Тепломассообмен: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (4) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теплопроводность

Закон Фурье
Q̇ = kAΔT/L
Термическое сопротивление теплопроводности
R = L/(kA)
Термическое сопротивление теплоотдачи
R = 1/(hA)
Последовательные сопротивления
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Коэффициент теплопередачи U
U = 1/(ΣR·A)

Теплообменники (LMTD)

Тепловая нагрузка
Q = U·A·ΔTlm
Среднелогарифмический температурный напор
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Баланс потоков
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Тренировочные задачи

1.ТеплопроводностьСредняя
Древесина, k = 0,17200 mmСтекло, k = 0,9675 mm18 °C-14 °CTi​ = ?Q̇

Стена состоит из слоя 200 mm (древесина) и слоя 75 mm (стекло), её площадь 12 m². Наружные поверхности имеют 18 °C и -14 °C. Найдите температуру Ti на границе двух слоёв.

L1 = 200 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 18 °CT3 = -14 °C
Ti = °C
2.ТеплопроводностьСложная
Стекло, k = 0,9650 mmМинеральная вата, k = 0,0425 mmпомещение 21 °Cснаружи -4 °CQ̇

Стена из 50 mm (стекло) и 25 mm (минеральная вата) отделяет помещение при 21 °C от наружного воздуха при -4 °C. Коэффициенты теплоотдачи — 6 W/(m²·K) внутри и 30 W/(m²·K) снаружи, площадь стены 15 m². Найдите коэффициент теплопередачи U стены.

L1 = 50 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 15 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -4 °C
U = W/(m²·K)
3.Теплообменники (LMTD)Средняя
длинаT135 °C65 °C20 °C40 °CΔT₁ΔT₂прямоток

Прямоточный теплообменник передаёт 30 kW. Площадь его поверхности теплопередачи 2 m². Горячий теплоноситель охлаждается с 135 до 65 °C, а холодный нагревается с 20 до 40 °C. Найдите коэффициент теплопередачи U.

Q̇ = 30 kWA = 2 m²Th: 135 → 65 °CTc: 20 → 40 °C
U = W/(m²·K)
4.Теплообменники (LMTD)Сложная
длинаT100 °C65 °C44,26 °C25 °CΔT₁ΔT₂противоток

Горячее масло (0,5 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) охлаждается с 100 до 65 °C в противоточном теплообменнике. Оно нагревает 0,5 kg/s воды (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), входящей при 25 °C. При U = 200 W/(m²·K) найдите необходимую площадь теплообмена A.

ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 100 → 65 °Cṁc = 0,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °CU = 200 W/(m²·K)
A = m²

3Растворы

1.Теплопроводность

Ответ: Ti = −12,01 °C

Термическое сопротивление: установившийся тепловой поток через последовательные слои ведёт себя как ток через последовательные резисторы: Q̇ = ΔT/ΣR, где R = L/(kA) для теплопроводного слоя и R = 1/(hA) для поверхности с конвекцией. Перепад температуры на каждом слое пропорционален его сопротивлению.

Сопротивления слоёв

R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,17·12) = 0,09804 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,96·12) = 0,00651 K/W

Тепловой поток

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 32/0,1045 = 306,1 W

Температура на границе

На первом слое температура падает на Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 18 − 306,1·0,09804 = −12,01 °C

Ответ

Ti = −12,01 °C
2.Теплопроводность

Ответ: U = 1,14 W/(m²·K)

Термическое сопротивление: установившийся тепловой поток через последовательные слои ведёт себя как ток через последовательные резисторы: Q̇ = ΔT/ΣR, где R = L/(kA) для теплопроводного слоя и R = 1/(hA) для поверхности с конвекцией. Перепад температуры на каждом слое пропорционален его сопротивлению.

Последовательные сопротивления

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·15) = 0,01111 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,96·15) = 0,003472 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,04·15) = 0,04167 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·15) = 0,002222 K/W
ΣR = 0,05847 K/W

Коэффициент теплопередачи

U = 1/(A·ΣR) = 1/(15·0,05847) = 1,14 W/(m²·K)

Ответ

U = 1,14 W/(m²·K)
3.Теплообменники (LMTD)

Ответ: U = 254,3 W/(m²·K)

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Разности температур на концах

При прямотоке оба входа на одном конце, а оба выхода — на другом.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 135 − 20 = 115 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 65 − 40 = 25 K

Среднелогарифмическая разность температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (115 − 25)/ln(115/25) = 58,98 K

Коэффициент теплопередачи

U = Q̇/(A·ΔTlm) = 30000/(2·58,98) = 254,3 W/(m²·K)

Ответ

U = 254,3 W/(m²·K)
4.Теплообменники (LMTD)

Ответ: A = 4,243 m²

Метод LMTD: разность температур между потоками меняется вдоль теплообменника, поэтому уравнение теплопередачи использует её среднелогарифмическое значение: Q̇ = U·A·ΔTlm, где ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ и ΔT₂ — разности на двух концах. При тех же температурах на входе и выходе противоток даёт больший ΔTlm, чем прямоток.

Тепловая нагрузка и температура воды на выходе

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 0,5·2,3·35 = 40,25 kW
Tc,out = 25 + 40,25/(0,5·4,18) = 44,26 °C

Разности температур на концах

При противотоке горячий вход напротив холодного выхода, а горячий выход — напротив холодного входа.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 100 − 44,26 = 55,74 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 65 − 25 = 40 K

Среднелогарифмическая разность температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (55,74 − 40)/ln(55,74/40) = 47,44 K

Площадь

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 40250/(200·47,44) = 4,243 m²

Ответ

A = 4,243 m²

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer