Инвестиции и оценка стоимости: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Вы инвестируете €5 000 под номинальную ставку 3,6 % годовых с капитализацией ежемесячной. Найдите стоимость FV инвестиции через 9 лет.

PV = €5 0003,6% / 12n = 9

FV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Вы откладываете €300 в конце каждого месяца в течение 14 лет. Счёт даёт 2,4 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько вы накопите в конце? Найдите FV.

A = €3002,4% / 12N = 168

FV = €

3.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 выплачивает ежегодный купон 5% и погашается через 14 лет. Её доходность к погашению меняется с 6% до 4,5%. На сколько ΔP изменится цена облигации?

F = €1 000купон = 5%n = 14y₁ = 6%y₂ = 4,5%

ΔP = €

4.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 4% погашается через 10 лет и продаётся за €1 130. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.

F = €1 000купон = 4%n = 10P = €1 130

YTM = %

5.CAPM и WACCСредняя

Собственный капитал компании стоит €5 000 000, долг — €1 000 000. Её WACC равна 9,05%, стоимость долга до налогов — 6%, ставка налога — 28%. Найдите стоимость собственного капитала r_e.

E = €5 000 000D = €1 000 000WACC = 9,05%r_d = 6%T = 28%

r_e = %

6.CAPM и WACCСложная

У компании 1 000 000 акций по €20,50 за штуку и 10 000 облигаций рыночной стоимостью €1 020 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 3,5%, ставка налога — 20%. Бета акции — 0,6, безрисковая ставка — 1%, доходность рынка — 8%. Найдите WACC.

β = 0,6r_f = 1%r_m = 8%r_d = 3,5%T = 20%

WACC = %

7.NPV и IRRСредняя

Инвестиция €75 000 даёт в конце лет с 1 по 3 такие денежные потоки: €29 000, €28 000, €26 000. Стоимость капитала — 10 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

r = 10%CF₀ = −75 000CF₁ = 29 000CF₂ = 28 000CF₃ = 26 000

NPV = €

8.NPV и IRRСложная

Проект стоит €50 000 сегодня. Его денежный поток в конце года 1 равен €5 500 и растёт на 3 % в год до последнего денежного потока в конце года 10. Стоимость капитала — 8 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €50 000CF₁ = €5 500g = 3%n = 10r = 8%

NPV = €

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 6910 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = r/m = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = m·n = 12·9 = 108

Будущая стоимость

FV = 5 000·(1 + 0,003)¹⁰⁸ = 5 000·1,382 = €6 909,88

Ответ

FV = €6 909,88

2.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 59830 €

Месячная ставка и число взносов

i = 0,024/12 = 0,002

N = 12·14 = 168

Будущая стоимость взносов

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 300·(1,399 − 1)/0,002 = €59 830,43

Ответ

FV = €59 830,43

Сами вы внесли €50 400; остальное — проценты.

3.Цена и доходность облигаций

Ответ: ΔP = 144,1 €

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

Цена при прежней доходности

C = €50,00, i = 0,06, N = 14

€50,00·(1 − 0,4423)/0,06 + €1 000·0,4423 = €464,75 + €442,30 = €907,05

Цена при новой доходности

C = €50,00, i = 0,045, N = 14

€50,00·(1 − 0,54)/0,045 + €1 000·0,54 = €511,14 + €539,97 = €1 051,11

Изменение

ΔP = 1 051,11 − 907,05 = €144,06

Ответ

ΔP = €144,06

4.Цена и доходность облигаций

Ответ: YTM = 2,514 %

Уравнение для доходности

€1 130 = €40·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰

Численное решение

P(2%) = €1 179,65, P(3%) = €1 085,30

YTM = 2,514%

Ответ

YTM = 2,514%

5.CAPM и WACC

Ответ: r_e = 9,996 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = €6 000 000, E/V = 0,8333, D/V = 0,1667

Долговая часть WACC

0,1667·6%·(1 − 0,28) = 0,72%

Стоимость собственного капитала

r_e = (9,05% − 0,72%)/0,8333 = 9,996%

Ответ

r_e = 9,996%

6.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 4,403 %

Рыночные стоимости

E = 1 000 000·€20,50 = €20 500 000

D = 10 000·€1 020 = €10 200 000

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 1% + 0,6·7% = 5,2%

Веса

V = €30 700 000, E/V = 0,6678, D/V = 0,3322

WACC

WACC = 0,6678·5,2% + 0,3322·3,5%·(1 − 0,2) = 4,403%

Ответ

WACC = 4,403%

7.NPV и IRR

Ответ: NPV = −5962 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость каждого потока

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,1)¹ = 29 000/1,1 = 26 363,64

CF₂/(1 + 0,1)² = 28 000/1,21 = 23 140,50

CF₃/(1 + 0,1)³ = 26 000/1,331 = 19 534,18

Сложите

NPV = €−5 961,68

Ответ

NPV = €−5 961,68

NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.

8.NPV и IRR

Ответ: NPV = −8474 €

Приведённая стоимость растущего аннуитета

((1,03)/(1,08))¹⁰ = 0,6225

PV = 5 500/(0,08 − 0,03)·(1 − 0,6225) = 41 525,74

NPV

NPV = 41 525,74 − 50 000 = −€8 474,26

Ответ

NPV = −€8 474,26

NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation