Тепломассообмен: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (4) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теплопроводность

Закон Фурье
Q̇ = kAΔT/L
Термическое сопротивление теплопроводности
R = L/(kA)
Термическое сопротивление теплоотдачи
R = 1/(hA)
Последовательные сопротивления
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Коэффициент теплопередачи U
U = 1/(ΣR·A)

Теплообменники (LMTD)

Тепловая нагрузка
Q = U·A·ΔTlm
Среднелогарифмический температурный напор
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Баланс потоков
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Тренировочные задачи

1.ТеплопроводностьСредняя
Бетон, k = 1,450 mmДревесина, k = 0,17150 mm23 °C-4 °CTi​ = ?Q̇

Стена состоит из слоя 50 mm (бетон) и слоя 150 mm (древесина), её площадь 4 m². Наружные поверхности имеют 23 °C и -4 °C. Найдите температуру Ti на границе двух слоёв.

L1 = 50 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 23 °CT3 = -4 °C
Ti = °C
2.ТеплопроводностьСложная
Бетон, k = 1,4100 mmГипсокартон, k = 0,1725 mmпомещение 22 °Cснаружи -11 °CTs​ = ?Q̇

Стена из 100 mm (бетон) и 25 mm (гипсокартон) отделяет помещение при 22 °C от наружного воздуха при -11 °C. Коэффициенты теплоотдачи — 7,7 W/(m²·K) внутри и 25 W/(m²·K) снаружи, площадь стены 12 m². Найдите температуру Ts внутренней поверхности стены.

L1 = 100 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 12 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -11 °C
Ts = °C
3.Теплообменники (LMTD)Средняя
длинаT130 °C95 °C10 °C70 °CΔT₁ΔT₂прямоток

Прямоточный теплообменник передаёт 280 kW. Горячий теплоноситель охлаждается с 130 до 95 °C, а холодный нагревается с 10 до 70 °C. Коэффициент теплопередачи 800 W/(m²·K). Найдите необходимую площадь теплообмена A.

Q̇ = 280 kWU = 800 W/(m²·K)Th: 130 → 95 °CTc: 10 → 70 °C
A = m²
4.Теплообменники (LMTD)Сложная
длинаT155 °C120 °C47,58 °C30 °CΔT₁ΔT₂противоток

Горячее масло (2 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) охлаждается с 155 до 120 °C в противоточном теплообменнике. Оно нагревает 2 kg/s воды (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), входящей при 30 °C. При U = 200 W/(m²·K) найдите необходимую площадь теплообмена A.

ṁh = 2 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 155 → 120 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 30 °CU = 200 W/(m²·K)
A = m²

3Растворы

1.Теплопроводность

Ответ: Ti = 21,95 °C

Термическое сопротивление: установившийся тепловой поток через последовательные слои ведёт себя как ток через последовательные резисторы: Q̇ = ΔT/ΣR, где R = L/(kA) для теплопроводного слоя и R = 1/(hA) для поверхности с конвекцией. Перепад температуры на каждом слое пропорционален его сопротивлению.

Сопротивления слоёв

R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(1,4·4) = 0,008929 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,17·4) = 0,2206 K/W

Тепловой поток

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 27/0,2295 = 117,6 W

Температура на границе

На первом слое температура падает на Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 23 − 117,6·0,008929 = 21,95 °C

Ответ

Ti = 21,95 °C
2.Теплопроводность

Ответ: Ts = 10,96 °C

Термическое сопротивление: установившийся тепловой поток через последовательные слои ведёт себя как ток через последовательные резисторы: Q̇ = ΔT/ΣR, где R = L/(kA) для теплопроводного слоя и R = 1/(hA) для поверхности с конвекцией. Перепад температуры на каждом слое пропорционален его сопротивлению.

Последовательные сопротивления

Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·12) = 0,01082 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(1,4·12) = 0,005952 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,17·12) = 0,01225 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·12) = 0,003333 K/W
ΣR = 0,03236 K/W

Теплопотери

Q̇ = (22 − (-11))/0,03236 = 1020 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 1020·0,01082 = 10,96 °C

Ответ

Ts = 10,96 °C
3.Теплообменники (LMTD)

Ответ: A = 5,779 m²

Метод LMTD: разность температур между потоками меняется вдоль теплообменника, поэтому уравнение теплопередачи использует её среднелогарифмическое значение: Q̇ = U·A·ΔTlm, где ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ и ΔT₂ — разности на двух концах. При тех же температурах на входе и выходе противоток даёт больший ΔTlm, чем прямоток.

Разности температур на концах

При прямотоке оба входа на одном конце, а оба выхода — на другом.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 130 − 10 = 120 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 95 − 70 = 25 K

Среднелогарифмическая разность температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (120 − 25)/ln(120/25) = 60,56 K

Площадь

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 280000/(800·60,56) = 5,779 m²

Ответ

A = 5,779 m²
4.Теплообменники (LMTD)

Ответ: A = 7,466 m²

Метод LMTD: разность температур между потоками меняется вдоль теплообменника, поэтому уравнение теплопередачи использует её среднелогарифмическое значение: Q̇ = U·A·ΔTlm, где ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ и ΔT₂ — разности на двух концах. При тех же температурах на входе и выходе противоток даёт больший ΔTlm, чем прямоток.

Тепловая нагрузка и температура воды на выходе

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 2·2,1·35 = 147 kW
Tc,out = 30 + 147/(2·4,18) = 47,58 °C

Разности температур на концах

При противотоке горячий вход напротив холодного выхода, а горячий выход — напротив холодного входа.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 155 − 47,58 = 107,4 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 120 − 30 = 90 K

Среднелогарифмическая разность температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (107,4 − 90)/ln(107,4/90) = 98,45 K

Площадь

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 147000/(200·98,45) = 7,466 m²

Ответ

A = 7,466 m²

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer