Инвестиции и оценка стоимости: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Через 6 лет вам нужно €40 000. Счёт даёт 4 % годовых с капитализацией ежемесячной. Сколько нужно положить сегодня? Найдите приведённую стоимость PV.

FV = €40 0004% / 12n = 6

PV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Вы откладываете €100 в конце каждого месяца в течение 16 лет. Счёт даёт 3 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько вы накопите в конце? Найдите FV.

A = €1003% / 12N = 192

FV = €

3.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 погашается через 3 лет и выплачивает ежегодные купоны. Она продаётся за €1 113 при доходности к погашению 3%. Найдите купонную ставку c в процентах.

F = €1 000n = 3P = €1 113YTM = 3%

c = %

4.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация торгуется по €930 при доходности к погашению 7% (ежегодная капитализация) и дюрации Маколея 4,4 лет. С помощью модифицированной дюрации оцените новую цену P, если доходность снизится на 25 базисных пунктов.

P₀ = €930y = 7%D = 4,4Δy = −25 bp

P = €

5.CAPM и WACCСредняя

У компании собственный капитал стоимостью €3 000 000 и долг стоимостью €2 000 000. Стоимость собственного капитала — 9%, стоимость заёмного капитала до налогов — 7%, ставка налога — 30%. Найдите WACC.

E = €3 000 000D = €2 000 000r_e = 9%r_d = 7%T = 30%

WACC = %

6.CAPM и WACCСложная

У компании 1 000 000 акций, торгующихся по €32,50; балансовая стоимость её собственного капитала — €19 500 000. Она только что выплатила дивиденд €3,00 на акцию, дивиденды растут на 2% в год. Рыночная стоимость её долга — €9 800 000, стоимость долга до налогов — 4,5%. Ставка налога — 30%. Найдите WACC, используя для стоимости собственного капитала модель роста дивидендов.

N = 1 000 000P₀ = €32,50балансовый собственный капитал = €19 500 000D₀ = €3,00g = 2%D = €9 800 000r_d = 4,5%T = 30%

WACC = %

7.NPV и IRRСредняя

Проект стоит €400 000 сегодня. Он приносит €21 000 в конце первого года, а затем денежный поток растёт на 4 % в год бессрочно. Стоимость капитала — 8 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €400 000CF₁ = €21 000g = 4%r = 8%

NPV = €

8.NPV и IRRСложная

Проект стоит €40 000 и приносит €21 000, €20 000, €28 500 в конце лет с 1 по 3. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −40 000CF₁ = 21 000CF₂ = 20 000CF₃ = 28 500

IRR = %

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: PV = 31478 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = 0,04/12 = 0,003333

N = 12·6 = 72

Приведённая стоимость

PV = FV/(1 + i)^N = 40 000/1,271 = €31 477,68

Ответ

PV = €31 477,68

2.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 24604 €

Месячная ставка и число взносов

i = 0,03/12 = 0,0025

N = 12·16 = 192

Будущая стоимость взносов

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 100·(1,615 − 1)/0,0025 = €24 604,27

Ответ

FV = €24 604,27

Сами вы внесли €19 200; остальное — проценты.

3.Цена и доходность облигаций

Ответ: c = 6,995 %

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

Приведённая стоимость номинала

1000·(1 + 0,03)⁻³ = €915,14

Купон

C = (1113 − 915,14)/2,829 = €69,95

Купонная ставка

c = 69,95/1000 = 6,995%

Ответ

c = 6,995%

4.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 939,6 €

Дюрация: дюрация Маколея — это средневзвешенное время поступления денежных потоков по облигации, где весами служат приведённые стоимости денежных потоков: D = Σ t·PVₜ/P. Модифицированная дюрация D/(1 + y) оценивает процентное изменение цены при небольшом изменении доходности: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Модифицированная дюрация

D_mod = 4,4/1,07 = 4,112

Оценка изменения цены

%ΔP ≈ −4,112·(−0,0025) = 1,028%

P ≈ 930·(1 + 0,01028) = €939,56

Ответ

P = €939,56

Дюрация даёт линейную оценку; при больших изменениях доходности из-за выпуклости фактическая цена немного выше.

5.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 7,36 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = €5 000 000, E/V = 0,6, D/V = 0,4

WACC

WACC = 0,6·9% + 0,4·7%·(1 − 0,3) = 7,36%

Ответ

WACC = 7,36%

6.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 9,5 %

Стоимость собственного капитала

D₁ = 3·1,02 = €3,06

r_e = 3,06/32,5 + 0,02 = 11,42%

Рыночные стоимости

E = 1 000 000·€32,50 = €32 500 000

V = €42 300 000, E/V = 0,7683, D/V = 0,2317

WACC

WACC = 0,7683·11,42% + 0,2317·4,5%·(1 − 0,3) = 9,5%

Ответ

WACC = 9,5%

7.NPV и IRR

Ответ: NPV = 125000 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Стоимость денежных потоков

PV = 21 000/(0,08 − 0,04) = 525 000,00

NPV

NPV = 525 000,00 − 400 000 = €125 000,00

Ответ

NPV = €125 000,00

NPV положительна, значит проект зарабатывает больше требуемой доходности.

8.NPV и IRR

Ответ: IRR = 31,62 %

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(30%) = 960,40

NPV(35%) = −1 886,91

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 30 + 5·960,40/(960,40 − (−1 886,91)) = 31,69%

точно: NPV(31,62%) = 0 → IRR = 31,62%

Ответ

IRR = 31,62%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation