Инвестиции и оценка стоимости: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Аннуитет выплачивает €2 000 в конце каждого года в течение 14 лет. Процентная ставка — 7 % годовых. Найдите приведённую стоимость PV аннуитета.

A = €2 000i = 7%n = 14

PV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Через 14 лет вам нужно €50 000. Вы откладываете одинаковую сумму в конце каждого месяца на счёт под 3 % годовых с ежемесячной капитализацией. Найдите ежемесячный взнос A.

FV = €50 0003% / 12N = 168

A = €

3.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 выплачивает ежегодный купон 6% и погашается через 9 лет. Её доходность к погашению меняется с 5,5% до 7%. На сколько ΔP изменится цена облигации?

F = €1 000купон = 6%n = 9y₁ = 5,5%y₂ = 7%

ΔP = €

4.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация торгуется по €1 010 при доходности к погашению 7% (ежегодная капитализация) и дюрации Маколея 3,8 лет. С помощью модифицированной дюрации оцените новую цену P, если доходность снизится на 50 базисных пунктов.

P₀ = €1 010y = 7%D = 3,8Δy = −50 bp

P = €

5.CAPM и WACCСредняя

Акция с бетой 0,8 имеет требуемую доходность 6,6%. Безрисковая ставка — 1%. Какую ожидаемую доходность рынка r_m подразумевает CAPM?

β = 0,8r_e = 6,6%r_f = 1%

r_m = %

6.CAPM и WACCСложная

У компании 2 000 000 акций по €53,00 за штуку и 10 000 облигаций рыночной стоимостью €980 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 5%, ставка налога — 25,8%. Бета акции — 0,9, безрисковая ставка — 2%, доходность рынка — 8%. Найдите WACC.

β = 0,9r_f = 2%r_m = 8%r_d = 5%T = 25,8%

WACC = %

7.NPV и IRRСредняя

Проект стоит €40 000 сегодня и приносит €13 000 в конце каждого года в течение 5 лет. Стоимость капитала — 8 %. Считайте, что денежные потоки поступают равномерно в течение каждого года. Найдите дисконтированный срок окупаемости DPB в годах.

r = 8%CF₀ = −40 000CF₁ = 13 000CF₂ = 13 000CF₃ = 13 000CF₄ = 13 000CF₅ = 13 000

DPB = годы

8.NPV и IRRСложная

Инвестиция €20 000 приносит €6 000 в конце каждого года в течение 6 лет. Найдите её внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

C₀ = €20 000CF = €6 000n = 6

IRR = %

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: PV = 17491 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Коэффициент аннуитета

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,3878)/0,07 = 8,745

Приведённая стоимость

PV = 2 000·8,745 = €17 490,94

Ответ

PV = €17 490,94

2.Временная стоимость денег

Ответ: A = 239,8 €

Месячная ставка и число взносов

i = 0,03/12 = 0,0025

N = 12·14 = 168

Взнос

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 50 000·0,0025/(1,521 − 1) = €239,85

Ответ

A = €239,85

3.Цена и доходность облигаций

Ответ: ΔP = −99,91 €

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

Цена при прежней доходности

C = €60,00, i = 0,055, N = 9

€60,00·(1 − 0,6176)/0,055 + €1 000·0,6176 = €417,13 + €617,63 = €1 034,76

Цена при новой доходности

C = €60,00, i = 0,07, N = 9

€60,00·(1 − 0,5439)/0,07 + €1 000·0,5439 = €390,91 + €543,93 = €934,85

Изменение

ΔP = 934,85 − 1 034,76 = −€99,91

Ответ

ΔP = −€99,91

4.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 1028 €

Дюрация: дюрация Маколея — это средневзвешенное время поступления денежных потоков по облигации, где весами служат приведённые стоимости денежных потоков: D = Σ t·PVₜ/P. Модифицированная дюрация D/(1 + y) оценивает процентное изменение цены при небольшом изменении доходности: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Модифицированная дюрация

D_mod = 3,8/1,07 = 3,551

Оценка изменения цены

%ΔP ≈ −3,551·(−0,005) = 1,776%

P ≈ 1010·(1 + 0,01776) = €1 027,93

Ответ

P = €1 027,93

Дюрация даёт линейную оценку; при больших изменениях доходности из-за выпуклости фактическая цена немного выше.

5.CAPM и WACC

Ответ: r_m = 8 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Рыночная премия за риск

r_m − r_f = (6,6% − 1%)/0,8 = 7%

Доходность рынка

r_m = 1% + 7% = 8%

Ответ

r_m = 8%

6.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 7,088 %

Рыночные стоимости

E = 2 000 000·€53,00 = €106 000 000

D = 10 000·€980 = €9 800 000

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 2% + 0,9·6% = 7,4%

Веса

V = €115 800 000, E/V = 0,9154, D/V = 0,08463

WACC

WACC = 0,9154·7,4% + 0,08463·5%·(1 − 0,258) = 7,088%

Ответ

WACC = 7,088%

7.NPV и IRR

Ответ: DPB = 3,68 годы

Срок окупаемости: время, за которое накопленные денежные потоки возмещают первоначальные инвестиции. Предполагается, что деньги поступают равномерно в течение каждого года, поэтому последний отрезок — это доля года. Простой срок окупаемости не учитывает временную стоимость денег; дисконтированный срок окупаемости использует вместо этого дисконтированные денежные потоки.

Дисконтированные и накопленные денежные потоки

год 1: 13 000/1,08 = 12 037,04 → Σ = 12 037,04

год 2: 13 000/1,166 = 11 145,40 → Σ = 23 182,44

год 3: 13 000/1,26 = 10 319,82 → Σ = 33 502,26

год 4: 13 000/1,36 = 9 555,39 → Σ = 43 057,65

Доля последнего года

DPB = 3 + 6 497,74/9 555,39 = 3,68

Ответ

DPB = 3,68 годы

Дисконтированный срок окупаемости всегда длиннее простого (3,077 лет).

8.NPV и IRR

Ответ: IRR = 19,91 %

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Требуемый коэффициент аннуитета

(1 − (1 + i)⁻⁶)/i = 20 000/6 000 = 3,333

Находим ставку

Коэффициент аннуитета уменьшается с ростом ставки; найдите интервал для ставки и сужайте его.

i = 19%: 3,41

i = 20%: 3,326

IRR = 19,91%

Ответ

IRR = 19,91%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation