Тепломассообмен: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (4) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теплопроводность

Закон Фурье
Q̇ = kAΔT/L
Термическое сопротивление теплопроводности
R = L/(kA)
Термическое сопротивление теплоотдачи
R = 1/(hA)
Последовательные сопротивления
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Коэффициент теплопередачи U
U = 1/(ΣR·A)

Теплообменники (LMTD)

Тепловая нагрузка
Q = U·A·ΔTlm
Среднелогарифмический температурный напор
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Баланс потоков
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Тренировочные задачи

1.ТеплопроводностьСредняя
Стекло, k = 0,96150 mmДревесина, k = 0,1775 mm15 °C-7 °CTi​ = ?Q̇

Стена состоит из слоя 150 mm (стекло) и слоя 75 mm (древесина), её площадь 12 m². Наружные поверхности имеют 15 °C и -7 °C. Найдите температуру Ti на границе двух слоёв.

L1 = 150 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 15 °CT3 = -7 °C
Ti = °C
2.ТеплопроводностьСложная
Стекло, k = 0,96100 mmБетон, k = 1,4100 mmпомещение 22 °Cснаружи 1 °CQ̇ = ?

Стена из 100 mm (стекло) и 100 mm (бетон) отделяет помещение при 22 °C от наружного воздуха при 1 °C. Коэффициенты теплоотдачи — 7,7 W/(m²·K) внутри и 30 W/(m²·K) снаружи, площадь стены 4 m². Найдите теплопотери Q̇ через стену.

L1 = 100 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 4 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = 1 °C
Q̇ = W
3.Теплообменники (LMTD)Средняя
длинаT105 °C80 °C50 °C30 °CΔT₁ΔT₂противоток

Противоточный теплообменник передаёт 210 kW. Горячий теплоноситель охлаждается с 105 до 80 °C, а холодный нагревается с 30 до 50 °C. Коэффициент теплопередачи 200 W/(m²·K). Найдите необходимую площадь теплообмена A.

Q̇ = 210 kWU = 200 W/(m²·K)Th: 105 → 80 °CTc: 30 → 50 °C
A = m²
4.Теплообменники (LMTD)Сложная
длинаT115 °C55 °C45,14 °C15 °CΔT₁ΔT₂противоток

Горячее масло (1 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) охлаждается с 115 до 55 °C в противоточном теплообменнике. Оно нагревает 1 kg/s воды (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), входящей при 15 °C. При U = 500 W/(m²·K) найдите необходимую площадь теплообмена A.

ṁh = 1 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 115 → 55 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °CU = 500 W/(m²·K)
A = m²

3Растворы

1.Теплопроводность

Ответ: Ti = 9,246 °C

Термическое сопротивление: установившийся тепловой поток через последовательные слои ведёт себя как ток через последовательные резисторы: Q̇ = ΔT/ΣR, где R = L/(kA) для теплопроводного слоя и R = 1/(hA) для поверхности с конвекцией. Перепад температуры на каждом слое пропорционален его сопротивлению.

Сопротивления слоёв

R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,96·12) = 0,01302 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,17·12) = 0,03676 K/W

Тепловой поток

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 22/0,04979 = 441,9 W

Температура на границе

На первом слое температура падает на Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 15 − 441,9·0,01302 = 9,246 °C

Ответ

Ti = 9,246 °C
2.Теплопроводность

Ответ: Q̇ = 247,9 W

Термическое сопротивление: установившийся тепловой поток через последовательные слои ведёт себя как ток через последовательные резисторы: Q̇ = ΔT/ΣR, где R = L/(kA) для теплопроводного слоя и R = 1/(hA) для поверхности с конвекцией. Перепад температуры на каждом слое пропорционален его сопротивлению.

Последовательные сопротивления

Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·4) = 0,03247 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,96·4) = 0,02604 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(1,4·4) = 0,01786 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·4) = 0,008333 K/W
ΣR = 0,0847 K/W

Теплопотери

Q̇ = (22 − (1))/0,0847 = 247,9 W

Ответ

Q̇ = 247,9 W
3.Теплообменники (LMTD)

Ответ: A = 20,02 m²

Метод LMTD: разность температур между потоками меняется вдоль теплообменника, поэтому уравнение теплопередачи использует её среднелогарифмическое значение: Q̇ = U·A·ΔTlm, где ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ и ΔT₂ — разности на двух концах. При тех же температурах на входе и выходе противоток даёт больший ΔTlm, чем прямоток.

Разности температур на концах

При противотоке горячий вход напротив холодного выхода, а горячий выход — напротив холодного входа.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 105 − 50 = 55 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 80 − 30 = 50 K

Среднелогарифмическая разность температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (55 − 50)/ln(55/50) = 52,46 K

Площадь

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 210000/(200·52,46) = 20,02 m²

Ответ

A = 20,02 m²
4.Теплообменники (LMTD)

Ответ: A = 4,706 m²

Метод LMTD: разность температур между потоками меняется вдоль теплообменника, поэтому уравнение теплопередачи использует её среднелогарифмическое значение: Q̇ = U·A·ΔTlm, где ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ и ΔT₂ — разности на двух концах. При тех же температурах на входе и выходе противоток даёт больший ΔTlm, чем прямоток.

Тепловая нагрузка и температура воды на выходе

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1·2,1·60 = 126 kW
Tc,out = 15 + 126/(1·4,18) = 45,14 °C

Разности температур на концах

При противотоке горячий вход напротив холодного выхода, а горячий выход — напротив холодного входа.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 115 − 45,14 = 69,86 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 15 = 40 K

Среднелогарифмическая разность температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (69,86 − 40)/ln(69,86/40) = 53,55 K

Площадь

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 126000/(500·53,55) = 4,706 m²

Ответ

A = 4,706 m²

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer