Измерения и приборы: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Мост Уитстона и тензорезисторы

Напряжения делителей: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Выделение: V_ab = V_a − V_b
Баланс: R₁/R₂ = R₃/R₄
Реохордный мост: R/R_x = l/(100 − l)
Сопротивление Тевенина: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Коэффициент тензочувствительности: ΔR/R = GF·ε
Выход моста: четвертьмост V_s·GF·ε/4, полумост V_s·GF·ε/2, полный мост V_s·GF·ε
Малое изменение, одно плечо: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Напряжение: σ = E·ε

Метод

Рассматривайте мост как два делителя напряжения от одного источника.
Для равновесия приравняйте R₁/R₂ = R₃/R₄ и найдите неизвестный резистор.
Для неуравновешенного моста найдите V_a и V_b по делителям и вычтите; используйте эквивалент Тевенина, когда прибор нагружает выход.
Для тензорезисторов переведите деформацию в ΔR/R = GF·ε и используйте V_s·GF·ε/4, /2 или ×1 для четвертьмоста, полумоста или полного моста.

Сбор данных и дискретизация

Критерий Найквиста: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Ложная частота: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Шаг квантования: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Ошибка квантования (округление): ±½ LSB
АЦП с отбрасыванием остатка: D = ⌊V_in/LSB⌋
Число разрядов для разрешения r: 2ᴺ ≥ span/r
Идеальное SQNR, синусоида на полной шкале: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Скорость передачи данных: каналы × f_s × N bit/s
АЦП с мультиплексором: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 бит на байт; byte/s = baud/число бит в кадре
Делитель скорости передачи: baud = f_clk/(16·D)

Метод

Запишите, что дано: частоту дискретизации, частоты сигналов, число разрядов, диапазон входа, скорость в бодах.
В задачах на дискретизацию сравнивайте каждую частоту с f_s/2; более высокая частота появляется как f_a = |f − k·f_s| с ближайшим кратным f_s.
В задачах на разрешение найдите 1 LSB = V_FSR/2ᴺ или наименьшее N, при котором 2ᴺ ≥ диапазон/разрешение.
Для скоростей передачи данных и каналов UART считайте всё, что передаётся: каналы, отсчёты в секунду, биты или целые байты на отсчёт, а также стартовые, контрольные и стоповые биты каждого кадра.

Схемы на операционных усилителях

Инвертирующий усилитель: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неинвертирующий усилитель: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Суммирующий усилитель: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Идеальный ОУ: V₊ = V₋, I_in = 0

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Тевенин и Нортон

Напряжение Тевенина: V_th = V_{open circuit}
Сопротивление Тевенина: R_th: все источники отключены, со стороны a–b
Ток Нортона: I_N = V_th/R_th
Ток нагрузки: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Передача максимальной мощности: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Метод

Отключите нагрузку и обозначьте два зажима a и b.
Найдите напряжение холостого хода между a и b: это V_th.
Отключите все независимые источники и найдите сопротивление со стороны a–b: это R_th.
Верните нагрузку в эквивалентную схему: V_th последовательно с R_th.
Для эквивалента Нортона преобразуйте: I_N = V_th/R_th, с R_N = R_th параллельно.

2Тренировочные задачи

1.Мост Уитстона и тензорезисторыСредняя

Гальванометр с сопротивлением 200 Ω включён между a и b показанного моста (V_s = 6 V). Найдите ток гальванометра I_g от a к b в µA.

V_s = 6 VR₁ = 60 ΩR₂ = 500 ΩR₃ = 500 ΩR₄ = 400 ΩR_g = 200 Ω

I_g = µA

2.Мост Уитстона и тензорезисторыСложная

Тензорезистор 120 Ω с коэффициентом тензочувствительности 2,1 приклеен к стальному стержню. Под нагрузкой его сопротивление возрастает на 0,126 Ω. Найдите деформацию ε в микродеформациях (µε).

R = 120 ΩGF = 2,1ΔR = 0,126 Ω

ε = µε

3.Сбор данных и дискретизацияСредняя

UART передаёт байты на скорости 2400 бод в формате 8E1: 8 битов данных, бит чётности и 1 стоповых бит, плюс стартовый бит. Найдите наибольшее число байт данных в секунду, которое он может передать.

baud = 2400 Bd8E1

R_B = B/s

4.Сбор данных и дискретизацияСложная

10-разрядный АЦП передаёт каждый отсчёт по UART на скорости 38400 бод в формате 8N1 (стартовый бит, 8 битов данных, 1 стоповый бит). Каждый отсчёт передаётся 2 целыми байтами, и канал занят всё время. Найдите наивысшую частоту сигнала f_max, которую можно дискретизировать без наложения спектров, в Hz.

baud = 38400 BdN = 108N1

f_max = Hz

5.Схемы на операционных усилителяхСредняя

ОУ идеальный и питается от ±15 V. Найдите выходное напряжение V_out.

V_in = −1,1 VR₁ = 10 kΩR_f = 10 kΩ

V_out = V

6.Схемы на операционных усилителяхСложная

Два каскада на идеальных ОУ соединены последовательно: инвертирующий усилитель (R₁, R_f1), за ним неинвертирующий (R₂ на землю, R_f2 в обратной связи). Оба питаются от ±15 V. Входное напряжение V_in = −0,65 V. Найдите выходное напряжение V_out.

R₁ = 4,7 kΩR_f1 = 4,7 kΩR₂ = 47 kΩR_f2 = 1 kΩV_in = −0,65 V

V_out = V

7.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 24 VR₁ = 4 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 6 Ω

R_eq = Ω

8.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 15 VR₁ = 2 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 15 ΩR₆ = 10 Ω

I_R1 = A

9.Тевенин и НортонСредняя

Найдите напряжение Тевенина V_th со стороны зажимов a–b.

V₁ = 30 VR₁ = 6 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 4 Ω

V_th = V

10.Тевенин и НортонСложная

К a–b подключена нагрузка R_L = 12 Ω. Замените остальную цепь эквивалентом Тевенина и найдите ток нагрузки I_L.

V₁ = 18 VI_s = 4 AR₁ = 20 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 5 ΩR_L = 12 Ω

I_L = A

3Растворы

1.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: I_g = 5655 µA

Мост Уитстона: два делителя напряжения питаются от одного источника V_s. Левый делитель R₁–R₂ даёт V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), а правый делитель R₃–R₄ даёт V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); выход равен V_ab = V_a − V_b. Мост уравновешен (V_ab = 0, ток через прибор отсутствует), когда R₁/R₂ = R₃/R₄, то есть R₁·R₄ = R₂·R₃. Со стороны выхода мост — это источник Тевенина с R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Напряжение Тевенина

V_th = 6·(500/560 − 400/900) = 2,69 V

Сопротивление Тевенина

R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄ = 275,8 Ω

Ток гальванометра

I_g = 2,69/(275,8 + 200) = 5655 µA

Ответ

I_g = 5655 µA

2.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: ε = 500 µε

Тензорезисторы: тензорезистор изменяет своё сопротивление при деформации: ΔR/R = GF·ε, где коэффициент тензочувствительности GF для металлической фольги около 2. В мосту, все плечи которого равны R, один активный тензорезистор (четвертьмост) даёт V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Два активных тензорезистора с противоположными деформациями в соседних плечах (полумост) дают V_s·GF·ε/2, а четыре (полный мост) — V_s·GF·ε. Напряжение находится по закону Гука, σ = E·ε. Тензометрические датчики силы указывают чувствительность в mV/V: выход при полной нагрузке на каждый вольт питания.

Относительное изменение сопротивления

ΔR/R = 0,126/120 = 0,00105

Деформация

ε = 0,00105/2,1 = 0,0005 = 500 µε

Ответ

ε = 500 µε

3.Сбор данных и дискретизация

Ответ: R_B = 218,2 B/s

UART: асинхронный последовательный канал передаёт каждый байт кадром: один стартовый бит (низкий уровень), биты данных, необязательный бит чётности и один или два стоповых бита (высокий уровень). Скорость в бодах — это число бит в секунду, поэтому один бит длится T_b = 1/baud, а кадр из n бит длится n/baud. В распространённом формате 8N1 на байт приходится 10 бит. Генератор бодов делит тактовую частоту: baud = f_clk/(16·D) с целым D, поэтому реальная скорость в бодах немного отличается от заданной; погрешность меньше примерно 2 % обычно допустима.

Бит в кадре

1 + 8 + 1 + 1 = 11

Скорость в байтах

2400/11 = 218,2 B/s

Ответ

R_B = 218,2 B/s

4.Сбор данных и дискретизация

Ответ: f_max = 960 Hz

Бит на отсчёт на линии

2·10 = 20 bit

Наивысшая частота дискретизации

f_s,max = 38400/20 = 1920 Hz

Предел Найквиста

f_max = 1920/2 = 960 Hz

Ответ

f_max = 960 Hz

5.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_out = −2,2 V

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Инвертирующий вход повторяет вход

V₋ = V₊ = −1,1 V

I = V₋/R₁ = −1,1/10 = −0,11 mA

Выходное напряжение

Ток через R₁ течёт и через R_f.

V_out = V₋ + I·R_f = −1,1 + (−0,11)·10 = −2,2 V

Ответ

V_out = −2,2 V

6.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_out = 0,6638 V

Коэффициент усиления каждого каскада

A₁ = −R_f1/R₁ = −4,7/4,7 = −1

A₂ = 1 + R_f2/R₂ = 1 + 1/47 = 1,021

Каскад за каскадом

V₁ = −1·(−0,65) = 0,65 V

V_out = 1,021·0,65 = 0,6638 V

Ответ

V_out = 0,6638 V

7.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 10 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 4 + 6 = 10 Ω

R₂ ∥ 10 = 15·10/(15+10) = 6 Ω

R_eq = R₁ + 6 = 4 + 6 = 10 Ω

Ответ

R_eq = 10 Ω

8.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 1,244 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 15 + 10 = 25 Ω

R₄ ∥ 25 = 4,839 Ω

R₃ + 4,839 = 16,84 Ω

R₂ ∥ 16,84 = 10,06 Ω

R_eq = R₁ + 10,06 = 2 + 10,06 = 12,06 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/12,06 = 1,244 A

Ответ

I_R1 = 1,244 A

9.Тевенин и Нортон

Ответ: V_th = 23,08 V

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения V_th, последовательный с сопротивлением R_th. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока I_N = V_th/R_th, параллельный R_th.

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R₁ ∥ R₂ = 6·20/(6+20) = 4,615 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4,615 + 4 = 8,615 Ω

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 30·20/(6+20) = 23,08 V

10.Тевенин и Нортон

Ответ: I_L = 2,717 A

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

R₁ ∥ R₂ = 20·30/(20+30) = 12 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 12 + 5 = 17 Ω

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 10,8 + 4·12 = 58,8 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 58,8 + 4·5 = 78,8 V

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 78,8/(17 + 12) = 2,717 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/measurement-and-instrumentation

Измерения и приборы: шпаргалка-пакет

1Формулы и методы

Мост Уитстона и тензорезисторы

Метод

Сбор данных и дискретизация

Метод

Схемы на операционных усилителях

Последовательные и параллельные резисторы

Метод

Тевенин и Нортон

Метод

2Тренировочные задачи

3Растворы

Напряжение Тевенина

Сопротивление Тевенина

Ток гальванометра

Ответ

Относительное изменение сопротивления

Деформация

Ответ

Бит в кадре

Скорость в байтах

Ответ

Бит на отсчёт на линии

Наивысшая частота дискретизации

Предел Найквиста

Ответ

Инвертирующий вход повторяет вход

Выходное напряжение

Ответ

Коэффициент усиления каждого каскада

Каскад за каскадом

Ответ

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Ответ

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Ток источника

Ответ

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Найдите V_th — напряжение холостого хода