Инвестиции и оценка стоимости: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Через 5 лет вам нужно €10 000. Счёт даёт 3,6 % годовых с капитализацией ежемесячной. Сколько нужно положить сегодня? Найдите приведённую стоимость PV.

FV = €10 0003,6% / 12n = 5

PV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Вы вносите €2 500 в начале каждого года в течение 22 лет, первый взнос — сегодня. Счёт даёт 8 % годовых. Сколько будет на счёте в конце года 22? Найдите FV.

A = €2 500i = 8%n = 22

FV = €

3.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 погашается через 9 лет и выплачивает ежегодные купоны. Она продаётся за €837 при доходности к погашению 7%. Найдите купонную ставку c в процентах.

F = €1 000n = 9P = €837YTM = 7%

c = %

4.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация торгуется по €1 075 при доходности к погашению 5% (ежегодная капитализация) и дюрации Маколея 5,6 лет. С помощью модифицированной дюрации оцените новую цену P, если доходность вырастет на 25 базисных пунктов.

P₀ = €1 075y = 5%D = 5,6Δy = +25 bp

P = €

5.CAPM и WACCСредняя

Акция с бетой 0,9 имеет требуемую доходность 8,45%. Безрисковая ставка — 3,5%. Какую ожидаемую доходность рынка r_m подразумевает CAPM?

β = 0,9r_e = 8,45%r_f = 3,5%

r_m = %

6.CAPM и WACCСложная

Бета акций компании равна 1,2 при текущем соотношении долга и собственного капитала 0,2. Компания планирует увеличить это соотношение до 0,75. Ставка налога — 21%, безрисковая ставка — 4%, рыночная премия за риск — 4%. Найдите стоимость собственного капитала r_e после изменения.

β_L = 1,2D/E₁ = 0,2D/E₂ = 0,75T = 21%r_f = 4%r_m − r_f = 4%

r_e = %

7.NPV и IRRСредняя

Проект стоит €40 000 сегодня и приносит €10 500 в конце каждого года в течение 6 лет. Стоимость капитала — 5 %. Считайте, что денежные потоки поступают равномерно в течение каждого года. Найдите дисконтированный срок окупаемости DPB в годах.

r = 5%CF₀ = −40 000CF₁ = 10 500CF₂ = 10 500CF₃ = 10 500CF₄ = 10 500CF₅ = 10 500CF₆ = 10 500

DPB = годы

8.NPV и IRRСложная

Инвестиция €80 000 приносит €21 000 в конце каждого года в течение 8 лет. Найдите её внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

C₀ = €80 000CF = €21 000n = 8

IRR = %

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: PV = 8355 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = 12·5 = 60

Приведённая стоимость

PV = FV/(1 + i)^N = 10 000/1,197 = €8 354,95

Ответ

PV = €8 354,95

2.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 149733 €

Коэффициент обычного аннуитета

((1 + 0,08)²² − 1)/0,08 = 55,46

Аннуитет пренумерандо

Каждый взнос инвестирован на год дольше.

FV = 2 500·55,46·1,08 = €149 733,24

Ответ

FV = €149 733,24

3.Цена и доходность облигаций

Ответ: c = 4,498 %

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

Приведённая стоимость номинала

1000·(1 + 0,07)⁻⁹ = €543,93

Купон

C = (837 − 543,93)/6,515 = €44,98

Купонная ставка

c = 44,98/1000 = 4,498%

Ответ

c = 4,498%

4.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 1061 €

Дюрация: дюрация Маколея — это средневзвешенное время поступления денежных потоков по облигации, где весами служат приведённые стоимости денежных потоков: D = Σ t·PVₜ/P. Модифицированная дюрация D/(1 + y) оценивает процентное изменение цены при небольшом изменении доходности: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Модифицированная дюрация

D_mod = 5,6/1,05 = 5,333

Оценка изменения цены

%ΔP ≈ −5,333·(0,0025) = −1,333%

P ≈ 1075·(1 − 0,01333) = €1 060,67

Ответ

P = €1 060,67

Дюрация даёт линейную оценку; при больших изменениях доходности из-за выпуклости фактическая цена немного выше.

5.CAPM и WACC

Ответ: r_m = 9 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Рыночная премия за риск

r_m − r_f = (8,45% − 3,5%)/0,9 = 5,5%

Доходность рынка

r_m = 3,5% + 5,5% = 9%

Ответ

r_m = 9%

6.CAPM и WACC

Ответ: r_e = 10,6 %

Бета с учётом долга (Хамада): долг делает собственный капитал более рискованным. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), где β_U — бета бизнеса без долга. Чтобы перенести бету на другую структуру капитала, сначала очистите её от влияния долга, а затем пересчитайте при новом D/E.

Бета без учёта долга

β_U = 1,2/(1 + 0,79·0,2) = 1,036

Пересчёт при новом D/E

β_L = 1,036·(1 + 0,79·0,75) = 1,65

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 4% + 1,65·4% = 10,6%

Ответ

r_e = 10,6%

7.NPV и IRR

Ответ: DPB = 4,336 годы

Срок окупаемости: время, за которое накопленные денежные потоки возмещают первоначальные инвестиции. Предполагается, что деньги поступают равномерно в течение каждого года, поэтому последний отрезок — это доля года. Простой срок окупаемости не учитывает временную стоимость денег; дисконтированный срок окупаемости использует вместо этого дисконтированные денежные потоки.

Дисконтированные и накопленные денежные потоки

год 1: 10 500/1,05 = 10 000,00 → Σ = 10 000,00

год 2: 10 500/1,103 = 9 523,81 → Σ = 19 523,81

год 3: 10 500/1,158 = 9 070,29 → Σ = 28 594,10

год 4: 10 500/1,216 = 8 638,38 → Σ = 37 232,48

год 5: 10 500/1,276 = 8 227,02 → Σ = 45 459,51

Доля последнего года

DPB = 4 + 2 767,52/8 227,02 = 4,336

Ответ

DPB = 4,336 годы

Дисконтированный срок окупаемости всегда длиннее простого (3,81 лет).

8.NPV и IRR

Ответ: IRR = 20,24 %

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Требуемый коэффициент аннуитета

(1 − (1 + i)⁻⁸)/i = 80 000/21 000 = 3,81

Находим ставку

Коэффициент аннуитета уменьшается с ростом ставки; найдите интервал для ставки и сужайте его.

i = 20%: 3,837

i = 21%: 3,726

IRR = 20,24%

Ответ

IRR = 20,24%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation