Инвестиции и оценка стоимости: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Кредитная карта начисляет номинальную процентную ставку 17,5 % годовых с ежемесячной капитализацией. Найдите эффективную годовую ставку EAR в процентах.

r = 17,5%m = 12

EAR = %

2.Временная стоимость денегСложная

Кредит €200 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 25 лет. Ставка — 7,2 % годовых с ежемесячной капитализацией. Найдите ежемесячный платёж A.

P = €200 0007,2% / 12N = 300

A = €

3.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 6%, выплачиваемый двумя полугодовыми платежами; срок до погашения — 10 лет. Доходность к погашению — 8% годовых. Найдите цену облигации P.

F = €1 000купон = 6%YTM = 8%n = 10

P = €

4.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация со сроком до погашения 15 лет (номинал €1 000, ежегодный купон 5%) продаётся за €1 310. Эмитент может досрочно погасить её через 3 лет по цене отзыва €1 050. Найдите доходность к отзыву YTC в процентах.

F = €1 000купон = 5%P = €1 310цена отзыва = €1 050отзыв через 3 годы

YTC = %

5.CAPM и WACCСредняя

У компании собственный капитал стоимостью €10 000 000 и долг стоимостью €2 000 000. Стоимость собственного капитала — 12%, стоимость заёмного капитала до налогов — 4,5%, ставка налога — 20%. Найдите WACC.

E = €10 000 000D = €2 000 000r_e = 12%r_d = 4,5%T = 20%

WACC = %

6.CAPM и WACCСложная

У компании 4 000 000 акций по €55,00 за штуку и 5 000 облигаций рыночной стоимостью €1 050 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 3%, ставка налога — 28%. Бета акции — 1,8, безрисковая ставка — 1%, доходность рынка — 8%. Найдите WACC.

β = 1,8r_f = 1%r_m = 8%r_d = 3%T = 28%

WACC = %

7.NPV и IRRСредняя

Проект стоит €30 000 сегодня и приносит €10 500 в конце каждого года в течение 6 лет. Стоимость капитала — 6 %. Считайте, что денежные потоки поступают равномерно в течение каждого года. Найдите дисконтированный срок окупаемости DPB в годах.

r = 6%CF₀ = −30 000CF₁ = 10 500CF₂ = 10 500CF₃ = 10 500CF₄ = 10 500CF₅ = 10 500CF₆ = 10 500

DPB = годы

8.NPV и IRRСложная

Проект стоит €10 000 и приносит €4 500, €5 000, €3 500, €4 000 в конце годов с 1-го по 4-й. Денежные потоки можно реинвестировать по стоимости капитала 12 %. Найдите модифицированную внутреннюю норму доходности MIRR в процентах.

r = 12%CF₀ = −10 000CF₁ = 4 500CF₂ = 5 000CF₃ = 3 500CF₄ = 4 000

MIRR = %

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: EAR = 18,97 %

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка за период

r/m = 0,175/12 = 0,01458

Наращение за один год

EAR = (1 + 0,01458)¹² − 1 = 1,19 − 1 = 18,97%

Ответ

EAR = 18,97%

Если проценты начисляются чаще одного раза в год, EAR всегда выше номинальной ставки.

2.Временная стоимость денег

Ответ: A = 1439 €

Месячная ставка и число платежей

i = 0,07200000000000001/12 = 0,006

N = 12·25 = 300

Платёж

Приведённая стоимость N равных платежей A равна A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Приравняйте её к кредиту и найдите A.

(1 + i)^−N = 0,1662

A = 200 000·0,006/(1 − 0,1662) = €1 439,18

Ответ

A = €1 439,18

3.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 864,1 €

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

За период

C = €30,00, i = 0,04, N = 20

Приведённая стоимость купонов

€30,00·(1 − 0,4564)/0,04 = €407,71

Приведённая стоимость номинала

€1 000·0,4564 = €456,39

Цена

P = €864,10

Ответ

P = €864,10

Доходность выше купонной ставки, поэтому облигация продаётся с дисконтом.

4.Цена и доходность облигаций

Ответ: YTC = 50 %

Уравнение для доходности

1310 = 50·(1 − (1 + y)⁻³)/y + 1050/(1 + y)³

Численное решение

y = 50%: €381,48

YTC = 50%

Ответ

YTC = 50%

Доходность к погашению равна 2,497%. Инвесторы в облигацию, торгующуюся с премией, ожидают её отзыва, поэтому более низкая доходность к отзыву реалистичнее.

5.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 10,6 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = €12 000 000, E/V = 0,8333, D/V = 0,1667

WACC

WACC = 0,8333·12% + 0,1667·4,5%·(1 − 0,2) = 10,6%

Ответ

WACC = 10,6%

6.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 13,33 %

Рыночные стоимости

E = 4 000 000·€55,00 = €220 000 000

D = 5 000·€1 050 = €5 250 000

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 1% + 1,8·7% = 13,6%

Веса

V = €225 250 000, E/V = 0,9767, D/V = 0,02331

WACC

WACC = 0,9767·13,6% + 0,02331·3%·(1 − 0,28) = 13,33%

Ответ

WACC = 13,33%

7.NPV и IRR

Ответ: DPB = 3,232 годы

Срок окупаемости: время, за которое накопленные денежные потоки возмещают первоначальные инвестиции. Предполагается, что деньги поступают равномерно в течение каждого года, поэтому последний отрезок — это доля года. Простой срок окупаемости не учитывает временную стоимость денег; дисконтированный срок окупаемости использует вместо этого дисконтированные денежные потоки.

Дисконтированные и накопленные денежные потоки

год 1: 10 500/1,06 = 9 905,66 → Σ = 9 905,66

год 2: 10 500/1,124 = 9 344,96 → Σ = 19 250,62

год 3: 10 500/1,191 = 8 816,00 → Σ = 28 066,63

год 4: 10 500/1,262 = 8 316,98 → Σ = 36 383,61

Доля последнего года

DPB = 3 + 1 933,37/8 316,98 = 3,232

Ответ

DPB = 3,232 годы

Дисконтированный срок окупаемости всегда длиннее простого (2,857 лет).

8.NPV и IRR

Ответ: MIRR = 19,68 %

Модифицированная IRR: нарастите каждое поступление до конца проекта по ставке реинвестирования (обычно по стоимости капитала), чтобы получить конечную стоимость TV. MIRR — это ставка, превращающая первоначальные инвестиции в TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Конечная стоимость поступлений

4 500·1,12³ = 6 322,18

5 000·1,12² = 6 272,00

3 500·1,12¹ = 3 920,00

4 000·1,12⁰ = 4 000,00

TV = 20 514,18

MIRR

MIRR = (20 514,18/10 000)^1/4 − 1 = 19,68%

Ответ

MIRR = 19,68%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation