Измерения и приборы: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Мост Уитстона и тензорезисторы

Напряжения делителей: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Выделение: V_ab = V_a − V_b
Баланс: R₁/R₂ = R₃/R₄
Реохордный мост: R/R_x = l/(100 − l)
Сопротивление Тевенина: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Коэффициент тензочувствительности: ΔR/R = GF·ε
Выход моста: четвертьмост V_s·GF·ε/4, полумост V_s·GF·ε/2, полный мост V_s·GF·ε
Малое изменение, одно плечо: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Напряжение: σ = E·ε

Метод

Рассматривайте мост как два делителя напряжения от одного источника.
Для равновесия приравняйте R₁/R₂ = R₃/R₄ и найдите неизвестный резистор.
Для неуравновешенного моста найдите V_a и V_b по делителям и вычтите; используйте эквивалент Тевенина, когда прибор нагружает выход.
Для тензорезисторов переведите деформацию в ΔR/R = GF·ε и используйте V_s·GF·ε/4, /2 или ×1 для четвертьмоста, полумоста или полного моста.

Сбор данных и дискретизация

Критерий Найквиста: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Ложная частота: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Шаг квантования: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Ошибка квантования (округление): ±½ LSB
АЦП с отбрасыванием остатка: D = ⌊V_in/LSB⌋
Число разрядов для разрешения r: 2ᴺ ≥ span/r
Идеальное SQNR, синусоида на полной шкале: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Скорость передачи данных: каналы × f_s × N bit/s
АЦП с мультиплексором: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 бит на байт; byte/s = baud/число бит в кадре
Делитель скорости передачи: baud = f_clk/(16·D)

Метод

Запишите, что дано: частоту дискретизации, частоты сигналов, число разрядов, диапазон входа, скорость в бодах.
В задачах на дискретизацию сравнивайте каждую частоту с f_s/2; более высокая частота появляется как f_a = |f − k·f_s| с ближайшим кратным f_s.
В задачах на разрешение найдите 1 LSB = V_FSR/2ᴺ или наименьшее N, при котором 2ᴺ ≥ диапазон/разрешение.
Для скоростей передачи данных и каналов UART считайте всё, что передаётся: каналы, отсчёты в секунду, биты или целые байты на отсчёт, а также стартовые, контрольные и стоповые биты каждого кадра.

Схемы на операционных усилителях

Инвертирующий усилитель: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неинвертирующий усилитель: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Суммирующий усилитель: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Идеальный ОУ: V₊ = V₋, I_in = 0

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Тевенин и Нортон

Напряжение Тевенина: V_th = V_{open circuit}
Сопротивление Тевенина: R_th: все источники отключены, со стороны a–b
Ток Нортона: I_N = V_th/R_th
Ток нагрузки: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Передача максимальной мощности: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Метод

Отключите нагрузку и обозначьте два зажима a и b.
Найдите напряжение холостого хода между a и b: это V_th.
Отключите все независимые источники и найдите сопротивление со стороны a–b: это R_th.
Верните нагрузку в эквивалентную схему: V_th последовательно с R_th.
Для эквивалента Нортона преобразуйте: I_N = V_th/R_th, с R_N = R_th параллельно.

2Тренировочные задачи

1.Мост Уитстона и тензорезисторыСредняя

Мост с четырьмя плечами по 100 Ω питается напряжением 5 V. Когда датчик R₂ изменяется, выход показывает V_ab = 12,44 mV. Найдите точное изменение ΔR сопротивления R₂.

V_s = 5 VR = 100 ΩV_ab = 12,44 mV

ΔR = Ω

2.Мост Уитстона и тензорезисторыСложная

Мост с плечами 350 Ω питается напряжением 2,5 V; конфигурация: четыре активных тензорезистора, два на растяжение и два на сжатие (полный мост). Коэффициент тензочувствительности равен 2,1, деформация — 1500 µε. Найдите выход моста V_o в mV.

V_s = 2,5 VGF = 2,1ε = 1500 µε

V_o = mV

3.Сбор данных и дискретизацияСредняя

UART передаёт байты на скорости 4800 бод в формате 8E1: 8 битов данных, бит чётности и 1 стоповых бит, плюс стартовый бит. Найдите наибольшее число байт данных в секунду, которое он может передать.

baud = 4800 Bd8E1

R_B = B/s

4.Сбор данных и дискретизацияСложная

Датчик температуры выдаёт 10 mV/°C (0 V при 0 °C). Его сигнал усиливается в 1 раз и подаётся на 10-разрядный АЦП с диапазоном от 0 до 2,5 V (1 LSB = V_FSR/2ᴺ). Найдите изменение температуры ΔT_LSB, соответствующее одному LSB.

S = 10 mV/°CG = 1N = 10V_FSR = 2,5 V

ΔT_LSB = °C

5.Схемы на операционных усилителяхСредняя

Дифференциальный усилитель выполнен на идеальном ОУ с питанием ±15 V, при этом R₃ = R₁ и R₄ = R₂. Найдите напряжение V₋ на инвертирующем входе.

V₁ = −1,1 VV₂ = 1,4 VR₁ = R₃ = 100 kΩR₂ = R₄ = 22 kΩ

V₋ = V

6.Схемы на операционных усилителяхСложная

Суммирующий усилитель использует идеальный ОУ с питанием ±15 V. Найдите ток I_f через резистор обратной связи, текущий к выходу.

V₁ = −1,5 VV₂ = −0,5 VR₁ = 100 kΩR₂ = 4,7 kΩR_f = 47 kΩ

I_f = mA

7.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 15 VR₁ = 6 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 6 Ω

I_R1 = A

8.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 6 VR₁ = 25 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 4 Ω

I_R1 = A

9.Тевенин и НортонСредняя

Найдите сопротивление Тевенина R_th со стороны зажимов a–b.

V₁ = 12 VR₁ = 4 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 8 Ω

R_th = Ω

10.Тевенин и НортонСложная

К a–b подключена нагрузка R_L = 25 Ω. С помощью эквивалента Тевенина найдите мощность P_L, передаваемую в нагрузку.

V₁ = 36 VI_s = 1 AR₁ = 15 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 10 ΩR_L = 25 Ω

P_L = W

3Растворы

1.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: ΔR = 1 Ω

Мост Уитстона: два делителя напряжения питаются от одного источника V_s. Левый делитель R₁–R₂ даёт V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), а правый делитель R₃–R₄ даёт V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); выход равен V_ab = V_a − V_b. Мост уравновешен (V_ab = 0, ток через прибор отсутствует), когда R₁/R₂ = R₃/R₄, то есть R₁·R₄ = R₂·R₃. Со стороны выхода мост — это источник Тевенина с R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Напряжение узла

V_a = 2,5 + 0,01244 = 2,512 V

Решите делитель

R₂ = 100·2,512/(5 − 2,512) = 101 Ω

ΔR = 101 − 100 = 1 Ω

Ответ

ΔR = 1 Ω

2.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: V_o = 7,875 mV

Тензорезисторы: тензорезистор изменяет своё сопротивление при деформации: ΔR/R = GF·ε, где коэффициент тензочувствительности GF для металлической фольги около 2. В мосту, все плечи которого равны R, один активный тензорезистор (четвертьмост) даёт V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Два активных тензорезистора с противоположными деформациями в соседних плечах (полумост) дают V_s·GF·ε/2, а четыре (полный мост) — V_s·GF·ε. Напряжение находится по закону Гука, σ = E·ε. Тензометрические датчики силы указывают чувствительность в mV/V: выход при полной нагрузке на каждый вольт питания.

Относительное изменение сопротивления

ΔR/R = 2,1·1500·10⁻⁶ = 0,00315

Выход моста

V_o = V_s·GF·ε = 2,5·0,00315 = 7,875 mV

Ответ

V_o = 7,875 mV

3.Сбор данных и дискретизация

Ответ: R_B = 436,4 B/s

UART: асинхронный последовательный канал передаёт каждый байт кадром: один стартовый бит (низкий уровень), биты данных, необязательный бит чётности и один или два стоповых бита (высокий уровень). Скорость в бодах — это число бит в секунду, поэтому один бит длится T_b = 1/baud, а кадр из n бит длится n/baud. В распространённом формате 8N1 на байт приходится 10 бит. Генератор бодов делит тактовую частоту: baud = f_clk/(16·D) с целым D, поэтому реальная скорость в бодах немного отличается от заданной; погрешность меньше примерно 2 % обычно допустима.

Бит в кадре

1 + 8 + 1 + 1 = 11

Скорость в байтах

4800/11 = 436,4 B/s

Ответ

R_B = 436,4 B/s

4.Сбор данных и дискретизация

Ответ: ΔT_LSB = 0,2441 °C

Разрешение АЦП: N-разрядный преобразователь делит свой диапазон полной шкалы V_FSR на 2ᴺ кодов, от 0 до 2ᴺ − 1. Один шаг равен 1 LSB = V_FSR/2ᴺ: это наименьшее изменение, которое преобразователь может показать. АЦП с отбрасыванием остатка выдаёт код ⌊V_in/LSB⌋; АЦП с округлением никогда не отличается от истинного значения больше чем на ½ LSB, это его ошибка квантования. Каждый дополнительный разряд уменьшает LSB вдвое и добавляет примерно 6 dB к идеальному отношению сигнал/шум квантования SQNR = 6,02·N + 1,76 dB для синусоиды на полной шкале. Чтобы получить разрешение r в некотором диапазоне, выберите наименьшее N, для которого 2ᴺ ≥ диапазон/r.

Шаг квантования

1 LSB = 2500/1024 = 2,441 mV

Чувствительность на входе АЦП

10·1 = 10 mV/°C

Температурное разрешение

ΔT_LSB = 2,441/10 = 0,2441 °C

Ответ

ΔT_LSB = 0,2441 °C

АЦП достигает полной шкалы при 250 °C.

5.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V₋ = 0,2525 V

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Напряжение на входах

Через R₃ и R₄ течёт один и тот же ток, поэтому они образуют делитель напряжения; обратная связь обеспечивает V₋ = V₊.

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 1,4·22/(100 + 22) = 0,2525 V

V₋ = V₊

Ответ

V₋ = 0,2525 V

6.Схемы на операционных усилителях

Ответ: I_f = −0,1214 mA

Входные токи

V₋ = 0, поэтому на каждом входном резисторе всё его входное напряжение.

I₁ = V₁/R₁ = −1,5/100 = −0,015 mA

I₂ = V₂/R₂ = −0,5/4,7 = −0,1064 mA

I_f = I₁ + I₂ = −0,1214 mA

Ответ

I_f = −0,1214 mA

7.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 1,411 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 5 + 6 = 11 Ω

R₂ ∥ 11 = 8·11/(8+11) = 4,632 Ω

R_eq = R₁ + 4,632 = 6 + 4,632 = 10,63 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/10,63 = 1,411 A

Ответ

I_R1 = 1,411 A

8.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 0,2154 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 8 + 4 = 12 Ω

R₄ ∥ 12 = 6 Ω

R₃ + 6 = 10 Ω

R₂ ∥ 10 = 2,857 Ω

R_eq = R₁ + 2,857 = 25 + 2,857 = 27,86 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/27,86 = 0,2154 A

Ответ

I_R1 = 0,2154 A

9.Тевенин и Нортон

Ответ: R_th = 10,67 Ω

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения V_th, последовательный с сопротивлением R_th. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока I_N = V_th/R_th, параллельный R_th.

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R₁ ∥ R₂ = 4·8/(4+8) = 2,667 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2,667 + 8 = 10,67 Ω

10.Тевенин и Нортон

Ответ: P_L = 22,26 W

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

R₁ ∥ R₂ = 15·25/(15+25) = 9,375 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 9,375 + 10 = 19,38 Ω

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 22,5 + 1·9,375 = 31,88 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 31,88 + 1·10 = 41,88 V

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 41,88/(19,38 + 25) = 0,9437 A

P_L = I_L²·R_L = 0,9437²·25 = 22,26 W

ExamProblems · examproblems.com/courses/measurement-and-instrumentation

Измерения и приборы: шпаргалка-пакет

1Формулы и методы

Мост Уитстона и тензорезисторы

Метод

Сбор данных и дискретизация

Метод

Схемы на операционных усилителях

Последовательные и параллельные резисторы

Метод

Тевенин и Нортон

Метод

2Тренировочные задачи

3Растворы

Напряжение узла

Решите делитель

Ответ

Относительное изменение сопротивления

Выход моста

Ответ

Бит в кадре

Скорость в байтах

Ответ

Шаг квантования

Чувствительность на входе АЦП

Температурное разрешение

Ответ

Напряжение на входах

Ответ

Входные токи

Ответ

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Ток источника

Ответ

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Ток источника

Ответ

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Найдите V_th — напряжение холостого хода