Инвестиции и оценка стоимости: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Через 7 лет вам нужно €50 000. Счёт даёт 5 % годовых с капитализацией ежеквартальной. Сколько нужно положить сегодня? Найдите приведённую стоимость PV.

FV = €50 0005% / 4n = 7

PV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Вы откладываете €200 в конце каждого месяца в течение 25 лет. Счёт даёт 3 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько вы накопите в конце? Найдите FV.

A = €2003% / 12N = 300

FV = €

3.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 погашается через 15 лет и выплачивает ежегодные купоны. Она продаётся за €1 239 при доходности к погашению 3%. Найдите купонную ставку c в процентах.

F = €1 000n = 15P = €1 239YTM = 3%

c = %

4.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 выплачивает годовой купон 2% двумя полугодовыми платежами и погашается через 8 лет. Она продаётся за €896. Найдите её доходность к погашению YTM как годовую ставку (удвоенная полугодовая доходность) в процентах.

F = €1 000купон = 2% (2×)n = 8P = €896

YTM = %

5.CAPM и WACCСредняя

Акция с бетой 0,9 имеет требуемую доходность 8,4%. Безрисковая ставка — 3%. Какую ожидаемую доходность рынка r_m подразумевает CAPM?

β = 0,9r_e = 8,4%r_f = 3%

r_m = %

6.CAPM и WACCСложная

Рыночная стоимость собственного капитала компании — €12 000 000, стоимость собственного капитала — 13%. Её долг состоит из 4 000 облигаций (номинал €1 000, ежегодный купон 7%, 10 лет до погашения), каждая из которых торгуется по €1 074. Ставка налога — 25%. Найдите WACC, используя доходность облигаций к погашению как стоимость долга до налогов.

E = €12 000 000r_e = 13%облигации: 4 000 × €1 074купон = 7%n = 10T = 25%

WACC = %

7.NPV и IRRСредняя

Проект стоит €40 000 сегодня и приносит €11 500 в конце каждого года в течение 5 лет. Стоимость капитала — 10 %. Считайте, что денежные потоки поступают равномерно в течение каждого года. Найдите дисконтированный срок окупаемости DPB в годах.

r = 10%CF₀ = −40 000CF₁ = 11 500CF₂ = 11 500CF₃ = 11 500CF₄ = 11 500CF₅ = 11 500

DPB = годы

8.NPV и IRRСложная

Проект стоит €10 000 и приносит €7 000, €5 000, €5 500 в конце лет с 1 по 3. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −10 000CF₁ = 7 000CF₂ = 5 000CF₃ = 5 500

IRR = %

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: PV = 35311 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = 0,05/4 = 0,0125

N = 4·7 = 28

Приведённая стоимость

PV = FV/(1 + i)^N = 50 000/1,416 = €35 310,93

Ответ

PV = €35 310,93

2.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 89202 €

Месячная ставка и число взносов

i = 0,03/12 = 0,0025

N = 12·25 = 300

Будущая стоимость взносов

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 200·(2,115 − 1)/0,0025 = €89 201,56

Ответ

FV = €89 201,56

Сами вы внесли €60 000; остальное — проценты.

3.Цена и доходность облигаций

Ответ: c = 5,002 %

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

Приведённая стоимость номинала

1000·(1 + 0,03)⁻¹⁵ = €641,86

Купон

C = (1239 − 641,86)/11,94 = €50,02

Купонная ставка

c = 50,02/1000 = 5,002%

Ответ

c = 5,002%

4.Цена и доходность облигаций

Ответ: YTM = 3,502 %

За период

C = €10,00, N = 16

Численное решение

i = 1,751% за полгода

YTM

YTM = 2·1,751% = 3,502%

Ответ

YTM = 3,502%

5.CAPM и WACC

Ответ: r_m = 9 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Рыночная премия за риск

r_m − r_f = (8,4% − 3%)/0,9 = 6%

Доходность рынка

r_m = 3% + 6% = 9%

Ответ

r_m = 9%

6.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 10,76 %

Стоимость долга (YTM)

1074 = 70·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + 1000/(1 + y)¹⁰

y = 5,995%

Рыночные стоимости

D = 4 000·€1 074 = €4 296 000

V = €16 296 000, E/V = 0,7364, D/V = 0,2636

WACC

WACC = 0,7364·13% + 0,2636·5,995%·(1 − 0,25) = 10,76%

Ответ

WACC = 10,76%

7.NPV и IRR

Ответ: DPB = 4,497 годы

Срок окупаемости: время, за которое накопленные денежные потоки возмещают первоначальные инвестиции. Предполагается, что деньги поступают равномерно в течение каждого года, поэтому последний отрезок — это доля года. Простой срок окупаемости не учитывает временную стоимость денег; дисконтированный срок окупаемости использует вместо этого дисконтированные денежные потоки.

Дисконтированные и накопленные денежные потоки

год 1: 11 500/1,1 = 10 454,55 → Σ = 10 454,55

год 2: 11 500/1,21 = 9 504,13 → Σ = 19 958,68

год 3: 11 500/1,331 = 8 640,12 → Σ = 28 598,80

год 4: 11 500/1,464 = 7 854,65 → Σ = 36 453,45

год 5: 11 500/1,611 = 7 140,60 → Σ = 43 594,05

Доля последнего года

DPB = 4 + 3 546,55/7 140,60 = 4,497

Ответ

DPB = 4,497 годы

Дисконтированный срок окупаемости всегда длиннее простого (3,478 лет).

8.NPV и IRR

Ответ: IRR = 36,29 %

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(35%) = 164,10

NPV(40%) = −444,61

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 35 + 5·164,10/(164,10 − (−444,61)) = 36,35%

точно: NPV(36,29%) = 0 → IRR = 36,29%

Ответ

IRR = 36,29%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation