прогибом, поэтому эти прогибы должны взаимно погаситься. EI сокращается.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·4·3/8 = 4,5 kN

Момент в заделке

Моменты нагрузок и реакции опоры относительно A.

M_A = wL²/2 − R_B·L = 18 − 13,5 = 4,5 kN·m

Ответ

M_A = 4,5 kN·m

9.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 21,06 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

Расчётная длина

KL = 2·2500 = 5000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·266667/5000² = 21055 N = 21,06 kN

Ответ

P_cr = 21,06 kN

10.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 17,27 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 1·4000 = 4000 mm

KL/r = 4000/20 = 200

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17,27 MPa

Ответ

σ_cr = 17,27 MPa

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: ȳ = 60,31 mm

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбиваем на прямоугольники

Возьмите основание во всю ширину и две полки над ним (высотой h − t), чтобы ничего не учитывать дважды.

основа: A₁ = 140·12 = 1680 mm², y₁ = 6 mm

две полки: A₂ = 2·12·148 = 3552 mm², y₂ = 12 + 148/2 = 86 mm

Центр тяжести

ȳ = (1680·6 + 3552·86)/5232 = 60,31 mm

Ответ

ȳ = 60,31 mm

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 80,05 × 10⁶ mm⁴

Разбиваем на три прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

верхняя полка: A = 2420 mm², y = 235 mm

стенка: A = 3360 mm², y = 119 mm

нижняя полка: A = 2800 mm², y = 7 mm

Центр тяжести

ȳ = (2420·235 + 3360·119 + 2800·7)/8580 = 115,2 mm

Теорема о параллельном переносе осей

верхняя полка: 110·22³/12 + 2420·119,8² = 3,485 × 10⁷ mm⁴

стенка: 16·210³/12 + 3360·3,832² = 1,24 × 10⁷ mm⁴

нижняя полка: 200·14³/12 + 2800·108,2² = 3,281 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,485 × 10⁷ + 1,24 × 10⁷ + 3,281 × 10⁷

I_x = 8,005 × 10⁷ mm⁴ = 80,05 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 80,05 × 10⁶ mm⁴

13.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: σ′ = 100,8 kPa

Эффективное напряжение (Терцаги): скелет грунта воспринимает σ′ = σ − u. Полное напряжение σ — это вес всего, что над точкой, Σγ·h, с удельным весом сухого грунта выше уровня грунтовых вод и водонасыщенного — ниже. Ниже уровня грунтовых вод поровое давление гидростатическое: u = γ_w·(глубина ниже уровня грунтовых вод).

Полное напряжение

Сложите вес каждого слоя грунта над X. Выше уровня грунтовых вод берите удельный вес сухого грунта, ниже — водонасыщенного.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16·4 + 19·4 = 140 kPa

Поровое давление

Давление воды растёт с глубиной ниже уровня грунтовых вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·4 = 39,24 kPa

Эффективное напряжение

σ′ = σ − u = 140 − 39,24 = 100,8 kPa

Ответ

σ′ = 100,8 kPa

14.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: u = 44,15 kPa

Поровое давление

Давление воды растёт с глубиной ниже уровня грунтовых вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·4,5 = 44,15 kPa

Ответ

u = 44,15 kPa

15.Консолидационная осадка

Ответ: S = 41,58 mm

Первичная консолидация слоя глины толщиной H по эффективному напряжению в середине слоя: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально уплотнённая глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переуплотнённая глина повторно сжимается по C_r до давления предварительного уплотнения σ′_p и следует C_c только выше него. Время: t = T_v·H_dr²/c_v, где путь фильтрации H_dr равен H/2, когда вода может уходить вверх и вниз, и H, когда дренирует только одна сторона.

Сравните с давлением предварительного уплотнения

σ′_f = 110 + 105 = 215 kPa ≤ 220 kPa

Осадка

Глина остаётся на линии повторного сжатия.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,05·6/(1 + 1,1)·log₁₀(215/110) = 41,58 mm

Ответ

S = 41,58 mm

16.Консолидационная осадка

Ответ: t = 752,6 сут

Пути фильтрации

H_dr,lab = 20/2 = 10 mm = 0,01 m

H_dr,field = 8,5/2 = 4,25 m

Пересчитайте время

t = T_v·H_dr²/c_v с одинаковыми T_v и c_v в лаборатории и в природе.

t_field = 6·(4,25/0,01)² = 1,084 × 10⁶ min

t_field = 1,084 × 10⁶/1440 = 752,6 сут

Ответ

t = 752,6 сут

17.Гидростатическое давление

Ответ: F = 58,86 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1,5 + 1/2 = 2 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·3 = 58,86 kN

Ответ

F = 58,86 kN

18.Гидростатическое давление

Ответ: F = 129,5 kN

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2/2 = 2,5 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·2,5·6 = 129,5 kN

Ответ

F = 129,5 kN

19.Трение в трубах и потери напора

Ответ: h_f = 1,185 m

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Средняя скорость

A = π·0,25²/4 = 0,04909 m²

V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s

Скоростной напор

V²/(2g) = 2,037²/(2·9,81) = 0,2115 m

Формула Дарси–Вейсбаха

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(50/0,25)·2,037²/(2·9,81) = 1,185 m

Ответ

h_f = 1,185 m

20.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Q = 243,8 L/s

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,02·200/0,25 = 16

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,3

Уравнение энергии

Обе поверхности открыты в атмосферу и практически неподвижны, поэтому весь перепад Δz теряется в трубе.

23 = (16 + 2,3)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·23/18,3) = 4,966 m/s

Расход

Q = V·π·D²/4 = 4,966·0,04909 = 0,2438 m³/s = 243,8 L/s

Ответ

Q = 243,8 L/s

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 0,9599 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (3 + 1·0,5)·0,5 = 1,75 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·0,5·√(1 + 1²) = 4,414 m

R = A/P = 0,3964 m

Скорость

V = (1/0,022)·0,3964^2/3·0,0005^1/2 = 0,5485 m/s

Расход

Q = A·V = 1,75·0,5485 = 0,9599 m³/s

Ответ

Q = 0,9599 m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,002006 m/m

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (2 + 2·0,9)·0,9 = 3,42 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2 + 2·0,9·√(1 + 2²) = 6,025 m

R = A/P = 0,5676 m

Выразите S из формулы Маннинга

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,014·7,5/(3,42·0,6856) = 0,04478

S = 0,04478² = 0,002006

Ответ

S = 0,002006

Это понижение на 2,006 m на километр.

23.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_el = 42,68 kW

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·62 = 30,41 kW

Мощность на валу

P_shaft = 30,41/0,75 = 40,55 kW

Электрическая мощность

P_el = 40,55/0,95 = 42,68 kW

Ответ

P_el = 42,68 kW

24.Насосы и мощность насоса

Ответ: H = 16,56 m

Скорость

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (26,4 + 5)·0,3046 = 9,564 m

Напор насоса

Обе поверхности открыты и практически неподвижны, поэтому члены с давлением и скоростью выпадают.

H = Δz + h_L = 7 + 9,564 = 16,56 m

Ответ

H = 16,56 m

25.Временная стоимость денег

Ответ: PV = 4570 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = 0,03/12 = 0,0025

N = 12·3 = 36

Приведённая стоимость

PV = FV/(1 + i)^N = 5 000/1,094 = €4 570,17

Ответ

PV = €4 570,17

26.Временная стоимость денег

Ответ: A = 407,3 €

Месячная ставка и число платежей

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·6 = 72

Платёж

Приведённая стоимость N равных платежей A равна A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Приравняйте её к кредиту и найдите A.

(1 + i)^−N = 0,7238

A = 25 000·0,0045/(1 − 0,7238) = €407,28

Ответ

A = €407,28

27.NPV и IRR

Ответ: NPV = 3664 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость ежегодных денежных потоков

30 000·2,577 = 77 312,91

Приведённая стоимость ликвидационной стоимости

8 000/1,26 = 6 350,66

NPV

NPV = −80 000 + 77 312,91 + 6 350,66 = €3 663,57

Ответ

NPV = €3 663,57

28.NPV и IRR

Ответ: IRR = 22,96 %

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(20%) = 868,06

NPV(25%) = −560,00

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 20 + 5·868,06/(868,06 − (−560,00)) = 23,04%

точно: NPV(22,96%) = 0 → IRR = 22,96%

Ответ

IRR = 22,96%

29.Нормальное распределение

Ответ: z = −1,35

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = 1 − 0,9115 = 0,0885

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,0885 внутри таблицы и считайте z.

z = −1,35

Ответ

z = −1,35

30.Нормальное распределение

Ответ: x = 90 баллов

Площадь слева

Φ(z) = 0,25

z из таблицы

z ≈ −0,67

Возврат к исходным единицам

x = 100 − 0,67·15 = 90 баллов

Ответ

x = 90 баллов

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. Экзамен FE exam проводит NCEES; эта организация не связана с ExamProblems и не поддерживает его.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil