Инвестиции и оценка стоимости: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Вы инвестируете €8 000 под номинальную ставку 2 % годовых с капитализацией ежеквартальной. Найдите стоимость FV инвестиции через 2 лет.

PV = €8 0002% / 4n = 2

FV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Вы откладываете €500 в конце каждого месяца в течение 7 лет. Счёт даёт 6 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько вы накопите в конце? Найдите FV.

A = €5006% / 12N = 84

FV = €

3.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 выплачивает ежегодный купон 3% и погашается через 4 лет. Её доходность к погашению меняется с 5% до 6,5%. На сколько ΔP изменится цена облигации?

F = €1 000купон = 3%n = 4y₁ = 5%y₂ = 6,5%

ΔP = €

4.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация торгуется по €900 при доходности к погашению 4% (ежегодная капитализация) и дюрации Маколея 8,1 лет. С помощью модифицированной дюрации оцените новую цену P, если доходность вырастет на 150 базисных пунктов.

P₀ = €900y = 4%D = 8,1Δy = +150 bp

P = €

5.CAPM и WACCСредняя

У компании собственный капитал стоимостью €4 000 000 и долг стоимостью €4 000 000. Стоимость собственного капитала — 11%, стоимость заёмного капитала до налогов — 3,5%, ставка налога — 21%. Найдите WACC.

E = €4 000 000D = €4 000 000r_e = 11%r_d = 3,5%T = 21%

WACC = %

6.CAPM и WACCСложная

Рыночная стоимость собственного капитала компании — €5 000 000, стоимость собственного капитала — 12%. Её долг состоит из 2 000 облигаций (номинал €1 000, ежегодный купон 5%, 11 лет до погашения), каждая из которых торгуется по €1 135. Ставка налога — 25%. Найдите WACC, используя доходность облигаций к погашению как стоимость долга до налогов.

E = €5 000 000r_e = 12%облигации: 2 000 × €1 135купон = 5%n = 11T = 25%

WACC = %

7.NPV и IRRСредняя

Станок стоит €20 000 сегодня, служит 8 лет, а его эксплуатация обходится в €1 000 в год (оплата в конце каждого года). Стоимость капитала — 12 %. Найдите его эквивалентные годовые затраты EAC.

C₀ = €20 000M = €1 000n = 8r = 12%

EAC = €

8.NPV и IRRСложная

Проект стоит €10 000 и приносит €5 000, €6 000, €5 500, €4 000 в конце годов с 1-го по 4-й. Денежные потоки можно реинвестировать по стоимости капитала 10 %. Найдите модифицированную внутреннюю норму доходности MIRR в процентах.

r = 10%CF₀ = −10 000CF₁ = 5 000CF₂ = 6 000CF₃ = 5 500CF₄ = 4 000

MIRR = %

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 8326 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = r/m = 0,02/4 = 0,005

N = m·n = 4·2 = 8

Будущая стоимость

FV = 8 000·(1 + 0,005)⁸ = 8 000·1,041 = €8 325,66

Ответ

FV = €8 325,66

2.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 52037 €

Месячная ставка и число взносов

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·7 = 84

Будущая стоимость взносов

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 500·(1,52 − 1)/0,005 = €52 036,96

Ответ

FV = €52 036,96

Сами вы внесли €42 000; остальное — проценты.

3.Цена и доходность облигаций

Ответ: ΔP = −48,98 €

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

Цена при прежней доходности

C = €30,00, i = 0,05, N = 4

€30,00·(1 − 0,8227)/0,05 + €1 000·0,8227 = €106,38 + €822,70 = €929,08

Цена при новой доходности

C = €30,00, i = 0,065, N = 4

€30,00·(1 − 0,7773)/0,065 + €1 000·0,7773 = €102,77 + €777,32 = €880,10

Изменение

ΔP = 880,10 − 929,08 = −€48,98

Ответ

ΔP = −€48,98

4.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 794,9 €

Дюрация: дюрация Маколея — это средневзвешенное время поступления денежных потоков по облигации, где весами служат приведённые стоимости денежных потоков: D = Σ t·PVₜ/P. Модифицированная дюрация D/(1 + y) оценивает процентное изменение цены при небольшом изменении доходности: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Модифицированная дюрация

D_mod = 8,1/1,04 = 7,788

Оценка изменения цены

%ΔP ≈ −7,788·(0,015) = −11,68%

P ≈ 900·(1 − 0,1168) = €794,86

Ответ

P = €794,86

Дюрация даёт линейную оценку; при больших изменениях доходности из-за выпуклости фактическая цена немного выше.

5.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 6,883 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = €8 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5

WACC

WACC = 0,5·11% + 0,5·3,5%·(1 − 0,21) = 6,883%

Ответ

WACC = 6,883%

6.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 9,073 %

Стоимость долга (YTM)

1135 = 50·(1 − (1 + y)⁻¹¹)/y + 1000/(1 + y)¹¹

y = 3,5%

Рыночные стоимости

D = 2 000·€1 135 = €2 270 000

V = €7 270 000, E/V = 0,6878, D/V = 0,3122

WACC

WACC = 0,6878·12% + 0,3122·3,5%·(1 − 0,25) = 9,073%

Ответ

WACC = 9,073%

7.NPV и IRR

Ответ: EAC = 5026 €

Эквивалентные годовые затраты: распределите приведённую стоимость всех затрат по сроку службы в виде равной ежегодной суммы (аннуитета): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Это позволяет сравнивать станки с разным сроком службы.

Коэффициент аннуитета

(1 − 1,12⁻⁸)/0,12 = 4,968

Цена покупки в пересчёте на год

20 000/4,968 = 4 026,06

EAC

EAC = 4 026,06 + 1 000 = €5 026,06

Ответ

EAC = €5 026,06

8.NPV и IRR

Ответ: MIRR = 24,42 %

Модифицированная IRR: нарастите каждое поступление до конца проекта по ставке реинвестирования (обычно по стоимости капитала), чтобы получить конечную стоимость TV. MIRR — это ставка, превращающая первоначальные инвестиции в TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Конечная стоимость поступлений

5 000·1,1³ = 6 655,00

6 000·1,1² = 7 260,00

5 500·1,1¹ = 6 050,00

4 000·1,1⁰ = 4 000,00

TV = 23 965,00

MIRR

MIRR = (23 965,00/10 000)^1/4 − 1 = 24,42%

Ответ

MIRR = 24,42%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation