Измерения и приборы: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Мост Уитстона и тензорезисторы

Напряжения делителей: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Выделение: V_ab = V_a − V_b
Баланс: R₁/R₂ = R₃/R₄
Реохордный мост: R/R_x = l/(100 − l)
Сопротивление Тевенина: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Коэффициент тензочувствительности: ΔR/R = GF·ε
Выход моста: четвертьмост V_s·GF·ε/4, полумост V_s·GF·ε/2, полный мост V_s·GF·ε
Малое изменение, одно плечо: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Напряжение: σ = E·ε

Метод

Рассматривайте мост как два делителя напряжения от одного источника.
Для равновесия приравняйте R₁/R₂ = R₃/R₄ и найдите неизвестный резистор.
Для неуравновешенного моста найдите V_a и V_b по делителям и вычтите; используйте эквивалент Тевенина, когда прибор нагружает выход.
Для тензорезисторов переведите деформацию в ΔR/R = GF·ε и используйте V_s·GF·ε/4, /2 или ×1 для четвертьмоста, полумоста или полного моста.

Сбор данных и дискретизация

Критерий Найквиста: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Ложная частота: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Шаг квантования: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Ошибка квантования (округление): ±½ LSB
АЦП с отбрасыванием остатка: D = ⌊V_in/LSB⌋
Число разрядов для разрешения r: 2ᴺ ≥ span/r
Идеальное SQNR, синусоида на полной шкале: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Скорость передачи данных: каналы × f_s × N bit/s
АЦП с мультиплексором: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 бит на байт; byte/s = baud/число бит в кадре
Делитель скорости передачи: baud = f_clk/(16·D)

Метод

Запишите, что дано: частоту дискретизации, частоты сигналов, число разрядов, диапазон входа, скорость в бодах.
В задачах на дискретизацию сравнивайте каждую частоту с f_s/2; более высокая частота появляется как f_a = |f − k·f_s| с ближайшим кратным f_s.
В задачах на разрешение найдите 1 LSB = V_FSR/2ᴺ или наименьшее N, при котором 2ᴺ ≥ диапазон/разрешение.
Для скоростей передачи данных и каналов UART считайте всё, что передаётся: каналы, отсчёты в секунду, биты или целые байты на отсчёт, а также стартовые, контрольные и стоповые биты каждого кадра.

Схемы на операционных усилителях

Инвертирующий усилитель: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неинвертирующий усилитель: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Суммирующий усилитель: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Идеальный ОУ: V₊ = V₋, I_in = 0

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Тевенин и Нортон

Напряжение Тевенина: V_th = V_{open circuit}
Сопротивление Тевенина: R_th: все источники отключены, со стороны a–b
Ток Нортона: I_N = V_th/R_th
Ток нагрузки: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Передача максимальной мощности: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Метод

Отключите нагрузку и обозначьте два зажима a и b.
Найдите напряжение холостого хода между a и b: это V_th.
Отключите все независимые источники и найдите сопротивление со стороны a–b: это R_th.
Верните нагрузку в эквивалентную схему: V_th последовательно с R_th.
Для эквивалента Нортона преобразуйте: I_N = V_th/R_th, с R_N = R_th параллельно.

2Тренировочные задачи

1.Мост Уитстона и тензорезисторыСредняя

Найдите сопротивление Тевенина R_th показанного моста со стороны выходных зажимов a и b.

V_s = 3 VR₁ = 80 ΩR₂ = 100 ΩR₃ = 100 ΩR₄ = 250 Ω

R_th = Ω

2.Мост Уитстона и тензорезисторыСложная

Датчик силы (полный мост из тензорезисторов) имеет номинальный выход 3 mV/V при номинальной нагрузке 200 kg. Напряжение питания — 12 V. Найдите его выход V_o при нагрузке 50 kg.

3 mV/VF_rated = 200 kgV_s = 12 VF = 50 kg

V_o = mV

3.Сбор данных и дискретизацияСредняя

Регистратор дискретизирует 2 каналов с частотой 5 kHz каждый с помощью 12-разрядного АЦП. Каждый отсчёт хранится в целом числе байт. Найдите объём памяти M, необходимый для записи длительностью 30 min, в MB (1 MB = 10⁶ байт).

n = 2f_s = 5 kHzN = 12t = 30 min

M = MB

4.Сбор данных и дискретизацияСложная

6-канальный мультиплексор подаёт сигналы на один АЦП. Каждое преобразование занимает 5 µs, а после каждого переключения канала входу нужно 5 µs для установления. Каналы опрашиваются по очереди без пауз. Найдите частоту дискретизации f_s каждого канала в kHz.

n = 6t_c = 5 µst_set = 5 µs

f_s = kHz

5.Схемы на операционных усилителяхСредняя

Подберите резистор обратной связи R_f, чтобы этот неинвертирующий усилитель имел коэффициент усиления по напряжению 4.

R₁ = 100 kΩA_v = 4

R_f = kΩ

6.Схемы на операционных усилителяхСложная

Два каскада на идеальных ОУ соединены последовательно: инвертирующий усилитель (R₁, R_f1), за ним неинвертирующий (R₂ на землю, R_f2 в обратной связи). Оба питаются от ±15 V. Входное напряжение V_in = −0,1 V. Найдите выходное напряжение V_out.

R₁ = 1 kΩR_f1 = 10 kΩR₂ = 22 kΩR_f2 = 2 kΩV_in = −0,1 V

V_out = V

7.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 6 VR₁ = 4 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 5 Ω

I_R1 = A

8.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 6 VR₁ = 20 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 8 Ω

R_eq = Ω

9.Тевенин и НортонСредняя

Найдите сопротивление Тевенина R_th со стороны зажимов a–b.

V₁ = 15 VR₁ = 20 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 4 Ω

R_th = Ω

10.Тевенин и НортонСложная

К a–b подключена нагрузка R_L = 8 Ω. Замените остальную цепь эквивалентом Тевенина и найдите ток нагрузки I_L.

V₁ = 6 VI_s = 4 AR₁ = 4 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 2 ΩR_L = 8 Ω

I_L = A

3Растворы

1.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: R_th = 115,9 Ω

Мост Уитстона: два делителя напряжения питаются от одного источника V_s. Левый делитель R₁–R₂ даёт V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), а правый делитель R₃–R₄ даёт V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); выход равен V_ab = V_a − V_b. Мост уравновешен (V_ab = 0, ток через прибор отсутствует), когда R₁/R₂ = R₃/R₄, то есть R₁·R₄ = R₂·R₃. Со стороны выхода мост — это источник Тевенина с R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Источник замкнут накоротко

R₁∥R₂ = 80·100/180 = 44,44 Ω

R₃∥R₄ = 100·250/350 = 71,43 Ω

Сопротивление Тевенина

R_th = 115,9 Ω

Ответ

R_th = 115,9 Ω

2.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: V_o = 9 mV

Тензорезисторы: тензорезистор изменяет своё сопротивление при деформации: ΔR/R = GF·ε, где коэффициент тензочувствительности GF для металлической фольги около 2. В мосту, все плечи которого равны R, один активный тензорезистор (четвертьмост) даёт V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Два активных тензорезистора с противоположными деформациями в соседних плечах (полумост) дают V_s·GF·ε/2, а четыре (полный мост) — V_s·GF·ε. Напряжение находится по закону Гука, σ = E·ε. Тензометрические датчики силы указывают чувствительность в mV/V: выход при полной нагрузке на каждый вольт питания.

Выход при полной шкале

3·12 = 36 mV

Выход при этой нагрузке

V_o = 36·50/200 = 9 mV

Ответ

V_o = 9 mV

3.Сбор данных и дискретизация

Ответ: M = 36 MB

Скорости передачи данных: каждый канал выдаёт f_s отсчётов в секунду по N бит, поэтому исходная скорость равна каналы × f_s × N bit/s. В памяти отсчёт занимает целое число байт (12-разрядный отсчёт хранится в 2 байтах), поэтому память для записи равна каналы × f_s × байт на отсчёт × время. АЦП с мультиплексором преобразует каналы один за другим: каждое преобразование (с установлением) занимает время t, поэтому один цикл по n каналам занимает n·t, а каждый канал дискретизируется с частотой 1/(n·t).

Байт на отсчёт

⌈12/8⌉ = 2 B

Скорость в байтах

2·5000·2 = 20000 B/s

Память

M = 20000·1800 = 3,6 × 10⁷ B = 36 MB

Ответ

M = 36 MB

4.Сбор данных и дискретизация

Ответ: f_s = 16,67 kHz

Время на канал

5 + 5 = 10 µs

Время на опрос

6·10 = 60 µs

Частота дискретизации на канал

f_s = 1/60 µs = 16,67 kHz

Ответ

f_s = 16,67 kHz

5.Схемы на операционных усилителях

Ответ: R_f = 300 kΩ

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Коэффициент усиления неинвертирующего усилителя

V₋ = V₊ = V_in, а ток через R₁ течёт и через R_f, поэтому V_out = V_in·(1 + R_f/R₁).

A_v = 1 + R_f/R₁

R_f = (4 − 1)·100 = 300 kΩ

Ответ

R_f = 300 kΩ

6.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_out = 1,091 V

Коэффициент усиления каждого каскада

A₁ = −R_f1/R₁ = −10/1 = −10

A₂ = 1 + R_f2/R₂ = 1 + 2/22 = 1,091

Каскад за каскадом

V₁ = −10·(−0,1) = 1 V

V_out = 1,091·1 = 1,091 V

Ответ

V_out = 1,091 V

7.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 0,8077 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 3 + 5 = 8 Ω

R₂ ∥ 8 = 6·8/(6+8) = 3,429 Ω

R_eq = R₁ + 3,429 = 4 + 3,429 = 7,429 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/7,429 = 0,8077 A

Ответ

I_R1 = 0,8077 A

8.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 26,92 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 12 + 8 = 20 Ω

R₄ ∥ 20 = 4 Ω

R₃ + 4 = 9 Ω

R₂ ∥ 9 = 6,923 Ω

R_eq = R₁ + 6,923 = 20 + 6,923 = 26,92 Ω

Ответ

R_eq = 26,92 Ω

9.Тевенин и Нортон

Ответ: R_th = 5,818 Ω

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения V_th, последовательный с сопротивлением R_th. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока I_N = V_th/R_th, параллельный R_th.

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R₁ ∥ R₂ = 20·2/(20+2) = 1,818 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,818 + 4 = 5,818 Ω

10.Тевенин и Нортон

Ответ: I_L = 2,005 A

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

R₁ ∥ R₂ = 4·25/(4+25) = 3,448 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3,448 + 2 = 5,448 Ω

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 5,172 + 4·3,448 = 18,97 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 18,97 + 4·2 = 26,97 V

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 26,97/(5,448 + 8) = 2,005 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/measurement-and-instrumentation

Измерения и приборы: шпаргалка-пакет

1Формулы и методы

Мост Уитстона и тензорезисторы

Метод

Сбор данных и дискретизация

Метод

Схемы на операционных усилителях

Последовательные и параллельные резисторы

Метод

Тевенин и Нортон

Метод

2Тренировочные задачи

3Растворы

Источник замкнут накоротко

Сопротивление Тевенина

Ответ

Выход при полной шкале

Выход при этой нагрузке

Ответ

Байт на отсчёт

Скорость в байтах

Память

Ответ

Время на канал

Время на опрос

Частота дискретизации на канал

Ответ

Коэффициент усиления неинвертирующего усилителя

Ответ

Коэффициент усиления каждого каскада

Каскад за каскадом

Ответ

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Ток источника

Ответ

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Ответ

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Найдите V_th — напряжение холостого хода