Инвестиции и оценка стоимости: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Через 3 лет вам нужно €15 000. Счёт даёт 3,6 % годовых с капитализацией ежеквартальной. Сколько нужно положить сегодня? Найдите приведённую стоимость PV.

FV = €15 0003,6% / 4n = 3

PV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Вы берёте в долг €5 000 под 4,8 % годовых с ежемесячной капитализацией и погашаете €225 в конце каждого месяца. Через сколько месяцев кредит будет погашен (последний платёж может быть меньше)? Укажите число платежей N.

P = €5 000A = €2254,8% / 12

N = платежей

3.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 погашается через 7 лет и выплачивает ежегодные купоны. Она продаётся за €1 058 при доходности к погашению 5%. Найдите купонную ставку c в процентах.

F = €1 000n = 7P = €1 058YTM = 5%

c = %

4.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация со сроком до погашения 18 лет (номинал €1 000, ежегодный купон 6%) продаётся за €1 117. Эмитент может досрочно погасить её через 4 лет по цене отзыва €1 060. Найдите доходность к отзыву YTC в процентах.

F = €1 000купон = 6%P = €1 117цена отзыва = €1 060отзыв через 4 годы

YTC = %

5.CAPM и WACCСредняя

У компании собственный капитал стоимостью €6 000 000 и долг стоимостью €5 000 000. Стоимость собственного капитала — 14%, стоимость заёмного капитала до налогов — 5%, ставка налога — 21%. Найдите WACC.

E = €6 000 000D = €5 000 000r_e = 14%r_d = 5%T = 21%

WACC = %

6.CAPM и WACCСложная

У компании 2 000 000 акций, торгующихся по €20,50; балансовая стоимость её собственного капитала — €24 600 000. Она только что выплатила дивиденд €1,50 на акцию, дивиденды растут на 5% в год. Рыночная стоимость её долга — €32 800 000, стоимость долга до налогов — 4,5%. Ставка налога — 21%. Найдите WACC, используя для стоимости собственного капитала модель роста дивидендов.

N = 2 000 000P₀ = €20,50балансовый собственный капитал = €24 600 000D₀ = €1,50g = 5%D = €32 800 000r_d = 4,5%T = 21%

WACC = %

7.NPV и IRRСредняя

Инвестиция €30 000 даёт в конце лет с 1 по 3 такие денежные потоки: €15 000, €12 000, €9 000. Стоимость капитала — 6 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

r = 6%CF₀ = −30 000CF₁ = 15 000CF₂ = 12 000CF₃ = 9 000

NPV = €

8.NPV и IRRСложная

Инвестиция €40 000 приносит €5 000 в конце каждого года в течение 10 лет. Найдите её внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

C₀ = €40 000CF = €5 000n = 10

IRR = %

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: PV = 13471 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = 0,036000000000000004/4 = 0,009

N = 4·3 = 12

Приведённая стоимость

PV = FV/(1 + i)^N = 15 000/1,114 = €13 470,92

Ответ

PV = €13 470,92

2.Временная стоимость денег

Ответ: N = 24 платежей

Преобразуем формулу аннуитета

i = 0,004

(1 + i)^−N = 1 − 5 000·0,004/225 = 0,9111

Решаем с помощью логарифмов

N = −ln(0,9111)/ln(1,004) = 23,32

Округляем вверх до целых платежей

После 23 полных платежей остаётся небольшой долг, который погашает последний, меньший платёж.

N = 24

Ответ

N = 24 платежей

3.Цена и доходность облигаций

Ответ: c = 6,002 %

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

Приведённая стоимость номинала

1000·(1 + 0,05)⁻⁷ = €710,68

Купон

C = (1058 − 710,68)/5,786 = €60,02

Купонная ставка

c = 60,02/1000 = 6,002%

Ответ

c = 6,002%

4.Цена и доходность облигаций

Ответ: YTC = 4,173 %

Уравнение для доходности

1117 = 60·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + 1060/(1 + y)⁴

Численное решение

y = 4%: €1 123,89

y = 5%: €1 084,82

YTC = 4,173%

Ответ

YTC = 4,173%

Доходность к погашению равна 4,999%. Инвесторы в облигацию, торгующуюся с премией, ожидают её отзыва, поэтому более низкая доходность к отзыву реалистичнее.

5.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 9,432 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = €11 000 000, E/V = 0,5455, D/V = 0,4545

WACC

WACC = 0,5455·14% + 0,4545·5%·(1 − 0,21) = 9,432%

Ответ

WACC = 9,432%

6.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 8,626 %

Стоимость собственного капитала

D₁ = 1,5·1,05 = €1,58

r_e = 1,575/20,5 + 0,05 = 12,68%

Рыночные стоимости

E = 2 000 000·€20,50 = €41 000 000

V = €73 800 000, E/V = 0,5556, D/V = 0,4444

WACC

WACC = 0,5556·12,68% + 0,4444·4,5%·(1 − 0,21) = 8,626%

Ответ

WACC = 8,626%

7.NPV и IRR

Ответ: NPV = 2387 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость каждого потока

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,06)¹ = 15 000/1,06 = 14 150,94

CF₂/(1 + 0,06)² = 12 000/1,124 = 10 679,96

CF₃/(1 + 0,06)³ = 9 000/1,191 = 7 556,57

Сложите

NPV = €2 387,47

Ответ

NPV = €2 387,47

NPV положительна, значит проект зарабатывает больше требуемой доходности.

8.NPV и IRR

Ответ: IRR = 4,277 %

Требуемый коэффициент аннуитета

(1 − (1 + i)⁻¹⁰)/i = 40 000/5 000 = 8

Находим ставку

Коэффициент аннуитета уменьшается с ростом ставки; найдите интервал для ставки и сужайте его.

i = 4%: 8,111

i = 5%: 7,722

IRR = 4,277%

Ответ

IRR = 4,277%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation