Инвестиции и оценка стоимости: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Через 2 лет вам нужно €40 000. Счёт даёт 4,8 % годовых с капитализацией ежемесячной. Сколько нужно положить сегодня? Найдите приведённую стоимость PV.

FV = €40 0004,8% / 12n = 2

PV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Вы вносите €2 000 в начале каждого года в течение 21 лет, первый взнос — сегодня. Счёт даёт 3 % годовых. Сколько будет на счёте в конце года 21? Найдите FV.

A = €2 000i = 3%n = 21

FV = €

3.Цена и доходность облигацийСредняя

Вы покупаете облигацию со сроком до погашения 10 лет (номинал €1 000, ежегодный купон 6%) при доходности к погашению 7%. Через год, сразу после получения первого купона, вы продаёте её при доходности к погашению 6,5%. Найдите доходность за период владения HPR в процентах.

F = €1 000купон = 6%n = 10y₀ = 7%y₁ = 6,5%

HPR = %

4.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 6% погашается через 8 лет и продаётся за €1 100. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.

F = €1 000купон = 6%n = 8P = €1 100

YTM = %

5.CAPM и WACCСредняя

Собственный капитал компании стоит €5 000 000, долг — €4 000 000. Её WACC равна 8,67%, стоимость долга до налогов — 6%, ставка налога — 25%. Найдите стоимость собственного капитала r_e.

E = €5 000 000D = €4 000 000WACC = 8,67%r_d = 6%T = 25%

r_e = %

6.CAPM и WACCСложная

Рыночная стоимость собственного капитала компании — €6 000 000, стоимость собственного капитала — 10%. Её долг состоит из 2 000 облигаций (номинал €1 000, ежегодный купон 5%, 5 лет до погашения), каждая из которых торгуется по €1 022. Ставка налога — 25,8%. Найдите WACC, используя доходность облигаций к погашению как стоимость долга до налогов.

E = €6 000 000r_e = 10%облигации: 2 000 × €1 022купон = 5%n = 5T = 25,8%

WACC = %

7.NPV и IRRСредняя

Инвестиция €30 000 даёт в конце лет с 1 по 4 такие денежные потоки: €14 000, €11 000, €14 000, €9 000. Стоимость капитала — 9 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

r = 9%CF₀ = −30 000CF₁ = 14 000CF₂ = 11 000CF₃ = 14 000CF₄ = 9 000

NPV = €

8.NPV и IRRСложная

Проект A стоит €10 000 и приносит €5 500, €4 000, €2 000 в конце годов с 1-го по 3-й. Проект B стоит €15 000 и приносит €4 000, €6 000, €7 500. Найдите точку Фишера (ставку пересечения) r*, при которой оба проекта имеют одинаковую NPV, в процентах.

A: −10 000, 5 500, 4 000, 2 000B: −15 000, 4 000, 6 000, 7 500

r* = %

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: PV = 36346 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·2 = 24

Приведённая стоимость

PV = FV/(1 + i)^N = 40 000/1,101 = €36 345,52

Ответ

PV = €36 345,52

2.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 59074 €

Коэффициент обычного аннуитета

((1 + 0,03)²¹ − 1)/0,03 = 28,68

Аннуитет пренумерандо

Каждый взнос инвестирован на год дольше.

FV = 2 000·28,68·1,03 = €59 073,56

Ответ

FV = €59 073,56

3.Цена и доходность облигаций

Ответ: HPR = 10,43 %

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

Цена покупки

C = €60,00, i = 0,07, N = 10

€60,00·(1 − 0,5083)/0,07 + €1 000·0,5083 = €421,41 + €508,35 = €929,76

Цена продажи

C = €60,00, i = 0,065, N = 9

€60,00·(1 − 0,5674)/0,065 + €1 000·0,5674 = €399,37 + €567,35 = €966,72

Доходность за период владения

HPR = (60 + 966,72 − 929,76)/929,76 = 10,43%

Ответ

HPR = 10,43%

4.Цена и доходность облигаций

Ответ: YTM = 4,485 %

Уравнение для доходности

€1 100 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

Численное решение

P(4%) = €1 134,65, P(5%) = €1 064,63

YTM = 4,485%

Ответ

YTM = 4,485%

5.CAPM и WACC

Ответ: r_e = 12,01 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = €9 000 000, E/V = 0,5556, D/V = 0,4444

Долговая часть WACC

0,4444·6%·(1 − 0,25) = 2%

Стоимость собственного капитала

r_e = (8,67% − 2%)/0,5556 = 12,01%

Ответ

r_e = 12,01%

6.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 8,307 %

Стоимость долга (YTM)

1022 = 50·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + 1000/(1 + y)⁵

y = 4,499%

Рыночные стоимости

D = 2 000·€1 022 = €2 044 000

V = €8 044 000, E/V = 0,7459, D/V = 0,2541

WACC

WACC = 0,7459·10% + 0,2541·4,499%·(1 − 0,258) = 8,307%

Ответ

WACC = 8,307%

7.NPV и IRR

Ответ: NPV = 9289 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость каждого потока

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,09)¹ = 14 000/1,09 = 12 844,04

CF₂/(1 + 0,09)² = 11 000/1,188 = 9 258,48

CF₃/(1 + 0,09)³ = 14 000/1,295 = 10 810,57

CF₄/(1 + 0,09)⁴ = 9 000/1,412 = 6 375,83

Сложите

NPV = €9 288,91

Ответ

NPV = €9 288,91

NPV положительна, значит проект зарабатывает больше требуемой доходности.

8.NPV и IRR

Ответ: r* = 5,886 %

Ставка пересечения (точка Фишера): ставка дисконтирования, при которой два проекта имеют одинаковую NPV. Это IRR разности их денежных потоков (B − A). Ниже неё больше NPV у проекта с более поздними и крупными денежными потоками; выше неё выигрывает другой.

Разность денежных потоков

ΔCF₀ = −15 000 − (−10 000) = −5 000

ΔCF₁ = 4 000 − 5 500 = −1 500

ΔCF₂ = 6 000 − 4 000 = 2 000

ΔCF₃ = 7 500 − 2 000 = 5 500

IRR разности

NPV_Δ(5%) = 136,59

NPV_Δ(6%) = −17,20

r* = 5,886%

Ответ

r* = 5,886%

Проверка: при 5,886% обе NPV равны €446,54.

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation