Инвестиции и оценка стоимости: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Вы инвестируете €2 000 под номинальную ставку 3 % годовых с капитализацией ежеквартальной. Найдите стоимость FV инвестиции через 10 лет.

PV = €2 0003% / 4n = 10

FV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Ипотечный кредит €200 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 25 лет под 3,6 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько ещё остаётся должен заёмщик сразу после платежа в конце года 20? Найдите остаток долга B.

P = €200 0003,6% / 12N = 300k = 240

B = €

3.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 3%, выплачиваемый двумя полугодовыми платежами; срок до погашения — 6 лет. Доходность к погашению — 8% годовых. Найдите цену облигации P.

F = €1 000купон = 3%YTM = 8%n = 6

P = €

4.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 6% погашается через 9 лет и продаётся за €905. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.

F = €1 000купон = 6%n = 9P = €905

YTM = %

5.CAPM и WACCСредняя

Собственный капитал компании стоит €6 000 000, долг — €3 000 000. Её WACC равна 10,27%, стоимость долга до налогов — 6%, ставка налога — 20%. Найдите стоимость собственного капитала r_e.

E = €6 000 000D = €3 000 000WACC = 10,27%r_d = 6%T = 20%

r_e = %

6.CAPM и WACCСложная

Рыночная стоимость собственного капитала компании — €6 000 000, стоимость собственного капитала — 9%. Её долг состоит из 5 000 облигаций (номинал €1 000, ежегодный купон 5%, 11 лет до погашения), каждая из которых торгуется по €921. Ставка налога — 25,8%. Найдите WACC, используя доходность облигаций к погашению как стоимость долга до налогов.

E = €6 000 000r_e = 9%облигации: 5 000 × €921купон = 5%n = 11T = 25,8%

WACC = %

7.NPV и IRRСредняя

Станок стоит €60 000 сегодня, служит 7 лет, а его эксплуатация обходится в €5 000 в год (оплата в конце каждого года). Стоимость капитала — 12 %. Найдите его эквивалентные годовые затраты EAC.

C₀ = €60 000M = €5 000n = 7r = 12%

EAC = €

8.NPV и IRRСложная

Проект стоит €25 000 и приносит €10 000, €13 000, €9 500 в конце лет с 1 по 3. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −25 000CF₁ = 10 000CF₂ = 13 000CF₃ = 9 500

IRR = %

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 2697 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = r/m = 0,03/4 = 0,0075

N = m·n = 4·10 = 40

Будущая стоимость

FV = 2 000·(1 + 0,0075)⁴⁰ = 2 000·1,348 = €2 696,70

Ответ

FV = €2 696,70

2.Временная стоимость денег

Ответ: B = 55493 €

Ежемесячный платёж

i = 0,003, N = 300

A = 200 000·0,003/(1 − (1 + 0,003)⁻³⁰⁰) = €1 012,01

Приведённая стоимость оставшихся платежей

Всё, что ещё остаётся в долге, должно быть в точности погашено оставшимися платежами.

N − k = 300 − 240 = 60

B = 1012·(1 − (1 + 0,003)⁻⁶⁰)/0,003 = €55 493,21

Ответ

B = €55 493,21

3.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 765,4 €

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

За период

C = €15,00, i = 0,04, N = 12

Приведённая стоимость купонов

€15,00·(1 − 0,6246)/0,04 = €140,78

Приведённая стоимость номинала

€1 000·0,6246 = €624,60

Цена

P = €765,37

Ответ

P = €765,37

Доходность выше купонной ставки, поэтому облигация продаётся с дисконтом.

4.Цена и доходность облигаций

Ответ: YTM = 7,489 %

Уравнение для доходности

€905 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹

Численное решение

P(7%) = €934,85, P(8%) = €875,06

YTM = 7,489%

Ответ

YTM = 7,489%

5.CAPM и WACC

Ответ: r_e = 13,01 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = €9 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333

Долговая часть WACC

0,3333·6%·(1 − 0,2) = 1,6%

Стоимость собственного капитала

r_e = (10,27% − 1,6%)/0,6667 = 13,01%

Ответ

r_e = 13,01%

6.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 7,026 %

Стоимость долга (YTM)

921 = 50·(1 − (1 + y)⁻¹¹)/y + 1000/(1 + y)¹¹

y = 6,002%

Рыночные стоимости

D = 5 000·€921 = €4 605 000

V = €10 605 000, E/V = 0,5658, D/V = 0,4342

WACC

WACC = 0,5658·9% + 0,4342·6,002%·(1 − 0,258) = 7,026%

Ответ

WACC = 7,026%

7.NPV и IRR

Ответ: EAC = 18147 €

Эквивалентные годовые затраты: распределите приведённую стоимость всех затрат по сроку службы в виде равной ежегодной суммы (аннуитета): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Это позволяет сравнивать станки с разным сроком службы.

Коэффициент аннуитета

(1 − 1,12⁻⁷)/0,12 = 4,564

Цена покупки в пересчёте на год

60 000/4,564 = 13 147,06

EAC

EAC = 13 147,06 + 5 000 = €18 147,06

Ответ

EAC = €18 147,06

8.NPV и IRR

Ответ: IRR = 14,45 %

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(10%) = 1 972,20

NPV(15%) = −228,08

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 10 + 5·1 972,20/(1 972,20 − (−228,08)) = 14,48%

точно: NPV(14,45%) = 0 → IRR = 14,45%

Ответ

IRR = 14,45%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation