Тепломассообмен: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (4) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теплопроводность

Закон Фурье
Q̇ = kAΔT/L
Термическое сопротивление теплопроводности
R = L/(kA)
Термическое сопротивление теплоотдачи
R = 1/(hA)
Последовательные сопротивления
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Коэффициент теплопередачи U
U = 1/(ΣR·A)

Теплообменники (LMTD)

Тепловая нагрузка
Q = U·A·ΔTlm
Среднелогарифмический температурный напор
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Баланс потоков
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Тренировочные задачи

1.ТеплопроводностьСредняя
Бетон, k = 1,4250 mmДревесина, k = 0,17150 mm16 °C5 °CTi​ = ?Q̇

Стена состоит из слоя 250 mm (бетон) и слоя 150 mm (древесина), её площадь 12 m². Наружные поверхности имеют 16 °C и 5 °C. Найдите температуру Ti на границе двух слоёв.

L1 = 250 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 16 °CT3 = 5 °C
Ti = °C
2.ТеплопроводностьСложная
Древесина, k = 0,17200 mmМинеральная вата, k = 0,04150 mmпомещение 21 °Cснаружи 4 °CTs​ = ?Q̇

Стена из 200 mm (древесина) и 150 mm (минеральная вата) отделяет помещение при 21 °C от наружного воздуха при 4 °C. Коэффициенты теплоотдачи — 8 W/(m²·K) внутри и 20 W/(m²·K) снаружи, площадь стены 20 m². Найдите температуру Ts внутренней поверхности стены.

L1 = 200 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 20 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = 4 °C
Ts = °C
3.Теплообменники (LMTD)Средняя
длинаT95 °C40 °C75 °C25 °CΔT₁ΔT₂противоток

Противоточный теплообменник передаёт 430 kW. Горячий теплоноситель охлаждается с 95 до 40 °C, а холодный нагревается с 25 до 75 °C. Коэффициент теплопередачи 1000 W/(m²·K). Найдите необходимую площадь теплообмена A.

Q̇ = 430 kWU = 1000 W/(m²·K)Th: 95 → 40 °CTc: 25 → 75 °C
A = m²
4.Теплообменники (LMTD)Сложная
длинаT135 °C85 °C48,34 °C30 °CΔT₁ΔT₂противоток

Горячее масло (1 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) охлаждается с 135 до 85 °C в противоточном теплообменнике. Оно нагревает 1,5 kg/s воды (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), входящей при 30 °C. При U = 1500 W/(m²·K) найдите необходимую площадь теплообмена A.

ṁh = 1 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 135 → 85 °Cṁc = 1,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 30 °CU = 1500 W/(m²·K)
A = m²

3Растворы

1.Теплопроводность

Ответ: Ti = 14,15 °C

Термическое сопротивление: установившийся тепловой поток через последовательные слои ведёт себя как ток через последовательные резисторы: Q̇ = ΔT/ΣR, где R = L/(kA) для теплопроводного слоя и R = 1/(hA) для поверхности с конвекцией. Перепад температуры на каждом слое пропорционален его сопротивлению.

Сопротивления слоёв

R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(1,4·12) = 0,01488 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,17·12) = 0,07353 K/W

Тепловой поток

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 11/0,08841 = 124,4 W

Температура на границе

На первом слое температура падает на Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 16 − 124,4·0,01488 = 14,15 °C

Ответ

Ti = 14,15 °C
2.Теплопроводность

Ответ: Ts = 20,58 °C

Термическое сопротивление: установившийся тепловой поток через последовательные слои ведёт себя как ток через последовательные резисторы: Q̇ = ΔT/ΣR, где R = L/(kA) для теплопроводного слоя и R = 1/(hA) для поверхности с конвекцией. Перепад температуры на каждом слое пропорционален его сопротивлению.

Последовательные сопротивления

Ri = 1/(hiA) = 1/(8·20) = 0,00625 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,17·20) = 0,05882 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,04·20) = 0,1875 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·20) = 0,0025 K/W
ΣR = 0,2551 K/W

Теплопотери

Q̇ = (21 − (4))/0,2551 = 66,65 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 21 − 66,65·0,00625 = 20,58 °C

Ответ

Ts = 20,58 °C
3.Теплообменники (LMTD)

Ответ: A = 24,74 m²

Метод LMTD: разность температур между потоками меняется вдоль теплообменника, поэтому уравнение теплопередачи использует её среднелогарифмическое значение: Q̇ = U·A·ΔTlm, где ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ и ΔT₂ — разности на двух концах. При тех же температурах на входе и выходе противоток даёт больший ΔTlm, чем прямоток.

Разности температур на концах

При противотоке горячий вход напротив холодного выхода, а горячий выход — напротив холодного входа.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 95 − 75 = 20 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 40 − 25 = 15 K

Среднелогарифмическая разность температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (20 − 15)/ln(20/15) = 17,38 K

Площадь

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 430000/(1000·17,38) = 24,74 m²

Ответ

A = 24,74 m²
4.Теплообменники (LMTD)

Ответ: A = 1,101 m²

Метод LMTD: разность температур между потоками меняется вдоль теплообменника, поэтому уравнение теплопередачи использует её среднелогарифмическое значение: Q̇ = U·A·ΔTlm, где ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ и ΔT₂ — разности на двух концах. При тех же температурах на входе и выходе противоток даёт больший ΔTlm, чем прямоток.

Тепловая нагрузка и температура воды на выходе

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1·2,3·50 = 115 kW
Tc,out = 30 + 115/(1,5·4,18) = 48,34 °C

Разности температур на концах

При противотоке горячий вход напротив холодного выхода, а горячий выход — напротив холодного входа.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 135 − 48,34 = 86,66 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 85 − 30 = 55 K

Среднелогарифмическая разность температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (86,66 − 55)/ln(86,66/55) = 69,63 K

Площадь

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 115000/(1500·69,63) = 1,101 m²

Ответ

A = 1,101 m²

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer