Инвестиции и оценка стоимости: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Кредитная карта начисляет номинальную процентную ставку 19,5 % годовых с полугодовой капитализацией. Найдите эффективную годовую ставку EAR в процентах.

r = 19,5%m = 2

EAR = %

2.Временная стоимость денегСложная

Кредит €250 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 30 лет. Ставка — 3 % годовых с ежемесячной капитализацией. Найдите ежемесячный платёж A.

P = €250 0003% / 12N = 360

A = €

3.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 7%, выплачиваемый двумя полугодовыми платежами; срок до погашения — 3 лет. Доходность к погашению — 2,5% годовых. Найдите цену облигации P.

F = €1 000купон = 7%YTM = 2,5%n = 3

P = €

4.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 выплачивает ежегодный купон 4,5% и погашается через 6 лет. Доходность к погашению — 9%. Найдите дюрацию Маколея D в годах.

F = €1 000купон = 4,5%n = 6YTM = 9%

D = годы

5.CAPM и WACCСредняя

Соотношение заёмного и собственного капитала компании (по рыночной стоимости) равно 0,5. Стоимость её собственного капитала — 14%, стоимость долга до налогов — 7%, ставка налога — 25,8%. Найдите WACC.

D/E = 0,5r_e = 14%r_d = 7%T = 25,8%

WACC = %

6.CAPM и WACCСложная

Бета акций компании равна 0,9 при текущем соотношении долга и собственного капитала 0,4. Компания планирует увеличить это соотношение до 1,25. Ставка налога — 20%, безрисковая ставка — 2,5%, рыночная премия за риск — 6%. Найдите стоимость собственного капитала r_e после изменения.

β_L = 0,9D/E₁ = 0,4D/E₂ = 1,25T = 20%r_f = 2,5%r_m − r_f = 6%

r_e = %

7.NPV и IRRСредняя

Проект стоит €20 000 сегодня и приносит €9 000, €7 500, €5 500, €8 000 в конце годов с 1-го по 4-й. Стоимость капитала — 8 %. Считайте, что денежные потоки поступают равномерно в течение каждого года. Найдите дисконтированный срок окупаемости DPB в годах.

r = 8%CF₀ = −20 000CF₁ = 9 000CF₂ = 7 500CF₃ = 5 500CF₄ = 8 000

DPB = годы

8.NPV и IRRСложная

Проект стоит €40 000 и приносит €28 500, €16 000, €17 000 в конце лет с 1 по 3. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −40 000CF₁ = 28 500CF₂ = 16 000CF₃ = 17 000

IRR = %

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: EAR = 20,45 %

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка за период

r/m = 0,195/2 = 0,0975

Наращение за один год

EAR = (1 + 0,0975)² − 1 = 1,205 − 1 = 20,45%

Ответ

EAR = 20,45%

Если проценты начисляются чаще одного раза в год, EAR всегда выше номинальной ставки.

2.Временная стоимость денег

Ответ: A = 1054 €

Месячная ставка и число платежей

i = 0,03/12 = 0,0025

N = 12·30 = 360

Платёж

Приведённая стоимость N равных платежей A равна A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Приравняйте её к кредиту и найдите A.

(1 + i)^−N = 0,407

A = 250 000·0,0025/(1 − 0,407) = €1 054,01

Ответ

A = €1 054,01

3.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 1129 €

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

За период

C = €35,00, i = 0,0125, N = 6

Приведённая стоимость купонов

€35,00·(1 − 0,9282)/0,0125 = €201,11

Приведённая стоимость номинала

€1 000·0,9282 = €928,17

Цена

P = €1 129,29

Ответ

P = €1 129,29

Доходность ниже купонной ставки, поэтому облигация продаётся с премией.

4.Цена и доходность облигаций

Ответ: D = 5,304 годы

Дюрация: дюрация Маколея — это средневзвешенное время поступления денежных потоков по облигации, где весами служат приведённые стоимости денежных потоков: D = Σ t·PVₜ/P. Модифицированная дюрация D/(1 + y) оценивает процентное изменение цены при небольшом изменении доходности: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Приведённая стоимость каждого потока

t = 1: 45/1,09 = 41,28, t·PV = 41,28

t = 2: 45/1,188 = 37,88, t·PV = 75,75

t = 3: 45/1,295 = 34,75, t·PV = 104,24

t = 4: 45/1,412 = 31,88, t·PV = 127,52

t = 5: 45/1,539 = 29,25, t·PV = 146,23

t = 6: 1045/1,677 = 623,10, t·PV = 3 738,60

Дюрация

P = 798,13

D = 4 233,63/798,13 = 5,304

Ответ

D = 5,304 годы

5.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 11,06 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса из D/E

E/V = 1/(1 + 0,5) = 0,6667

D/V = 0,5/(1 + 0,5) = 0,3333

WACC

WACC = 0,6667·14% + 0,3333·7%·(1 − 0,258) = 11,06%

Ответ

WACC = 11,06%

6.CAPM и WACC

Ответ: r_e = 10,68 %

Бета с учётом долга (Хамада): долг делает собственный капитал более рискованным. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), где β_U — бета бизнеса без долга. Чтобы перенести бету на другую структуру капитала, сначала очистите её от влияния долга, а затем пересчитайте при новом D/E.

Бета без учёта долга

β_U = 0,9/(1 + 0,8·0,4) = 0,6818

Пересчёт при новом D/E

β_L = 0,6818·(1 + 0,8·1,25) = 1,364

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 2,5% + 1,364·6% = 10,68%

Ответ

r_e = 10,68%

7.NPV и IRR

Ответ: DPB = 3,148 годы

Срок окупаемости: время, за которое накопленные денежные потоки возмещают первоначальные инвестиции. Предполагается, что деньги поступают равномерно в течение каждого года, поэтому последний отрезок — это доля года. Простой срок окупаемости не учитывает временную стоимость денег; дисконтированный срок окупаемости использует вместо этого дисконтированные денежные потоки.

Дисконтированные и накопленные денежные потоки

год 1: 9 000/1,08 = 8 333,33 → Σ = 8 333,33

год 2: 7 500/1,166 = 6 430,04 → Σ = 14 763,37

год 3: 5 500/1,26 = 4 366,08 → Σ = 19 129,45

год 4: 8 000/1,36 = 5 880,24 → Σ = 25 009,69

Доля последнего года

DPB = 3 + 870,55/5 880,24 = 3,148

Ответ

DPB = 3,148 годы

Дисконтированный срок окупаемости всегда длиннее простого (2,636 лет).

8.NPV и IRR

Ответ: IRR = 28,27 %

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(25%) = 1 744,00

NPV(30%) = −871,64

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 25 + 5·1 744,00/(1 744,00 − (−871,64)) = 28,33%

точно: NPV(28,27%) = 0 → IRR = 28,27%

Ответ

IRR = 28,27%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation