Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Найдите осевую деформацию ε в стержне (алюминий) в микродеформациях (µε = 10⁻⁶).

P = 115 kNd = 25 mmL = 3 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Ступенчатый стержень заделан в стену и нагружен на свободном конце. Найдите полное удлинение δ.

P = 100 kNучасток 1: Ø30 mm, 2 m, сталь (E = 200 GPa)участок 2: Ø16 mm, 1,5 m, сталь (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Кручение валовСредняя

Полый вал (сталь; наружный диаметр 80 mm, внутренний диаметр 56 mm, длина 2 m) заделан с одного конца и закручивается моментом 1500 N·m на другом. Найдите угол закручивания φ в градусах.

T = 1500 N·md_o = 80 mmd_i = 56 mmL = 2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал (латунь) диаметром 40 mm обоими концами A и B заделан в жёсткие стены. В точке C, на расстоянии 2,5 m от A и 2 m от B, приложен крутящий момент 750 N·m. Найдите наибольшее касательное напряжение τ_max в валу.

d = 40 mmT₀ = 750 N·ma = 2,5 mb = 2 m

τ_max = MPa

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 0,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 8 mw = 6 kN/m от 0 до 8 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 3 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 8 mP = 30 kN в 3 mw = 4 kN/m от 0 до 8 mx = 3 m

M_x = kN·m

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Пластина 100 mm × 300 mm имеет круглое отверстие диаметром 50 mm на вертикальной оси симметрии, центр которого находится на высоте 180 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 100 mmh = 300 mmd = 50 mmцентр отверстия: y = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 15 kN·m. Найдите величину напряжения изгиба σ_верх на верхнем крае.

b_f = 240 mmt_f = 30 mmt_w = 16 mmh_w = 180 mmM = 15 kN·m

σ_верх = MPa

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

Точка тонкой пластины находится в плоском напряжённом состоянии: σₓ = 40 MPa, σᵧ = 80 MPa и τₓᵧ = 50 MPa, σ_z = 0. Найдите абсолютное наибольшее касательное напряжение τ_abs в точке (с учётом всех площадок в трёх измерениях).

σ_x = 40 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 50 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

Сплошной вал диаметром 40 mm нагружен изгибающим моментом 1000 N·m вместе с крутящим моментом 200 N·m. На верхней поверхности, где нормальное напряжение от изгиба растягивающее и наибольшее, найдите наибольшее главное напряжение σ₁.

d = 40 mmM = 1000 N·mT = 200 N·m

σ₁ = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Найдите угол поворота θ_A сечения балки на опоре A в радианах.

w = 4 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (сталь)I = 120 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Прогиб балкиСложная

Балка защемлена в A и шарнирно оперта в B (консоль с дополнительной опорой). Она нагружена сосредоточенной силой P в середине пролёта. EI постоянна. Найдите реакцию R_B опоры B.

L = 3 mP = 35 kN в 1,5 m

R_B = kN

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и свободна вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (сталь)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (сталь) защемлена с обоих концов. Она должна выдерживать 85 kN с коэффициентом запаса устойчивости 3. Найдите наименьший диаметр d.

P = 85 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: ε = 3347 µε

Закон Гука: в упругой области σ = E·ε. Вместе с σ = P/A и ε = δ/L это даёт δ = PL/(AE).

Напряжение

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 115·1000/490,9 = 234,3 MPa

Деформация (закон Гука)

E for алюминий = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 234,3/70000 = 0,003347 = 3347 µε

Ответ

ε = 3347 µε

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 5,145 mm

Стержни при осевой нагрузке: каждый призматический участок подчиняется δ = PL/(AE). Для последовательных участков удлинения складываются.

Одинаковая сила на обоих участках

Свободный конец воспринимает P, поэтому каждое сечение стержня передаёт одну и ту же осевую силу P. Меняются только площади и материалы.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 141,5 MPa

σ₂ = 497,4 MPa

Сложите удлинения участков

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 141,5·2000/200000 = 1,415 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 497,4·1500/200000 = 3,73 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 5,145 mm

Ответ

δ = 5,145 mm

3.Кручение валов

Ответ: φ = 0,7031 °

Полярный момент инерции

J = π(80⁴ − 56⁴)/32 = 3,056 × 10⁶ mm⁴

Угол закручивания

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm

L = 2 m = 2000 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 1,5 × 10⁶·2000/(80000·3,056 × 10⁶) = 0,01227 rad

φ = 0,01227·180/π = 0,7031°

Ответ

φ = 0,7031°

4.Кручение валов

Ответ: τ_max = 33,16 MPa

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω. Когда оба конца заделаны, статика даёт только T_A + T_B = T₀; второе уравнение — условие совместности (равные углы закручивания обеих частей в нагруженном сечении).

Равновесие и совместность

T_A + T_B = 750

T_A·a = T_B·b

T_A = 750·2/4,5 = 333,3 N·m

T_B = 750·2,5/4,5 = 416,7 N·m

Наибольшее касательное напряжение

Определяющим является больший из двух моментов (диаметр одинаков).

τ_max = 16·416667/(π·40³) = 33,16 MPa

Ответ

τ_max = 33,16 MPa

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 11,25 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN, приложена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 6·8·4

R_B = 192/8 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 24 = 24 kN

Рассеките в x = 0,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 24·0,5 − 6·0,5·0,25 = 11,25 kN·m

Ответ

M_x = 11,25 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 86,25 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN, приложена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 30·3 + 4·8·4

R_B = 218/8 = 27,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 62 − 27,25 = 34,75 kN

Рассеките в x = 3 m и оставьте левую часть

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 34,75·3 − 4·3·1,5 = 86,25 kN·m

Ответ

M_x = 86,25 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 222,8 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (30000·150 − 1963·180)/(30000 − 1963) = 147,9 mm

Целая пластина относительно ȳ

100·300³/12 + 30000·2,101² = 225,1 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

π·50⁴/64 + 1963·32,1² = 2,33 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 222,8 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 222,8 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_верх = 21,78 MPa

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 240·30 = 7200 mm², y_f = 180 + 30/2 = 195 mm

стенка: A_w = 16·180 = 2880 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7200·195 + 2880·90)/10080 = 165 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 240·30³/12 + 7200·(195 − 165)² = 7,02 × 10⁶ mm⁴

стенка: 16·180³/12 + 2880·(90 − 165)² = 2,398 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7,02 × 10⁶ + 2,398 × 10⁷ = 3,1 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Верхний край на расстоянии h − ȳ от оси.

y = 210 − 165 = 45 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·45/3,1 × 10⁷ = 21,78 MPa

Ответ

σ_верх = 21,78 MPa

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_abs = 56,93 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R. В трёх измерениях абсолютное наибольшее касательное напряжение равно (σ_max − σ_min)/2 по всем трём главным напряжениям; при плоском напряжённом состоянии третье из них равно нулю.

Главные напряжения в плоскости

C = 60 MPa, R = √((−20)² + 50²) = 53,85 MPa

σ₁ = 113,9 MPa, σ₂ = 6,148 MPa, σ_z = 0

Наибольший из трёх кругов

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(107,7, 113,9, 6,148)/2 = 56,93 MPa

Ответ

τ_abs = 56,93 MPa

Здесь определяющим является круг вне плоскости: абсолютный максимум больше максимума в плоскости R.

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ₁ = 160,7 MPa

Напряжения на поверхности

σ = 32M/(πd³) = 32·1000000/(π·40³) = 159,2 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·200000/(π·40³) = 15,92 MPa

Круг Мора

C = σ/2 = 79,58 MPa

R = √(79,58² + 15,92²) = 81,15 MPa

σ₁ = C + R = 160,7 MPa

σ₂ = C − R = −1,576 MPa

Ответ

σ₁ = 160,7 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: θ_A = 0,003556 rad

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции). Угол поворота θ = dv/dx — это первый интеграл от M/(EI); в согласованных единицах он получается в радианах.

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 8000 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Угол поворота на конце

θ_A = wL³/(24EI) = 4·8000³/(24·2,4 × 10¹³) = 0,003556 rad

Ответ

θ_A = 0,003556 rad

Это 0,2037°.

12.Прогиб балки

Ответ: R_B = 10,94 kN

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции). Для статически неопределимой балки отбросьте лишнюю опору и потребуйте, чтобы прогиб в этом месте был равен нулю (условие совместности).

Отбрасываем опору

Без опоры балка становится консолью. Её свободный конец прогнулся бы под нагрузкой.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Условие совместности на опоре

Одна сила реакции опоры R_B поднимает свободный конец на R_BL³/(3EI). Опора удерживает B с нулевым прогибом, поэтому эти прогибы должны взаимно погаситься. EI сокращается.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·35/16 = 10,94 kN

Ответ

R_B = 10,94 kN

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 39,69 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Расчётная длина

KL = 2·5000 = 10000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/10000² = 39688 N = 39,69 kN

Ответ

P_cr = 39,69 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: d = 40,28 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 3·85000 = 255000 N

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·255000·1000²/(π³·200000))^(1/4) = 40,28 mm

Ответ

d = 40,28 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 99,31, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials