Инвестиции и оценка стоимости: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Вы инвестируете €5 000 под 5 % годовых с непрерывным начислением процентов. Найдите стоимость FV через 19 лет.

PV = €5 000r = 5%t = 19

FV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Вы берёте в долг €12 000 под 3 % годовых с ежемесячной капитализацией и погашаете €275 в конце каждого месяца. Через сколько месяцев кредит будет погашен (последний платёж может быть меньше)? Укажите число платежей N.

P = €12 000A = €2753% / 12

N = платежей

3.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 4%, выплачиваемый двумя полугодовыми платежами; срок до погашения — 7 лет. Доходность к погашению — 2,5% годовых. Найдите цену облигации P.

F = €1 000купон = 4%YTM = 2,5%n = 7

P = €

4.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 6% погашается через 4 лет и продаётся за €965. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.

F = €1 000купон = 6%n = 4P = €965

YTM = %

5.CAPM и WACCСредняя

У компании собственный капитал стоимостью €5 000 000 и долг стоимостью €5 000 000. Стоимость собственного капитала — 13%, стоимость заёмного капитала до налогов — 4,5%, ставка налога — 21%. Найдите WACC.

E = €5 000 000D = €5 000 000r_e = 13%r_d = 4,5%T = 21%

WACC = %

6.CAPM и WACCСложная

Бета акций компании равна 0,9 при текущем соотношении долга и собственного капитала 0,4. Компания планирует увеличить это соотношение до 1. Ставка налога — 20%, безрисковая ставка — 2%, рыночная премия за риск — 4,5%. Найдите стоимость собственного капитала r_e после изменения.

β_L = 0,9D/E₁ = 0,4D/E₂ = 1T = 20%r_f = 2%r_m − r_f = 4,5%

r_e = %

7.NPV и IRRСредняя

Станок стоит €60 000 сегодня, служит 7 лет, а его эксплуатация обходится в €4 000 в год (оплата в конце каждого года). Стоимость капитала — 6 %. Найдите его эквивалентные годовые затраты EAC.

C₀ = €60 000M = €4 000n = 7r = 6%

EAC = €

8.NPV и IRRСложная

Проект стоит €50 000 и приносит €36 000, €29 500 в конце лет с 1 по 2. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −50 000CF₁ = 36 000CF₂ = 29 500

IRR = %

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 12929 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Показатель степени

r·t = 0,05·19 = 0,95

e^0,95 = 2,586

Будущая стоимость

FV = 5 000·2,586 = €12 928,55

Ответ

FV = €12 928,55

2.Временная стоимость денег

Ответ: N = 47 платежей

Преобразуем формулу аннуитета

i = 0,0025

(1 + i)^−N = 1 − 12 000·0,0025/275 = 0,8909

Решаем с помощью логарифмов

N = −ln(0,8909)/ln(1,002) = 46,26

Округляем вверх до целых платежей

После 46 полных платежей остаётся небольшой долг, который погашает последний, меньший платёж.

N = 47

Ответ

N = 47 платежей

3.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 1096 €

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

За период

C = €20,00, i = 0,0125, N = 14

Приведённая стоимость купонов

€20,00·(1 − 0,8404)/0,0125 = €255,41

Приведённая стоимость номинала

€1 000·0,8404 = €840,37

Цена

P = €1 095,78

Ответ

P = €1 095,78

Доходность ниже купонной ставки, поэтому облигация продаётся с премией.

4.Цена и доходность облигаций

Ответ: YTM = 7,034 %

Уравнение для доходности

€965 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴

Численное решение

P(7%) = €966,13, P(8%) = €933,76

YTM = 7,034%

Ответ

YTM = 7,034%

5.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 8,277 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = €10 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5

WACC

WACC = 0,5·13% + 0,5·4,5%·(1 − 0,21) = 8,277%

Ответ

WACC = 8,277%

6.CAPM и WACC

Ответ: r_e = 7,523 %

Бета с учётом долга (Хамада): долг делает собственный капитал более рискованным. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), где β_U — бета бизнеса без долга. Чтобы перенести бету на другую структуру капитала, сначала очистите её от влияния долга, а затем пересчитайте при новом D/E.

Бета без учёта долга

β_U = 0,9/(1 + 0,8·0,4) = 0,6818

Пересчёт при новом D/E

β_L = 0,6818·(1 + 0,8·1) = 1,227

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 2% + 1,227·4,5% = 7,523%

Ответ

r_e = 7,523%

7.NPV и IRR

Ответ: EAC = 14748 €

Эквивалентные годовые затраты: распределите приведённую стоимость всех затрат по сроку службы в виде равной ежегодной суммы (аннуитета): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Это позволяет сравнивать станки с разным сроком службы.

Коэффициент аннуитета

(1 − 1,06⁻⁷)/0,06 = 5,582

Цена покупки в пересчёте на год

60 000/5,582 = 10 748,10

EAC

EAC = 10 748,10 + 4 000 = €14 748,10

Ответ

EAC = €14 748,10

8.NPV и IRR

Ответ: IRR = 20,83 %

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(20%) = 486,11

NPV(25%) = −2 320,00

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 20 + 5·486,11/(486,11 − (−2 320,00)) = 20,87%

точно: NPV(20,83%) = 0 → IRR = 20,83%

Ответ

IRR = 20,83%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation