Инвестиции и оценка стоимости: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Кредитная карта начисляет номинальную процентную ставку 21 % годовых с ежемесячной капитализацией. Найдите эффективную годовую ставку EAR в процентах.

r = 21%m = 12

EAR = %

2.Временная стоимость денегСложная

Вы берёте в долг €20 000 под 4,8 % годовых с ежемесячной капитализацией и погашаете €275 в конце каждого месяца. Через сколько месяцев кредит будет погашен (последний платёж может быть меньше)? Укажите число платежей N.

P = €20 000A = €2754,8% / 12

N = платежей

3.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 погашается через 11 лет и выплачивает ежегодные купоны. Она продаётся за €907 при доходности к погашению 3%. Найдите купонную ставку c в процентах.

F = €1 000n = 11P = €907YTM = 3%

c = %

4.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 7% погашается через 3 лет и продаётся за €935. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.

F = €1 000купон = 7%n = 3P = €935

YTM = %

5.CAPM и WACCСредняя

У компании собственный капитал стоимостью €12 000 000 и долг стоимостью €1 000 000. Стоимость собственного капитала — 11%, стоимость заёмного капитала до налогов — 7%, ставка налога — 21%. Найдите WACC.

E = €12 000 000D = €1 000 000r_e = 11%r_d = 7%T = 21%

WACC = %

6.CAPM и WACCСложная

Рыночная стоимость собственного капитала компании — €6 000 000, стоимость собственного капитала — 11%. Её долг состоит из 2 000 облигаций (номинал €1 000, ежегодный купон 6%, 9 лет до погашения), каждая из которых торгуется по €904. Ставка налога — 30%. Найдите WACC, используя доходность облигаций к погашению как стоимость долга до налогов.

E = €6 000 000r_e = 11%облигации: 2 000 × €904купон = 6%n = 9T = 30%

WACC = %

7.NPV и IRRСредняя

Инвестиция €75 000 даёт в конце лет с 1 по 3 такие денежные потоки: €32 000, €15 000, €31 000. Стоимость капитала — 6 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

r = 6%CF₀ = −75 000CF₁ = 32 000CF₂ = 15 000CF₃ = 31 000

NPV = €

8.NPV и IRRСложная

Проект стоит €10 000 и приносит €5 000, €3 500, €4 000 в конце лет с 1 по 3. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −10 000CF₁ = 5 000CF₂ = 3 500CF₃ = 4 000

IRR = %

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: EAR = 23,14 %

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка за период

r/m = 0,21/12 = 0,0175

Наращение за один год

EAR = (1 + 0,0175)¹² − 1 = 1,231 − 1 = 23,14%

Ответ

EAR = 23,14%

Если проценты начисляются чаще одного раза в год, EAR всегда выше номинальной ставки.

2.Временная стоимость денег

Ответ: N = 87 платежей

Преобразуем формулу аннуитета

i = 0,004

(1 + i)^−N = 1 − 20 000·0,004/275 = 0,7091

Решаем с помощью логарифмов

N = −ln(0,7091)/ln(1,004) = 86,11

Округляем вверх до целых платежей

После 86 полных платежей остаётся небольшой долг, который погашает последний, меньший платёж.

N = 87

Ответ

N = 87 платежей

3.Цена и доходность облигаций

Ответ: c = 1,995 %

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

Приведённая стоимость номинала

1000·(1 + 0,03)⁻¹¹ = €722,42

Купон

C = (907 − 722,42)/9,253 = €19,95

Купонная ставка

c = 19,95/1000 = 1,995%

Ответ

c = 1,995%

4.Цена и доходность облигаций

Ответ: YTM = 9,595 %

Уравнение для доходности

€935 = €70·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

Численное решение

P(9%) = €949,37, P(10%) = €925,39

YTM = 9,595%

Ответ

YTM = 9,595%

5.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 10,58 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = €13 000 000, E/V = 0,9231, D/V = 0,07692

WACC

WACC = 0,9231·11% + 0,07692·7%·(1 − 0,21) = 10,58%

Ответ

WACC = 10,58%

6.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 9,669 %

Стоимость долга (YTM)

904 = 60·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + 1000/(1 + y)⁹

y = 7,505%

Рыночные стоимости

D = 2 000·€904 = €1 808 000

V = €7 808 000, E/V = 0,7684, D/V = 0,2316

WACC

WACC = 0,7684·11% + 0,2316·7,505%·(1 − 0,3) = 9,669%

Ответ

WACC = 9,669%

7.NPV и IRR

Ответ: NPV = −5433 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость каждого потока

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,06)¹ = 32 000/1,06 = 30 188,68

CF₂/(1 + 0,06)² = 15 000/1,124 = 13 349,95

CF₃/(1 + 0,06)³ = 31 000/1,191 = 26 028,20

Сложите

NPV = €−5 433,18

Ответ

NPV = €−5 433,18

NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.

8.NPV и IRR

Ответ: IRR = 12,62 %

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(10%) = 443,28

NPV(15%) = −375,61

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 10 + 5·443,28/(443,28 − (−375,61)) = 12,71%

точно: NPV(12,62%) = 0 → IRR = 12,62%

Ответ

IRR = 12,62%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation