Тепломассообмен: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (4) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теплопроводность

Закон Фурье
Q̇ = kAΔT/L
Термическое сопротивление теплопроводности
R = L/(kA)
Термическое сопротивление теплоотдачи
R = 1/(hA)
Последовательные сопротивления
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Коэффициент теплопередачи U
U = 1/(ΣR·A)

Теплообменники (LMTD)

Тепловая нагрузка
Q = U·A·ΔTlm
Среднелогарифмический температурный напор
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Баланс потоков
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Тренировочные задачи

1.ТеплопроводностьСредняя
Кирпич, k = 0,72100 mmДревесина, k = 0,1775 mm17 °C4 °CTi​ = ?Q̇

Стена состоит из слоя 100 mm (кирпич) и слоя 75 mm (древесина), её площадь 10 m². Наружные поверхности имеют 17 °C и 4 °C. Найдите температуру Ti на границе двух слоёв.

L1 = 100 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 17 °CT3 = 4 °C
Ti = °C
2.ТеплопроводностьСложная
Гипсокартон, k = 0,1750 mmСтекло, k = 0,96150 mmпомещение 20 °Cснаружи -11 °CQ̇ = ?

Стена из 50 mm (гипсокартон) и 150 mm (стекло) отделяет помещение при 20 °C от наружного воздуха при -11 °C. Коэффициенты теплоотдачи — 8 W/(m²·K) внутри и 25 W/(m²·K) снаружи, площадь стены 10 m². Найдите теплопотери Q̇ через стену.

L1 = 50 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 10 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -11 °C
Q̇ = W
3.Теплообменники (LMTD)Средняя
длинаT145 °C80 °C45 °C20 °CΔT₁ΔT₂противоток

Противоточный теплообменник передаёт 450 kW. Горячий теплоноситель охлаждается с 145 до 80 °C, а холодный нагревается с 20 до 45 °C. Коэффициент теплопередачи 300 W/(m²·K). Найдите необходимую площадь теплообмена A.

Q̇ = 450 kWU = 300 W/(m²·K)Th: 145 → 80 °CTc: 20 → 45 °C
A = m²
4.Теплообменники (LMTD)Сложная
длинаT100 °C15 °C?ΔT₁ΔT₂конденсирующийся пар

Пар конденсируется при постоянной температуре 100 °C на наружной поверхности труб конденсатора с площадью поверхности теплопередачи 4 m² и U = 3000 W/(m²·K). Охлаждающая вода (3 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) входит в трубы при 15 °C. Найдите температуру воды на выходе Tc,out.

Ts = 100 °CA = 4 m²U = 3000 W/(m²·K)ṁ = 3 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °C
Tc,out = °C

3Растворы

1.Теплопроводность

Ответ: Ti = 13,89 °C

Термическое сопротивление: установившийся тепловой поток через последовательные слои ведёт себя как ток через последовательные резисторы: Q̇ = ΔT/ΣR, где R = L/(kA) для теплопроводного слоя и R = 1/(hA) для поверхности с конвекцией. Перепад температуры на каждом слое пропорционален его сопротивлению.

Сопротивления слоёв

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,72·10) = 0,01389 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,17·10) = 0,04412 K/W

Тепловой поток

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 13/0,05801 = 224,1 W

Температура на границе

На первом слое температура падает на Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 17 − 224,1·0,01389 = 13,89 °C

Ответ

Ti = 13,89 °C
2.Теплопроводность

Ответ: Q̇ = 503,8 W

Термическое сопротивление: установившийся тепловой поток через последовательные слои ведёт себя как ток через последовательные резисторы: Q̇ = ΔT/ΣR, где R = L/(kA) для теплопроводного слоя и R = 1/(hA) для поверхности с конвекцией. Перепад температуры на каждом слое пропорционален его сопротивлению.

Последовательные сопротивления

Ri = 1/(hiA) = 1/(8·10) = 0,0125 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,17·10) = 0,02941 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,96·10) = 0,01563 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·10) = 0,004 K/W
ΣR = 0,06154 K/W

Теплопотери

Q̇ = (20 − (-11))/0,06154 = 503,8 W

Ответ

Q̇ = 503,8 W
3.Теплообменники (LMTD)

Ответ: A = 19,16 m²

Метод LMTD: разность температур между потоками меняется вдоль теплообменника, поэтому уравнение теплопередачи использует её среднелогарифмическое значение: Q̇ = U·A·ΔTlm, где ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ и ΔT₂ — разности на двух концах. При тех же температурах на входе и выходе противоток даёт больший ΔTlm, чем прямоток.

Разности температур на концах

При противотоке горячий вход напротив холодного выхода, а горячий выход — напротив холодного входа.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 145 − 45 = 100 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 80 − 20 = 60 K

Среднелогарифмическая разность температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (100 − 60)/ln(100/60) = 78,3 K

Площадь

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 450000/(300·78,3) = 19,16 m²

Ответ

A = 19,16 m²
4.Теплообменники (LMTD)

Ответ: Tc,out = 67,35 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Объединяем энергетический баланс и уравнение теплопередачи

При ΔT₁ = Ts − Tc,in и ΔT₂ = Ts − Tc,out разность ΔT₁ − ΔT₂ равна повышению температуры воды, поэтому это повышение сокращается.

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 3000·4/(3·4180) = 0,9569

Температура на выходе

ΔT₂ = ΔT₁·e−0,9569 = 85·0,3841 = 32,65 K
Tc,out = 100 − 32,65 = 67,35 °C

Ответ

Tc,out = 67,35 °C

Переданная теплота: Q̇ = 656,5 kW.

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer