Тепломассообмен: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (4) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теплопроводность

Закон Фурье
Q̇ = kAΔT/L
Термическое сопротивление теплопроводности
R = L/(kA)
Термическое сопротивление теплоотдачи
R = 1/(hA)
Последовательные сопротивления
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Коэффициент теплопередачи U
U = 1/(ΣR·A)

Теплообменники (LMTD)

Тепловая нагрузка
Q = U·A·ΔTlm
Среднелогарифмический температурный напор
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Баланс потоков
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Тренировочные задачи

1.ТеплопроводностьСредняя
Пенополистирол, k = 0,035200 mmМинеральная вата, k = 0,0475 mm19 °C9 °CTi​ = ?Q̇

Стена состоит из слоя 200 mm (пенополистирол) и слоя 75 mm (минеральная вата), её площадь 12 m². Наружные поверхности имеют 19 °C и 9 °C. Найдите температуру Ti на границе двух слоёв.

L1 = 200 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 19 °CT3 = 9 °C
Ti = °C
2.ТеплопроводностьСложная
Гипсокартон, k = 0,1750 mmМинеральная вата, k = 0,0425 mmпомещение 20 °Cснаружи -2 °CTs​ = ?Q̇

Стена из 50 mm (гипсокартон) и 25 mm (минеральная вата) отделяет помещение при 20 °C от наружного воздуха при -2 °C. Коэффициенты теплоотдачи — 8 W/(m²·K) внутри и 30 W/(m²·K) снаружи, площадь стены 8 m². Найдите температуру Ts внутренней поверхности стены.

L1 = 50 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 8 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -2 °C
Ts = °C
3.Теплообменники (LMTD)Средняя
длинаT150 °C125 °C120 °C20 °CΔT₁ΔT₂противоток

Противоточный теплообменник передаёт 80 kW. Площадь его поверхности теплопередачи 25 m². Горячий теплоноситель охлаждается с 150 до 125 °C, а холодный нагревается с 20 до 120 °C. Найдите коэффициент теплопередачи U.

Q̇ = 80 kWA = 25 m²Th: 150 → 125 °CTc: 20 → 120 °C
U = W/(m²·K)
4.Теплообменники (LMTD)Сложная
длинаT80 °C30 °C39,9 °C10 °CΔT₁ΔT₂противоток

Горячее масло (1,5 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) охлаждается с 80 до 30 °C в противоточном теплообменнике. Оно нагревает 1,5 kg/s воды (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), входящей при 10 °C. При U = 300 W/(m²·K) найдите необходимую площадь теплообмена A.

ṁh = 1,5 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 80 → 30 °Cṁc = 1,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °CU = 300 W/(m²·K)
A = m²

3Растворы

1.Теплопроводность

Ответ: Ti = 11,47 °C

Термическое сопротивление: установившийся тепловой поток через последовательные слои ведёт себя как ток через последовательные резисторы: Q̇ = ΔT/ΣR, где R = L/(kA) для теплопроводного слоя и R = 1/(hA) для поверхности с конвекцией. Перепад температуры на каждом слое пропорционален его сопротивлению.

Сопротивления слоёв

R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,035·12) = 0,4762 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,04·12) = 0,1563 K/W

Тепловой поток

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 10/0,6324 = 15,81 W

Температура на границе

На первом слое температура падает на Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 19 − 15,81·0,4762 = 11,47 °C

Ответ

Ti = 11,47 °C
2.Теплопроводность

Ответ: Ts = 17,45 °C

Термическое сопротивление: установившийся тепловой поток через последовательные слои ведёт себя как ток через последовательные резисторы: Q̇ = ΔT/ΣR, где R = L/(kA) для теплопроводного слоя и R = 1/(hA) для поверхности с конвекцией. Перепад температуры на каждом слое пропорционален его сопротивлению.

Последовательные сопротивления

Ri = 1/(hiA) = 1/(8·8) = 0,01563 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,17·8) = 0,03676 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,04·8) = 0,07813 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·8) = 0,004167 K/W
ΣR = 0,1347 K/W

Теплопотери

Q̇ = (20 − (-2))/0,1347 = 163,3 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 163,3·0,01563 = 17,45 °C

Ответ

Ts = 17,45 °C
3.Теплообменники (LMTD)

Ответ: U = 53,45 W/(m²·K)

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Разности температур на концах

При противотоке горячий вход напротив холодного выхода, а горячий выход — напротив холодного входа.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 150 − 120 = 30 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 125 − 20 = 105 K

Среднелогарифмическая разность температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (30 − 105)/ln(30/105) = 59,87 K

Коэффициент теплопередачи

U = Q̇/(A·ΔTlm) = 80000/(25·59,87) = 53,45 W/(m²·K)

Ответ

U = 53,45 W/(m²·K)
4.Теплообменники (LMTD)

Ответ: A = 21,63 m²

Метод LMTD: разность температур между потоками меняется вдоль теплообменника, поэтому уравнение теплопередачи использует её среднелогарифмическое значение: Q̇ = U·A·ΔTlm, где ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ и ΔT₂ — разности на двух концах. При тех же температурах на входе и выходе противоток даёт больший ΔTlm, чем прямоток.

Тепловая нагрузка и температура воды на выходе

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1,5·2,5·50 = 187,5 kW
Tc,out = 10 + 187,5/(1,5·4,18) = 39,9 °C

Разности температур на концах

При противотоке горячий вход напротив холодного выхода, а горячий выход — напротив холодного входа.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 80 − 39,9 = 40,1 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 30 − 10 = 20 K

Среднелогарифмическая разность температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (40,1 − 20)/ln(40,1/20) = 28,89 K

Площадь

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 187500/(300·28,89) = 21,63 m²

Ответ

A = 21,63 m²

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer