Инвестиции и оценка стоимости: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Кредитная карта начисляет номинальную процентную ставку 20 % годовых с полугодовой капитализацией. Найдите эффективную годовую ставку EAR в процентах.

r = 20%m = 2

EAR = %

2.Временная стоимость денегСложная

Вы берёте в долг €20 000 под 5,4 % годовых с ежемесячной капитализацией и погашаете €350 в конце каждого месяца. Через сколько месяцев кредит будет погашен (последний платёж может быть меньше)? Укажите число платежей N.

P = €20 000A = €3505,4% / 12

N = платежей

3.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 погашается через 14 лет и выплачивает ежегодные купоны. Она продаётся за €1 297 при доходности к погашению 5%. Найдите купонную ставку c в процентах.

F = €1 000n = 14P = €1 297YTM = 5%

c = %

4.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация со сроком до погашения 16 лет (номинал €1 000, ежегодный купон 6%) продаётся за €1 233. Эмитент может досрочно погасить её через 5 лет по цене отзыва €1 060. Найдите доходность к отзыву YTC в процентах.

F = €1 000купон = 6%P = €1 233цена отзыва = €1 060отзыв через 5 годы

YTC = %

5.CAPM и WACCСредняя

Соотношение заёмного и собственного капитала компании (по рыночной стоимости) равно 0,25. Стоимость её собственного капитала — 12%, стоимость долга до налогов — 6%, ставка налога — 25,8%. Найдите WACC.

D/E = 0,25r_e = 12%r_d = 6%T = 25,8%

WACC = %

6.CAPM и WACCСложная

У компании 1 000 000 акций, торгующихся по €35,00; балансовая стоимость её собственного капитала — €14 000 000. Она только что выплатила дивиденд €2,70 на акцию, дивиденды растут на 4% в год. Рыночная стоимость её долга — €28 000 000, стоимость долга до налогов — 6%. Ставка налога — 30%. Найдите WACC, используя для стоимости собственного капитала модель роста дивидендов.

N = 1 000 000P₀ = €35,00балансовый собственный капитал = €14 000 000D₀ = €2,70g = 4%D = €28 000 000r_d = 6%T = 30%

WACC = %

7.NPV и IRRСредняя

Станок стоит €50 000 сегодня. Он приносит €8 500 в конце каждого года в течение 6 лет, а затем может быть продан за €12 500. Стоимость капитала — 10 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €50 000CF = €8 500S = €12 500n = 6r = 10%

NPV = €

8.NPV и IRRСложная

Проект стоит €25 000 и приносит €16 000, €18 000 в конце лет с 1 по 2. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −25 000CF₁ = 16 000CF₂ = 18 000

IRR = %

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: EAR = 21 %

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка за период

r/m = 0,2/2 = 0,1

Наращение за один год

EAR = (1 + 0,1)² − 1 = 1,21 − 1 = 21%

Ответ

EAR = 21%

Если проценты начисляются чаще одного раза в год, EAR всегда выше номинальной ставки.

2.Временная стоимость денег

Ответ: N = 67 платежей

Преобразуем формулу аннуитета

i = 0,0045

(1 + i)^−N = 1 − 20 000·0,0045/350 = 0,7429

Решаем с помощью логарифмов

N = −ln(0,7429)/ln(1,004) = 66,2

Округляем вверх до целых платежей

После 66 полных платежей остаётся небольшой долг, который погашает последний, меньший платёж.

N = 67

Ответ

N = 67 платежей

3.Цена и доходность облигаций

Ответ: c = 8 %

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

Приведённая стоимость номинала

1000·(1 + 0,05)⁻¹⁴ = €505,07

Купон

C = (1297 − 505,07)/9,899 = €80,00

Купонная ставка

c = 80/1000 = 8%

Ответ

c = 8%

4.Цена и доходность облигаций

Ответ: YTC = 2,18 %

Уравнение для доходности

1233 = 60·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + 1060/(1 + y)⁵

Численное решение

y = 2%: €1 242,88

y = 3%: €1 189,15

YTC = 2,18%

Ответ

YTC = 2,18%

Доходность к погашению равна 4%. Инвесторы в облигацию, торгующуюся с премией, ожидают её отзыва, поэтому более низкая доходность к отзыву реалистичнее.

5.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 10,49 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса из D/E

E/V = 1/(1 + 0,25) = 0,8

D/V = 0,25/(1 + 0,25) = 0,2

WACC

WACC = 0,8·12% + 0,2·6%·(1 − 0,258) = 10,49%

Ответ

WACC = 10,49%

6.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 8,546 %

Стоимость собственного капитала

D₁ = 2,7·1,04 = €2,81

r_e = 2,808/35 + 0,04 = 12,02%

Рыночные стоимости

E = 1 000 000·€35,00 = €35 000 000

V = €63 000 000, E/V = 0,5556, D/V = 0,4444

WACC

WACC = 0,5556·12,02% + 0,4444·6%·(1 − 0,3) = 8,546%

Ответ

WACC = 8,546%

7.NPV и IRR

Ответ: NPV = −5924 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость ежегодных денежных потоков

8 500·4,355 = 37 019,72

Приведённая стоимость ликвидационной стоимости

12 500/1,772 = 7 055,92

NPV

NPV = −50 000 + 37 019,72 + 7 055,92 = −€5 924,36

Ответ

NPV = −€5 924,36

8.NPV и IRR

Ответ: IRR = 22,69 %

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(20%) = 833,33

NPV(25%) = −680,00

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 20 + 5·833,33/(833,33 − (−680,00)) = 22,75%

точно: NPV(22,69%) = 0 → IRR = 22,69%

Ответ

IRR = 22,69%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation