Инвестиции и оценка стоимости: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Вы инвестируете €1 000 под 4 % годовых с непрерывным начислением процентов. Найдите стоимость FV через 12 лет.

PV = €1 000r = 4%t = 12

FV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Кредит €150 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 20 лет. Ставка — 5,4 % годовых с ежемесячной капитализацией. Найдите ежемесячный платёж A.

P = €150 0005,4% / 12N = 240

A = €

3.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 выплачивает ежегодный купон 4% и погашается через 14 лет. Её доходность к погашению меняется с 2,5% до 3%. На сколько ΔP изменится цена облигации?

F = €1 000купон = 4%n = 14y₁ = 2,5%y₂ = 3%

ΔP = €

4.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация торгуется по €1 025 при доходности к погашению 7% (ежегодная капитализация) и дюрации Маколея 10,8 лет. С помощью модифицированной дюрации оцените новую цену P, если доходность вырастет на 75 базисных пунктов.

P₀ = €1 025y = 7%D = 10,8Δy = +75 bp

P = €

5.CAPM и WACCСредняя

У компании собственный капитал стоимостью €5 000 000 и долг стоимостью €4 000 000. Стоимость собственного капитала — 8%, стоимость заёмного капитала до налогов — 3,5%, ставка налога — 25,8%. Найдите WACC.

E = €5 000 000D = €4 000 000r_e = 8%r_d = 3,5%T = 25,8%

WACC = %

6.CAPM и WACCСложная

У компании 2 000 000 акций по €11,50 за штуку и 40 000 облигаций рыночной стоимостью €1 020 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 3,5%, ставка налога — 25,8%. Бета акции — 0,8, безрисковая ставка — 2,5%, доходность рынка — 6,5%. Найдите WACC.

β = 0,8r_f = 2,5%r_m = 6,5%r_d = 3,5%T = 25,8%

WACC = %

7.NPV и IRRСредняя

Проект стоит €500 000 сегодня. Он приносит €27 000 в конце первого года, а затем денежный поток растёт на 3 % в год бессрочно. Стоимость капитала — 9 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €500 000CF₁ = €27 000g = 3%r = 9%

NPV = €

8.NPV и IRRСложная

Проект стоит €25 000 и приносит €18 500, €11 500, €11 500 в конце лет с 1 по 3. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −25 000CF₁ = 18 500CF₂ = 11 500CF₃ = 11 500

IRR = %

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 1616 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Показатель степени

r·t = 0,04·12 = 0,48

e^0,48 = 1,616

Будущая стоимость

FV = 1 000·1,616 = €1 616,07

Ответ

FV = €1 616,07

2.Временная стоимость денег

Ответ: A = 1023 €

Месячная ставка и число платежей

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·20 = 240

Платёж

Приведённая стоимость N равных платежей A равна A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Приравняйте её к кредиту и найдите A.

(1 + i)^−N = 0,3404

A = 150 000·0,0045/(1 − 0,3404) = €1 023,38

Ответ

A = €1 023,38

3.Цена и доходность облигаций

Ответ: ΔP = −62,4 €

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

Цена при прежней доходности

C = €40,00, i = 0,025, N = 14

€40,00·(1 − 0,7077)/0,025 + €1 000·0,7077 = €467,64 + €707,73 = €1 175,36

Цена при новой доходности

C = €40,00, i = 0,03, N = 14

€40,00·(1 − 0,6611)/0,03 + €1 000·0,6611 = €451,84 + €661,12 = €1 112,96

Изменение

ΔP = 1 112,96 − 1 175,36 = −€62,40

Ответ

ΔP = −€62,40

4.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 947,4 €

Дюрация: дюрация Маколея — это средневзвешенное время поступления денежных потоков по облигации, где весами служат приведённые стоимости денежных потоков: D = Σ t·PVₜ/P. Модифицированная дюрация D/(1 + y) оценивает процентное изменение цены при небольшом изменении доходности: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Модифицированная дюрация

D_mod = 10,8/1,07 = 10,09

Оценка изменения цены

%ΔP ≈ −10,09·(0,0075) = −7,57%

P ≈ 1025·(1 − 0,0757) = €947,41

Ответ

P = €947,41

Дюрация даёт линейную оценку; при больших изменениях доходности из-за выпуклости фактическая цена немного выше.

5.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 5,599 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = €9 000 000, E/V = 0,5556, D/V = 0,4444

WACC

WACC = 0,5556·8% + 0,4444·3,5%·(1 − 0,258) = 5,599%

Ответ

WACC = 5,599%

6.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 3,716 %

Рыночные стоимости

E = 2 000 000·€11,50 = €23 000 000

D = 40 000·€1 020 = €40 800 000

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 2,5% + 0,8·4% = 5,7%

Веса

V = €63 800 000, E/V = 0,3605, D/V = 0,6395

WACC

WACC = 0,3605·5,7% + 0,6395·3,5%·(1 − 0,258) = 3,716%

Ответ

WACC = 3,716%

7.NPV и IRR

Ответ: NPV = −50000 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Стоимость денежных потоков

PV = 27 000/(0,09 − 0,03) = 450 000,00

NPV

NPV = 450 000,00 − 500 000 = −€50 000,00

Ответ

NPV = −€50 000,00

NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.

8.NPV и IRR

Ответ: IRR = 33,97 %

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(30%) = 1 269,91

NPV(35%) = −312,20

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 30 + 5·1 269,91/(1 269,91 − (−312,20)) = 34,01%

точно: NPV(33,97%) = 0 → IRR = 33,97%

Ответ

IRR = 33,97%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation