Теплопроводность
- Закон Фурье
- Q̇ = kAΔT/L
- Термическое сопротивление теплопроводности
- R = L/(kA)
- Термическое сопротивление теплоотдачи
- R = 1/(hA)
- Последовательные сопротивления
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Коэффициент теплопередачи U
- U = 1/(ΣR·A)
Тепломассообмен: шпаргалка-пакет
Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (4) с полными решениями в конце.
1Формулы и методы
Теплообменники (LMTD)
- Тепловая нагрузка
- Q = U·A·ΔTlm
- Среднелогарифмический температурный напор
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Баланс потоков
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Тренировочные задачи
1.ТеплопроводностьСредняя
Стена состоит из слоя 200 mm (древесина) и слоя 100 mm (пенополистирол), её площадь 6 m². Наружные поверхности имеют 25 °C и 8 °C. Найдите температуру Ti на границе двух слоёв.
L1 = 200 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 25 °CT3 = 8 °C
Ti = °C
2.ТеплопроводностьСложная
Стена из 250 mm (бетон) и 50 mm (древесина) отделяет помещение при 21 °C от наружного воздуха при 4 °C. Коэффициенты теплоотдачи — 7,7 W/(m²·K) внутри и 20 W/(m²·K) снаружи, площадь стены 8 m². Найдите коэффициент теплопередачи U стены.
L1 = 250 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 8 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = 4 °C
U = W/(m²·K)
3.Теплообменники (LMTD)Средняя
Прямоточный теплообменник передаёт 430 kW. Горячий теплоноситель охлаждается с 95 до 65 °C, а холодный нагревается с 25 до 45 °C. Коэффициент теплопередачи 1500 W/(m²·K). Найдите необходимую площадь теплообмена A.
Q̇ = 430 kWU = 1500 W/(m²·K)Th: 95 → 65 °CTc: 25 → 45 °C
A = m²
4.Теплообменники (LMTD)Сложная
В противоточном теплообменнике у обоих потоков одинаковая теплоёмкость потока ṁ·cp = 1,5 kW/K. Горячий поток входит при 110 °C, а холодный — при 30 °C. Теплообменник имеет A = 5 m² и U = 200 W/(m²·K). Найдите температуру горячего потока на выходе Th,out.
Ch = Cc = 1,5 kW/KTh,in = 110 °CTc,in = 30 °CA = 5 m²U = 200 W/(m²·K)
Th,out = °C
3Растворы
1.Теплопроводность
Ответ: Ti = 20,04 °C
Термическое сопротивление: установившийся тепловой поток через последовательные слои ведёт себя как ток через последовательные резисторы: Q̇ = ΔT/ΣR, где R = L/(kA) для теплопроводного слоя и R = 1/(hA) для поверхности с конвекцией. Перепад температуры на каждом слое пропорционален его сопротивлению.
Сопротивления слоёв
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,17·6) = 0,1961 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,035·6) = 0,4762 K/W
Тепловой поток
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 17/0,6723 = 25,29 W
Температура на границе
На первом слое температура падает на Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 25 − 25,29·0,1961 = 20,04 °C
Ответ
Ti = 20,04 °C
2.Теплопроводность
Ответ: U = 1,532 W/(m²·K)
Термическое сопротивление: установившийся тепловой поток через последовательные слои ведёт себя как ток через последовательные резисторы: Q̇ = ΔT/ΣR, где R = L/(kA) для теплопроводного слоя и R = 1/(hA) для поверхности с конвекцией. Перепад температуры на каждом слое пропорционален его сопротивлению.
Последовательные сопротивления
Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·8) = 0,01623 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(1,4·8) = 0,02232 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,17·8) = 0,03676 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·8) = 0,00625 K/W
ΣR = 0,08157 K/W
Коэффициент теплопередачи
U = 1/(A·ΣR) = 1/(8·0,08157) = 1,532 W/(m²·K)
Ответ
U = 1,532 W/(m²·K)
3.Теплообменники (LMTD)
Ответ: A = 7,183 m²
Метод LMTD: разность температур между потоками меняется вдоль теплообменника, поэтому уравнение теплопередачи использует её среднелогарифмическое значение: Q̇ = U·A·ΔTlm, где ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ и ΔT₂ — разности на двух концах. При тех же температурах на входе и выходе противоток даёт больший ΔTlm, чем прямоток.
Разности температур на концах
При прямотоке оба входа на одном конце, а оба выхода — на другом.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 95 − 25 = 70 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 65 − 45 = 20 K
Среднелогарифмическая разность температур
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (70 − 20)/ln(70/20) = 39,91 K
Площадь
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 430000/(1500·39,91) = 7,183 m²
Ответ
A = 7,183 m²
4.Теплообменники (LMTD)
Ответ: Th,out = 78 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Постоянная разность температур
Холодный выход находится напротив горячего входа: Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out), поэтому ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂.
ΔTlm = Th,out − Tc,in
Приравниваем энергетический баланс и уравнение теплопередачи
1,5·(110 − Th,out) = 1·(Th,out − 30)
Th,out = (1,5·110 + 1·30)/(1,5 + 1) = 78 °C
Ответ
Th,out = 78 °C
Переданная теплота: Q̇ = 48 kW; холодный поток выходит при 62 °C.
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer