Тепломассообмен: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (4) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теплопроводность

Закон Фурье
Q̇ = kAΔT/L
Термическое сопротивление теплопроводности
R = L/(kA)
Термическое сопротивление теплоотдачи
R = 1/(hA)
Последовательные сопротивления
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Коэффициент теплопередачи U
U = 1/(ΣR·A)

Теплообменники (LMTD)

Тепловая нагрузка
Q = U·A·ΔTlm
Среднелогарифмический температурный напор
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Баланс потоков
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Тренировочные задачи

1.ТеплопроводностьСредняя
Минеральная вата, k = 0,0450 mmСтекло, k = 0,9650 mm15 °C-1 °CTi​ = ?Q̇

Стена состоит из слоя 50 mm (минеральная вата) и слоя 50 mm (стекло), её площадь 6 m². Наружные поверхности имеют 15 °C и -1 °C. Найдите температуру Ti на границе двух слоёв.

L1 = 50 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 15 °CT3 = -1 °C
Ti = °C
2.ТеплопроводностьСложная
Кирпич, k = 0,7250 mmПенополистирол, k = 0,03575 mmпомещение 21 °Cснаружи 0 °CTs​ = ?Q̇

Стена из 50 mm (кирпич) и 75 mm (пенополистирол) отделяет помещение при 21 °C от наружного воздуха при 0 °C. Коэффициенты теплоотдачи — 7,7 W/(m²·K) внутри и 30 W/(m²·K) снаружи, площадь стены 4 m². Найдите температуру Ts внутренней поверхности стены.

L1 = 50 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 4 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = 0 °C
Ts = °C
3.Теплообменники (LMTD)Средняя
длинаT100 °C50 °C70 °C10 °CΔT₁ΔT₂противоток

Противоточный теплообменник передаёт 40 kW. Горячий теплоноситель охлаждается с 100 до 50 °C, а холодный нагревается с 10 до 70 °C. Коэффициент теплопередачи 800 W/(m²·K). Найдите необходимую площадь теплообмена A.

Q̇ = 40 kWU = 800 W/(m²·K)Th: 100 → 50 °CTc: 10 → 70 °C
A = m²
4.Теплообменники (LMTD)Сложная
длинаT155 °C70 °C48,89 °C15 °CΔT₁ΔT₂противоток

Горячее масло (2 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) охлаждается с 155 до 70 °C в противоточном теплообменнике. Оно нагревает 3 kg/s воды (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), входящей при 15 °C. При U = 200 W/(m²·K) найдите необходимую площадь теплообмена A.

ṁh = 2 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 155 → 70 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °CU = 200 W/(m²·K)
A = m²

3Растворы

1.Теплопроводность

Ответ: Ti = −0,36 °C

Термическое сопротивление: установившийся тепловой поток через последовательные слои ведёт себя как ток через последовательные резисторы: Q̇ = ΔT/ΣR, где R = L/(kA) для теплопроводного слоя и R = 1/(hA) для поверхности с конвекцией. Перепад температуры на каждом слое пропорционален его сопротивлению.

Сопротивления слоёв

R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,04·6) = 0,2083 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,96·6) = 0,008681 K/W

Тепловой поток

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 16/0,217 = 73,73 W

Температура на границе

На первом слое температура падает на Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 15 − 73,73·0,2083 = −0,36 °C

Ответ

Ti = −0,36 °C
2.Теплопроводность

Ответ: Ts = 19,85 °C

Термическое сопротивление: установившийся тепловой поток через последовательные слои ведёт себя как ток через последовательные резисторы: Q̇ = ΔT/ΣR, где R = L/(kA) для теплопроводного слоя и R = 1/(hA) для поверхности с конвекцией. Перепад температуры на каждом слое пропорционален его сопротивлению.

Последовательные сопротивления

Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·4) = 0,03247 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,72·4) = 0,01736 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,035·4) = 0,5357 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·4) = 0,008333 K/W
ΣR = 0,5939 K/W

Теплопотери

Q̇ = (21 − (0))/0,5939 = 35,36 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 21 − 35,36·0,03247 = 19,85 °C

Ответ

Ts = 19,85 °C
3.Теплообменники (LMTD)

Ответ: A = 1,438 m²

Метод LMTD: разность температур между потоками меняется вдоль теплообменника, поэтому уравнение теплопередачи использует её среднелогарифмическое значение: Q̇ = U·A·ΔTlm, где ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ и ΔT₂ — разности на двух концах. При тех же температурах на входе и выходе противоток даёт больший ΔTlm, чем прямоток.

Разности температур на концах

При противотоке горячий вход напротив холодного выхода, а горячий выход — напротив холодного входа.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 100 − 70 = 30 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 50 − 10 = 40 K

Среднелогарифмическая разность температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (30 − 40)/ln(30/40) = 34,76 K

Площадь

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 40000/(800·34,76) = 1,438 m²

Ответ

A = 1,438 m²
4.Теплообменники (LMTD)

Ответ: A = 27,32 m²

Метод LMTD: разность температур между потоками меняется вдоль теплообменника, поэтому уравнение теплопередачи использует её среднелогарифмическое значение: Q̇ = U·A·ΔTlm, где ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ и ΔT₂ — разности на двух концах. При тех же температурах на входе и выходе противоток даёт больший ΔTlm, чем прямоток.

Тепловая нагрузка и температура воды на выходе

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 2·2,5·85 = 425 kW
Tc,out = 15 + 425/(3·4,18) = 48,89 °C

Разности температур на концах

При противотоке горячий вход напротив холодного выхода, а горячий выход — напротив холодного входа.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 155 − 48,89 = 106,1 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 70 − 15 = 55 K

Среднелогарифмическая разность температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (106,1 − 55)/ln(106,1/55) = 77,78 K

Площадь

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 425000/(200·77,78) = 27,32 m²

Ответ

A = 27,32 m²

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer